Ikke-lineært system

Ikke -lineære systemer ( NL -systemer ) er systemteoretiske systemer, hvis udgangssignal ikke altid er proportional med indgangssignalet (systemstimulering). De kan være meget mere komplekse end lineære systemer .

generelle grundlæggende

I modsætning til lineære systemer gælder superpositionsprincippet ikke for ikke-lineære systemer. Det betyder, at man ikke kan udlede et ukendt systemrespons for en given systemstimulering fra flere kendte systemstimulus-systemresponspar. Endvidere differentierer man et systems ikke-linearitet til statisk , dynamisk , enkeltværdi og flerværdig ikke-linearitet. Da der ikke er nogen lukket matematisk teori for ikke -lineære systemer, er der heller ingen generel metode til analyse af ukendte ikke -lineære systemer. ^[1]

Generelt kan man bruge en matematisk model af et ikke -lineært system med en intern tilstand $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ , ydre påvirkninger $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $u (t)$ og observationer $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ repræsentere som

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )}\\y(t)&=C{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} (t) & = A {\ bigl (} t, x (t), u (t) {\ bigr)} \\ y (t) & = C {\ bigl (} t, x (t), u (t) {\ bigr)}, \ end {justeret}}}

{\ begin {align} {\ dot x} (t) & = A {\ bigl (} t, x (t), u (t) {\ bigr)} \\ y (t) & = C {\ bigl (} t, x (t), u (t) {\ bigr)}, \ end {justeret}}

hvori $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ og $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ som er de ikke-lineære funktioner, der beskriver systemet.

Statiske ikke -lineære systemer

Illustration af en lineær (venstre diagram) versus en ikke-lineær (højre diagram) karakteristik . Den stiplede diagonal illustrerer den lineære eller ikke-lineære transformation , den sorte kurve er indgangssignalet, den blå kurve er udgangssignalet.

Statiske ikke-lineære systemer er dem, der reagerer på en systemstimulering uden tidsforsinkelse. For eksempel betragtes dioden generelt som en statisk komponent (med undtagelse af hurtige skifteoperationer). Deres spænding-strøm karakteristik følger en eksponentiel funktion; i forskellige anvendelser idealiseres og behandles den som stykkevis lineær, men forbliver ikke-lineær i systemteoretisk forstand. Statiske systemer kan beskrives ved en statisk karakteristisk kurve, som vist i figurerne.

Karakteristisk kurve for en felteffekttransistor
Ovenfor (ca. ved> 3 mA) næsten lineær: Et sinusformet forløb af en ændring Δ U _GS genererer en ændring Δ I _D uden nogen synlig afvigelse fra sinuskurven.
Bund (f.eks. Ved <3 mA) ikke-lineær: Et sinusformet forløb af en ændring Δ U _GS genererer en ændring Δ I _D med et genkendeligt ikke-sinusformet forløb.

Dynamiske ikke -lineære systemer

Dynamiske ikke-lineære systemer er dem, der også har lagringselementer og dermed en "hukommelse". Som følge heraf bestemmes systemresponsen ikke alene af systemstimulans øjeblikkelige værdi. Det afhænger også af den tidligere historie, det vil sige af styrken i den tidligere ophidselse. ^[2]

Karakterisering med hensyn til frekvensadfærden

Når lineære systemer exciteres med et sinusformet signal, opnås et sinusformet signal med samme frekvens ved udgangen, men med en ændret faseposition og amplitude. Ikke -lineære systemer har generelt ikke denne egenskab. Ikke-lineære systemer kan have frekvenskomponenter ved deres systemudgang, der ikke er indeholdt i indgangssignalet ( forvrængning ).

Eksempler fra elektroteknik er:

Hvis en ikke-lineær forstærker fodres med en enkelt sinusformet spænding som indgangsspænding, genererer den også harmoniske ved udgangen ud over en sinusformet spænding. Deres proportioner stiger, efterhånden som overdrive stiger.
Hvis forstærkeren får en superposition af to eller flere sinusformede spændinger af forskellige frekvenser, opstår der også intermodulation , og der opstår kombinationsfrekvenser.
Hvis flere modulerede vekselspændinger skal amplificeres samtidigt, cross modulation kan forekomme. Så overtager den ene vekselstrøm delvist moduleringen af den anden ( Luxemburge -effekt ).

litteratur

Mathukumalli Vidyasagar: Ikke-lineær systemanalyse SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2 .
Muthuswamy Lakshmanan, et al.: Ikke -lineær dynamik - integritet, kaos og mønstre. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0 .

Individuelle beviser

↑ Holk Cruse: Biologisk cybernetik. Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2 .
↑ Dezsö Varjú: Systemteori. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4 .

Weblinks

Litteratur om det ikke-lineære system i kataloget over det tyske nationalbibliotek

[1] Holk Cruse: Biologisk cybernetik. Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2 .

[2] Dezsö Varjú: Systemteori. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4 .

[1]

[2]