Millioctaves

Fysisk enhed
Enhedsnavn	Millioctaves
Enhedssymbol	$\mathrm {mO}$ ${\ displaystyle \ mathrm {mO}}$ $\ mathrm {mO}$
Fysisk mængde	musikalsk interval
Formelsymbol	$\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$
dimension	${\mathsf {{\frac {T^{-1}}{T^{-1}}}=1}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {{\ frac {T ^ {- 1}} {T ^ {- 1}}} = 1}}}$ ${\ mathsf {{\ frac {T ^ {{- 1}}} {T ^ {{- 1}}}} = 1}}$
I SI -enheder	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$
Opkaldt efter	oldgræsk ὄκτω óktō = "otte"
Stammer fra	oktav
Se også: Cent , Neper , Savart

Millioctaven (mO) er en ekstra måleenhed for størrelsen af musikalske intervaller . 1000 mO svarer til en oktav eller 1200 cent eller et interval med frekvensforholdet (proportion $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s$ ) fra 2: 1.

Millioctaven har aldrig sejret mod centmålingen. Imidlertid bruges den stadig lejlighedsvis af forfattere, der ønsker at undgå den åbenlyse forening af cent med lige store intervaller.

definition

Diatoniske intervaller
Prime anden tredje Fjerde Femte Sjette Syvende oktav Ingen Decimal Udezime Duodecime Tredezime Halvton / hel tone
Særlige intervaller
Mikrointerval komma Dette er Limma Apotomer Ditone Tritone Ulv femte Naturlig septime
enheder
cent Millioctaves oktav Savart

Følgende gælder (se interval ):

{\begin{alignedat}{2}\Delta =\mathrm {Intervall} (p)&=&&\log _{2}(p)\;\mathrm {Oktave} \\&=1000\cdot &&\log _{2}(p)\;\mathrm {mO} \end{alignedat}}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ Delta = \ mathrm {interval} (p) & = && \ log _ {2} (p) \; \ mathrm {octave} \\ & = 1000 \ cdot && \ log _ {2} (p) \; \ mathrm {mO} \ end {alignat}}}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ Delta = \ mathrm {interval} (p) & = && \ log _ {2} (p) \; \ mathrm {octave} \\ & = 1000 \ cdot && \ log _ {2} (p) \; \ mathrm {mO} \ end {alignat}}}

{\begin{aligned}\Leftrightarrow p=\mathrm {Proportion} (\Delta )&=2^{\frac {\Delta }{1000\;\mathrm {mO} }}\\&=({\sqrt[{1000}]{2}})^{\frac {\Delta }{\mathrm {mO} }}\\&\approx 1{,}00069339\ ^{\frac {\Delta }{\mathrm {mO} }}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Leftrightarrow p = \ mathrm {Proportion} (\ Delta) & = 2 ^ {\ frac {\ Delta} {1000 \; \ mathrm {mO}}} \\ & = ({ \ sqrt [{1000}] {2}}) ^ {\ frac {\ Delta} {\ mathrm {mO}}} \\ & \ approx 1 {,} 00069339 \ ^ {\ frac {\ Delta} {\ mathrm {mO}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Leftrightarrow p = \ mathrm {Proportion} (\ Delta) & = 2 ^ {\ frac {\ Delta} {1000 \; \ mathrm {mO}}} \\ & = ({ \ sqrt [{1000}] {2}}) ^ {\ frac {\ Delta} {\ mathrm {mO}}} \\ & \ approx 1 {,} 00069339 \ ^ {\ frac {\ Delta} {\ mathrm {mO}}} \ end {align}}}

Ligesom det mere almindelige cent -mål er millioctaven et logaritmisk mål for intervaller. Derfor kan man tilføje intervalstørrelser i millioctaves i stedet for at skulle multiplicere dem som med frekvensforhold.

med

{\begin{aligned}\log _{10}(p)&=\log _{2}(p)\cdot \log _{10}(2)\\\Leftrightarrow {\frac {\log _{10}(p)}{\log _{10}(2)}}&=\log _{2}(p)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ log _ {10} (p) & = \ log _ {2} (p) \ cdot \ log _ {10} (2) \\\ Venstre højre pil {\ frac {\ log _ {10} (p)} {\ log _ {10} (2)}} & = \ log _ {2} (p) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ log _ {10} (p) & = \ log _ {2} (p) \ cdot \ log _ {10} (2) \\\ Venstre højre pil {\ frac {\ log _ {10} (p)} {\ log _ {10} (2)}} & = \ log _ {2} (p) \ end {align}}}

resultatet er den lommeregnervenlige ligning:

{\begin{aligned}\Rightarrow \Delta &=1000\cdot {\frac {\log _{10}(p)}{\log _{10}(2)}}\;\mathrm {mO} \\&=1000\cdot {\frac {\log _{10}(p)}{0{,}30103}}\;\mathrm {mO} \\&\approx 3321{,}93\cdot \log _{10}(p)\;\mathrm {mO} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow \ Delta & = 1000 \ cdot {\ frac {\ log _ {10} (p)} {\ log _ {10} (2)}} \; \ mathrm {mO } \\ & = 1000 \ cdot {\ frac {\ log _ {10} (p)} {0 {,} 30103}} \; \ mathrm {mO} \\ & \ approx 3321 {,} 93 \ cdot \ log _ {10} (p) \; \ mathrm {mO} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow \ Delta & = 1000 \ cdot {\ frac {\ log _ {10} (p)} {\ log _ {10} (2)}} \; \ mathrm {mO } \\ & = 1000 \ cdot {\ frac {\ log _ {10} (p)} {0 {,} 30103}} \; \ mathrm {mO} \\ & \ approx 3321 {,} 93 \ cdot \ log _ {10} (p) \; \ mathrm {mO} \ end {align}}}

Eksempel:

interval	Frekvensforhold	i millioctaves	I øre
1 oktav	2: 1	1000	1200
2 oktaver	4: 1	2000	2400
3 oktaver	8: 1	3000	3600
Femte	3: 2	585	702
Fjerde	4: 3	415	498
større tredjedel	5: 4	322	386

Konverteringer

1 mO = 1,2 cent = log ₁₀ (2) Savart ≈ 0,301 Savart

historie

Millioctaven blev introduceret i 1903 af den tyske fysiker Arthur von Oettingen i sit essay Det dobbelte harmonisystem . ^[1] Allerede i 1871 havde George Biddell Airy diskuteret John Frederick William Herschels forslag i On Sound and Atmospheric Vibrations med Mathematical Elements of Music ^{[2] for} at opdele oktaven i 1000 dele.

Se også

humør

Individuelle beviser

^ Arthur von Oettingen: Det dobbelte harmonisystem . ( Memento af originalen fra 24. august 2011 i internetarkivet ) Info: Arkivlinket blev indsat automatisk og er endnu ikke kontrolleret. Kontroller det originale og arkivlink i henhold til instruktionerne, og fjern derefter denne meddelelse. @ 1 @ 2 I: Annalen der Naturphilosophie 1 (1902), s. 62–75; 2 (1903/4), s. 375-403; 3 (1904), s. 241-269; 4 (1905), s. 116-152 og 301-338; 5 (1906), s. 449-503. "Millioctaven er den 83. del af en halvtone og et interval så lille, at det ikke længere kan skelnes som forskellen mellem to toner." S. 388 f.
↑ George Biddell Airy: På lyd og atmosfæriske vibrationer: med de matematiske elementer i musikken. 2. udgave. London 1871, s. 222. ”Vi har tilladelse af Sir John Herschel til at forklare et af ham foreslået system, som besidder denne fordel. Det består i at bruge et sådant modul, at logaritmen på 2 er 1000. "

[1] Arthur von Oettingen: Det dobbelte harmonisystem . ( Memento af originalen fra 24. august 2011 i internetarkivet ) Info: Arkivlinket blev indsat automatisk og er endnu ikke kontrolleret. Kontroller det originale og arkivlink i henhold til instruktionerne, og fjern derefter denne meddelelse. @ 1 @ 2 I: Annalen der Naturphilosophie 1 (1902), s. 62–75; 2 (1903/4), s. 375-403; 3 (1904), s. 241-269; 4 (1905), s. 116-152 og 301-338; 5 (1906), s. 449-503. "Millioctaven er den 83. del af en halvtone og et interval så lille, at det ikke længere kan skelnes som forskellen mellem to toner." S. 388 f.

[2] George Biddell Airy: På lyd og atmosfæriske vibrationer: med de matematiske elementer i musikken. 2. udgave. London 1871, s. 222. ”Vi har tilladelse af Sir John Herschel til at forklare et af ham foreslået system, som besidder denne fordel. Det består i at bruge et sådant modul, at logaritmen på 2 er 1000. "

[1]

[2] for