Denne artikel er også tilgængelig som en lydfil.
Dette er en fremragende artikel som er værd at læse.

matematik

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Matematik ( føderaltysk standardtysk : [ matemaˈtiːk ], [ matemaˈtik ]; Østrigsk standardtysk : [ mateˈmaːtik ]; [1] oldgræsk μαθηματική τέχνη mathēmatikē téchnē , læringskunsten ') er en formel videnskab, der opstod fra studiet af geometriske figurer og beregning med tal . Der er ingen almindeligt accepteret definition af matematik ; i dag er det normalt beskrevet som en videnskab ved logiske selvskabte definitioner abstrakte strukturer ved hjælp af logik til deres karakteristika og undersøgte mønstre .

Den egyptiske Papyrus Rhind

historie

Matematik er en af ​​de ældste videnskaber. Det oplevede sin første storhedstid før antikken i Mesopotamien , Indien og Kina , senere i antikken i Grækenland og i hellenismen . Det var derfra, orienteringen til opgaven med "rent logisk bevis" og den første aksiomatisering , nemlig euklidisk geometri, dateret. I middelalderen overlevede hun uafhængigt i universitetenes og den arabiske verdens tidlige humanisme.

I den tidlige moderne periode introducerede François Viète variabler, René Descartes åbnede en beregningsmæssig tilgang til geometri ved hjælp af koordinater . Overvejelsen af ​​ændringshastigheder ( fluxioner ) samt beskrivelse af tangenter og bestemmelse af overfladearealer ("kvadratur") førte til den uendelige kalkulus af Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton . Newtons mekanik og hans gravitationslov var fortsat en kilde til skelsættende matematiske problemer som f.eks. Tre-kropsproblemet i de følgende århundreder.

Et andet centralt problem i den tidlige moderne æra var at løse stadig mere komplekse algebraiske ligninger. For at håndtere dette udviklede Niels Henrik Abel og Évariste Galois udtrykket gruppe , som beskriver forholdet mellem symmetrier af et objekt. Den nyere algebra og især algebraisk geometri kan ses som en yderligere uddybning af disse undersøgelser.

Plads for World Association of the International Mathematical Union i Berlin

En ny idé dengang i korrespondancen mellem Blaise Pascal og Pierre de Fermat i 1654 førte til løsningen af ​​et gammelt problem, som der allerede var andre, omend kontroversielle, løsninger på. Korrespondancen ses som fødslen af ​​den klassiske sandsynlighedsregning. De nye ideer og processer erobrede mange områder. Men gennem århundrederne delte den klassiske sandsynlighedsteori sig i separate skoler. Forsøg på at definere udtrykket "sandsynlighed" lykkes eksplicit kun i særlige tilfælde. Det var først, når Andrei Kolmogorovs lærebog Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori blev udgivet i 1933, at udviklingen af ​​grundlaget for moderne sandsynlighedsteori var afsluttet, se også History of Probability Theory .

I løbet af 1800-tallet fandt den uendelige kalkulus sin nuværende strenge form gennem Augustin-Louis Cauchys og Karl Weierstrass 'arbejde . Den sætteori, der blev udviklet af Georg Cantor mod slutningen af ​​1800 -tallet, er også blevet uundværlig i nutidens matematik, selvom den gennem paradokser i det naive sætbegreb i første omgang gjorde det klart det usikre fundament, som matematikken stod på før.

Udviklingen i første halvdel af det 20. århundrede var påvirket af David Hilberts liste over 23 matematiske opgaver . Et af problemerne har været forsøget på fuldstændig at aksiomatisere matematik; På samme tid var der en stærk indsats mod abstraktion, dvs. forsøget på at reducere objekter til deres væsentlige egenskaber. Emmy Noether udviklede grundlaget for moderne algebra, Felix Hausdorff den generelle topologi som undersøgelse af topologiske rum , Stefan Banach det vigtigste begreb om funktionel analyse , Banach -rummet opkaldt efter ham. Et endnu højere abstraktionsniveau, en fælles ramme for visning af lignende konstruktioner fra forskellige matematikområder, blev i sidste ende skabt ved indførelsen af kategoriteori af Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane .

Indhold og metode

Indhold og delområder

Følgende liste giver en indledende kronologisk oversigt over bredden af ​​matematiske emner:

Lidt uden for den slagne vej i denne liste er numerisk matematik , som giver algoritmer til løsning af konkrete kontinuerlige problemer fra mange af de ovennævnte områder og undersøger dem.

Der skelnes også mellem ren matematik, også kendt som teoretisk matematik , som ikke beskæftiger sig med ikke-matematiske anvendelser, og anvendt matematik som aktuarmæssig matematik og kryptologi . Overgangene mellem de netop nævnte områder er flydende.

Fremskridt gennem problemløsning

Isaac Newton : Principia Mathematica ( Frontispiece )

Et andet kendetegn ved matematik er den måde, hvorpå den skrider frem gennem behandling af problemer, der "faktisk er for vanskelige".

Så snart en folkeskoleelev har lært at tilføje naturlige tal, er han i stand til at forstå følgende spørgsmål og besvare det gennem forsøg og fejl: "Hvilket tal skal du tilføje til 3 for at få 5?" Den systematiske løsning af sådanne opgaver kræver imidlertid en introduktion af et nyt begreb: subtraktion. Spørgsmålet kan derefter omformuleres til: “Hvad er 5 minus 3?” Men så snart subtraktionen er defineret, kan man også stille spørgsmålet: “Hvad er 3 minus 5?”, Som refererer til et negativt tal og dermed allerede via folkeskolen matematik fører ud.

Ligesom i dette elementære eksempel på individuel læring, er matematik også avanceret i sin historie: på hvert nået niveau er det muligt at fastsætte veldefinerede opgaver, hvis løsning kræver meget mere sofistikerede midler. Der er gået mange århundreder mellem formuleringen af ​​et problem og dets løsning, og endelig er der etableret et helt nyt delområde med problemløsningsprocessen: I det 17. århundrede var f.eks. Uendelig kalkulation i stand til at løse problemer, der havde været åbent siden oldtiden.

Selv et negativt svar, beviset på et problems uløselighed, kan fremme matematik: for eksempel opstod gruppeteori fra mislykkede forsøg på at løse algebraiske ligninger.

Axiomatisk formulering og sprog

Sir Henry Billingsleys første engelske udgave af Euclids "Elements" (1570)

Siden slutningen af ​​1800 -tallet, og lejlighedsvis siden antikken , er matematik blevet præsenteret i form af teorier, der begynder med udsagn, der anses for at være sande; yderligere sande udsagn stammer derefter fra dette. Denne afledning sker efter præcist definerede endelige regler . De udsagn, som teorien begynder med, kaldes aksiomer , dem der stammer fra dem kaldes propositioner . Selve afledningen er et bevis på sætningen. I praksis spiller definitioner stadig en rolle; de ​​introducerer og specificerer matematiske udtryk ved at reducere dem til mere grundlæggende. På grund af denne struktur af matematiske teorier kaldes de aksiomatiske teorier.

Normalt kræver man af aksiomer for en teori, at de er fri for modsætninger, det vil sige, at et forslag og negationen af ​​dette forslag ikke er sande på samme tid. Imidlertid kan selve konsistensen generelt ikke bevises inden for en matematisk teori (dette afhænger af de anvendte aksiomer). Som et resultat heraf kan konsistensen af Zermelo-Fraenkel-sætsteorien , som for eksempel er grundlæggende for moderne matematik, ikke bevises uden hjælp af yderligere antagelser.

Emnerne omfattet af disse teorier er abstrakte matematiske strukturer, der også er defineret af aksiomer. Mens i de andre videnskaber er de behandlede objekter givet, og derefter oprettes metoderne til undersøgelse af disse objekter, i matematik omvendt gives metoden, og de objekter, der kan undersøges med den, oprettes først bagefter. På denne måde indtager matematik altid en særlig position blandt videnskaberne.

Den videre udvikling af matematik, på den anden side, skete og sker ofte gennem samlinger af propositioner, beviser og definitioner, der ikke er struktureret aksiomatisk, men primært er formet af intuitionen og oplevelsen af ​​de involverede matematikere. Omdannelsen til en aksiomatisk teori finder først sted senere, når andre matematikere beskæftiger sig med de ikke så nye ideer.

Omkring 1930 viste Kurt Gödel den ufuldstændighedssætning, der er opkaldt efter ham, der siger, at der i hvert aksiomsystem af klassisk logik, der gør det muligt at bevise visse udsagn om naturlige tal, enten er udsagn, der er lige så ubeviselige som deres negation, eller selve systemet modsiger sig selv.

Matematik bruger et meget kompakt sprog til at beskrive fakta, som er baseret på tekniske termer og frem for alt formler. En repræsentation af de tegn, der bruges i formlerne, findes på listen over matematiske symboler . En specialitet i den matematiske terminologi består i dannelsen af adjektiver, der stammer fra matematikernes navne som Pythagorean , Euclidean, Eulerian , Abelian , Noetherian og Artinsch .

anvendelsesområder

Jakob Bernoulli : Ars Conjectandi (1713)

Matematik kan anvendes inden for alle videnskaber, der er tilstrækkeligt formaliseret . Dette resulterer i et tæt samspil med applikationer inden for empiriske videnskaber. I mange århundreder har matematik hentet inspiration fra astronomi , geodesi , fysik og økonomi og har omvendt dannet grundlaget for disse fag. For eksempel udviklede Newton beregning til matematisk at forstå det fysiske koncept "kraft er lig med ændring i momentum". Solow udviklede en økonomisk model for væksten i en økonomi, som danner grundlaget for den neoklassiske vækstteori den dag i dag. Mens han studerede bølgelegningen, lagde Fourier grundlaget for det moderne funktionsbegreb, og Gauss udviklede metoden med mindst kvadrater og systematiserede løsningen af ​​lineære ligningssystemer som en del af sit arbejde med astronomi og landmåling. Den statistik, der er allestedsnærværende i dag, stammer fra den første undersøgelse af hasardspil.

Omvendt har matematikere undertiden udviklet teorier, der først senere fandt overraskende praktiske anvendelser. For eksempel er teorien om komplekse tal for den matematiske fremstilling af elektromagnetisme, der opstod allerede i 1500 -tallet, i mellemtiden blevet uundværlig. Et andet eksempel er tensor differential forms calculus , som Einstein brugte til den matematiske formulering af generel relativitet . Desuden blev håndtering af talteori i lang tid betragtet som en intellektuel gimmick uden praktisk brug, uden hvilken moderne kryptografi og dens forskellige applikationer på Internettet ville være utænkelige i dag.

Forholdet til andre videnskaber

Kategorisering af matematik

Gregor Reisch , Margarita Philosophica (1508)

Spørgsmålet om hvilken kategori af videnskabsmatematik der tilhører har været genstand for kontroverser i lang tid.

Mange matematiske spørgsmål og begreber er motiveret af spørgsmål vedrørende naturen, for eksempel fra fysik eller teknik , og matematik bruges som hjælpevidenskab i næsten alle naturvidenskaber. Det er imidlertid ikke selv en naturvidenskab i streng forstand, da dens udsagn ikke er afhængige af eksperimenter eller observationer. Ikke desto mindre antages det i den nyere matematikfilosofi , at matematikens metodologi mere og mere svarer til naturvidenskabens. Efter Imre Lakatos antages en "renæssance af empirisme", ifølge hvilken matematikere også fremsatte hypoteser og søgte bekræftelse for dem.

Matematik har metodiske og indholdsrelaterede ligheder med filosofi ; for eksempel er logik et område med overlapning mellem de to videnskaber. Matematik kunne således tælles med blandt de humanistiske , [2] men klassificeringen af ​​filosofi er også kontroversiel.

Af disse grunde kategoriserer nogle også matematik - sammen med andre discipliner som datalogi - som strukturvidenskab eller formel videnskab .

På tyske universiteter tilhører matematik for det meste det samme fakultet som de naturvidenskabelige, og så matematikere, efter forfremmelsen er normalt den akademiske grad af Dr. rer. nat. (Doctor of Science) tildelt. I modsætning hertil opnår universitetsuddannede i den engelsktalende verden titlen "Bachelor of Arts" eller "Master of Arts", som faktisk tildeles humanistiske forskere.

Særlig rolle blandt videnskaberne

Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (1638)

Matematik spiller en særlig rolle blandt videnskaberne med hensyn til gyldigheden af ​​dens fund og strengheden af dets metoder. For eksempel, mens alle videnskabelige fund kan forfalskes ved nye eksperimenter og derfor i princippet er foreløbige, fremstilles matematiske udsagn fra hinanden gennem rene tankeoperationer eller reduceres til hinanden og behøver ikke at være empirisk verificerbare. Til dette skal der imidlertid findes et strengt logisk bevis for matematisk viden, før det kan anerkendes som et matematisk forslag . I denne forstand er matematiske forslag i princippet endelige og universelle sandheder, så matematik kan betragtes som den nøjagtige videnskab. Det er netop denne nøjagtighed, der er så fascinerende om matematik for mange mennesker. Så sagde David Hilbert på den internationale matematikerkongres i Paris i 1900:

”Vi vil kort diskutere, hvilke berettigede generelle krav der skal stilles til løsningen af ​​et matematisk problem: Jeg mener frem for alt, at det er muligt at demonstrere svarets korrekthed med et begrænset antal slutninger på grundlag af et begrænset tal af forudsætninger, der ligger i problemet, og som skal præcist formuleres hver gang. Dette krav om logisk fradrag ved hjælp af et begrænset antal slutninger er intet andet end kravet om stringens i argumentationen. Kravet om stringens, som vides at have fået en ordsproglig betydning i matematik, svarer til et generelt filosofisk behov for vores forståelse, og på den anden side er det kun gennem dets opfyldelse, at det intellektuelle indhold og frugtbarheden af problemet får fuld virkning. Et nyt problem, især hvis det kommer fra den ydre verden, er som en ung ris, der kun trives og bærer frugt, hvis den podes omhyggeligt og i henhold til gartnerens strenge regler på den gamle stamme, sikker besiddelse af vores matematiske viden vil. " [3]

Joseph Weizenbaum fra Massachusetts Institute of Technology kaldte matematik for alle videnskabers moder.

"Men jeg fastholder, at der i en bestemt naturteori kun kan findes lige så meget egentlig videnskab, som der er matematik at finde i den."

- Immanuel Kant : Metafysisk begyndelse af naturvidenskab , A VIII - (1786)

Matematik er derfor også en kumulativ videnskab. I dag kender vi mere end 2000 matematiske tidsskrifter. Dette indebærer imidlertid også en risiko: Nyere matematiske områder gør ældre områder i baggrunden. Udover meget generelle udsagn er der også helt særlige udsagn, som der ikke kendes nogen egentlig generalisering for. Donald E. Knuth skriver i forordet til sin bog Concrete Mathematics:

“Kursusbetegnelsen 'Betonmatematik' var oprindeligt tænkt som en modgift til 'Abstrakt matematik', da konkrete klassiske resultater hurtigt blev fejet ud af den moderne matematiske læreplan af en ny bølge af abstrakte ideer, der populært kaldes 'Ny matematik'. Abstrakt matematik er et vidunderligt fag, og der er ikke noget galt med det: Det er smukt, generelt og nyttigt. Men tilhængerne var blevet vildledt af, at resten af ​​matematikken var ringere og ikke længere var værd at være opmærksom på. Målet med generalisering var blevet så moderigtigt, at en generation af matematikere var blevet ude af stand til at nyde skønhed i det særlige, at nyde udfordringen med at løse kvantitative problemer eller at sætte pris på værdien af ​​teknik. Abstrakt matematik var ved at blive indavlet og mistede kontakten med virkeligheden; matematisk uddannelse havde brug for en konkret modvægt for at genoprette en sund balance. "

“Titlen på begivenheden 'Betonmatematik' var oprindeligt tænkt som et modspil til 'Abstrakt matematik', fordi konkrete, klassiske præstationer hurtigt blev fjernet fra læreplanerne ved en ny bølge af abstrakte ideer - almindeligvis kaldet 'Ny matematik' skyllet. Abstrakt matematik er en vidunderlig ting, der ikke er noget galt med: den er smuk, generel og nyttig. Men deres tilhængere troede fejlagtigt, at resten af ​​matematikken var ringere og ikke længere værd at overveje. Målet med generalisering blev så moderigtigt, at en hel generation af matematikere ikke længere var i stand til at se skønhed i særdeleshed, at udfordre løsningen af ​​kvantitative problemer eller at sætte pris på værdien af ​​matematiske teknikker. Abstrakt matematik drejede sig kun om sig selv og mistede kontakten med virkeligheden; I matematikuddannelsen var en konkret modvægt nødvendig for at genoprette en stabil ligevægt. "

Den ældre matematiske litteratur er derfor af særlig betydning.

Matematikeren Claus Peter Ortlieb kritiserer den - efter hans mening - utilstrækkeligt reflekterede anvendelse af moderne matematik:

”Du skal være opmærksom på, at der er grænser for, hvordan matematik kan fange verden. Antagelsen om, at det udelukkende fungerer i henhold til matematiske love, fører til, at man kun leder efter disse love. Selvfølgelig vil jeg også finde det inden for naturvidenskaben, men jeg skal være opmærksom på, at jeg ser på verden gennem briller, der spærrer store dele ud fra starten. […] Den matematiske metode er længe blevet vedtaget af forskere fra næsten alle discipliner og bruges på alle mulige områder, hvor den faktisk ikke har nogen plads. [...] Tal er altid tvivlsomme, når de fører til normaliseringer, selvom ingen kan forstå, hvordan tallene opstod. " [4]

Matematik i samfundet

Logo for matematikåret

Videnskabsåret , der årligt er blevet organiseret af det føderale ministerium for uddannelse og forskning (BMBF) siden 2000, var 2008 matematikåret .

Matematik som skolefag

Matematik spiller en vigtig rolle som obligatorisk fag i skolen . Matematikdidaktik er den videnskab, der beskæftiger sig med undervisning og læring af matematik. 5. -10. Klasse handler primært om at lære regnefærdigheder. På tyske grammatikskoler introduceres differential- og integralregning samt analytisk geometri / lineær algebra på det øverste niveau, dvs. fra klasse 11, og stokastikken fortsættes.

Matematik som fag og erhverv

Mennesker, der er professionelt involveret i udviklingen og anvendelsen af ​​matematik, kaldes matematikere .

Ud over studiet af matematik, hvor en af ​​dens prioriteter kan stole på ren og / eller anvendt matematik, er der for nylig blevet etableret flere tværfaglige kurser som industriel matematik , forretningsmatematik , computermatematik eller biomatematik . Desuden underviser på sekundære skoler og universiteter er en vigtig gren af matematikken. På tyske universiteter, som en del af Bologna -processen, blev eksamensbeviset konverteret til bachelor- / masterkurser . Spirende dataloger , kemikere , biologer , fysikere , geologer og ingeniører skal også tage et bestemt antal timer om ugen.

De mest almindelige arbejdsgivere for matematikere er forsikringsselskaber , banker og managementkonsulenter , især inden for matematiske finansielle modeller og rådgivning, men også inden for IT -området. Derudover bruges matematikere i næsten alle brancher.

Matematiske museer og samlinger

Matematik er en af ​​de ældste videnskaber og også en eksperimentel videnskab. Disse to aspekter kan illustreres meget godt af museer og historiske samlinger.

Den ældste institution af denne art i Tyskland er Mathematisch-Physikalische Salon i Dresden, grundlagt i 1728. Arithmeum i Bonn ved Institut for Diskret Matematik går der tilbage til 1970'erne og er baseret på en samling af computerenheder fra matematikeren Bernhard Korte . Heinz Nixdorf MuseumsForum (forkortelse "HNF") i Paderborn er det største tyske museum for udvikling af computerteknologi (især computere), og Mathematikum i Gießen blev grundlagt i 2002 af Albrecht Beutelspacher og udvikles løbende af ham. Math.space , instrueret af Rudolf Taschner , er placeret i Museumsquartier i Wien og viser matematik i forbindelse med kultur og civilisation.

Derudover er adskillige specialsamlinger placeret på universiteter, men også i mere omfattende samlinger som Deutsches Museum i München eller Museum for Teknologihistorie i Berlin (computer udviklet og bygget af Konrad Zuse ).

Aforismer om matematik og matematikere

Følgende aforismer af kendte personligheder kan findes: [5]

  • Albert Einstein : Matematik beskæftiger sig udelukkende med relationerne mellem begreber, uanset deres relation til erfaring.
  • Galileo Galilei : Matematik er det alfabet, som Gud brugte til at beskrive universet.
  • Johann Wolfgang von Goethe : Matematikere er en slags fransk: hvis du taler til dem, oversætter de det til deres sprog, og så er det straks noget helt andet.
  • Godfrey Harold Hardy : Matematikeren skaber planer.
  • David Hilbert : Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
  • Novalis : Die ganze Mathematik ist eigentlich eine Gleichung im Großen für die anderen Wissenschaften.
  • Friedrich Nietzsche : Wir wollen die Feinheit und Strenge der Mathematik in alle Wissenschaften hineintreiben, soweit dies nur irgend möglich ist; nicht im Glauben, daß wir auf diesem Wege die Dinge erkennen werden, sondern um damit unsere menschliche Relation zu den Dingen festzustellen. Die Mathematik ist nur das Mittel der allgemeinen und letzten Menschenkenntnis.
  • Bertrand Russell : Mathematik ist die Wissenschaft, bei der man nicht weiß, wovon man spricht, noch ob das, was man sagt, wahr ist.
  • Friedrich Schlegel : Die Mathematik ist gleichsam eine sinnliche Logik, sie verhält sich zur Philosophie wie die materiellen Künste, Musik und Plastik, zur Poesie.
  • James Joseph Sylvester : Mathematik ist die Musik der Vernunft.
  • Ludwig Wittgenstein : Die Mathematik ist eine Methode der Logik.

Siehe auch

Portal: Mathematik – Übersicht zu Wikipedia-Inhalten zum Thema Mathematik

Literatur

  • John D. Barrow : Ein Himmel voller Zahlen – Auf den Spuren mathematischer Wahrheit , aus dem Englischen von Anita Ehlers, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg 1999, ISBN 3-499-19742-1 .
  • Jürgen Brater: Kuriose Welt der Zahlen , Eichborn Verlag, Frankfurt/Main 2005, ISBN 3-8218-4888-X .
  • Richard Courant , Herbert Robbins: Was ist Mathematik? Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-63777-X .
  • Georg Glaeser: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, München, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-1485-7 .
  • Timothy Gowers : Mathematik. Deutsche Erstausgabe, aus dem Englischen übersetzt von Jürgen Schröder, Reclam-Verlag, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-15-018706-7 .
  • Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 1999, ISBN 3-486-11595-2 .
  • Mario Livio : Ist Gott ein Mathematiker? Warum das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist. CH Beck Verlag, München 2010, ISBN 978-3-406-60595-6 .
  • Timothy Gowers (Hrsg.), June Barrow-Green (Hrsg.), Imre Leader (Hrsg.): The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press 2008 (Enzyklopädisch auf einführendem Niveau)

Weblinks

Commons : Mathematik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wikibooks: Regal:Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Lehrbuch der Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien
Wikisource: Mathematik – Quellen und Volltexte
Wiktionary: Mathematik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Portale und Wissensdatenbanken
Schulmathematik
Software
Geschichtliches

Einzelnachweise

  1. Österreichische Aussprachedatenbank.
  2. Helmut Hasse : Mathematik als Geisteswissenschaft und Denkmittel der exakten Naturwissenschaften . In: Studium generale . Band   6 , 1953, S.   392–398 ( online ( Memento vom 25. April 2013 im Internet Archive )).
  3. David Hilbert: Mathematische Probleme. ( Memento vom 19. Januar 2012 im Internet Archive ). Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900.
  4. Oliver Link: Die Welt lässt sich nicht berechnen. Interview mit Claus Peter Ortlieb, brand eins 11/2011, abgerufen am 1. Januar 2012.
  5. Lothar Schmidt : Aphorismen von A–Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen . Drei Lilien Verlag, Wiesbaden 1980, S.   288–289 . (Lothar Schmidt ist Diplom-Volkswirt und lehrte Politologie an der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main .)