numerisk matematik

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Numerisk matematik , også kendt som numerik for kort, er en gren af ​​matematik, der beskæftiger sig med konstruktion og analyse af algoritmer til kontinuerlige matematiske problemer. [1] [2] Hovedapplikationen er den omtrentlige beregning af løsninger ved hjælp af tilnærmelsesalgoritmer ved hjælp af computere .

oversigt

Interesse for sådanne algoritmer opstår normalt af en af ​​følgende årsager:

  1. Der er ingen eksplicit løsning på problemet (som f.eks. I Navier-Stokes-ligningerne eller tre-kropsproblemet ) eller
  2. løsningsrepræsentationen findes, men er ikke egnet til hurtigt at beregne løsningen eller er i en form, hvor beregningsfejl er meget mærkbare (f.eks. med mange effektserier ).

Der skelnes mellem to typer metoder: på den ene side direkte, som giver den nøjagtige løsning på et problem efter et begrænset antal nøjagtige beregningstrin, og på den anden side tilnærmelsesmetoder, som kun giver tilnærmelser . En direkte metode er f.eks. Den gaussiske elimineringsmetode , der giver løsningen af ​​et lineært ligningssystem . Tilnærmelsesmetoder inkluderer kvadraturformler , der omtrentligt beregner værdien af ​​et integral, eller Newton -metoden , som iterativt giver bedre tilnærmelser til et nul af en funktion.

Da løsningerne kun kræves for begrænset nøjagtighed i applikationer, kan en iterativ metode også være mere nyttig, når der findes en direkte metode, hvis den leverer tilstrækkelig nøjagtighed på kortere tid.

Forskellige metoder sammenlignes i henhold til runtime , stabilitet og robusthed . Af og til er der imidlertid også (i modsætning til rent numeriske procedurer) seminumeriske procedurer, der er bedre egnet til at løse visse problemklasser end uspecialiserede numeriske løsninger.

historie

Ønsket om at kunne løse matematiske ligninger numerisk (også cirka) har eksisteret siden oldtiden . De gamle grækere kendte allerede problemer, som de kun kunne løse cirka, f.eks. Beregning af arealer ( integralregning ) eller antallet af cirkler . I denne forstand kan Archimedes , der leverede algoritmer til begge problemer, beskrives som den første vigtige numeriker.

Navnene på klassiske metoder viser klart, at algoritmisk og omtrentlig adgang til matematiske problemer altid har været vigtig for at kunne bruge rent teoretiske udsagn frugtbart. Begreber som konvergenshastighed eller stabilitet var også meget vigtige ved håndberegning. For eksempel giver en høj konvergenshastighed håb om, at beregningen vil blive udført hurtigt. Og selv bemærkede Gauss, at hans beregningsfejl i den gaussiske elimineringsmetode nogle gange havde en katastrofal effekt på løsningen og gjorde den helt ubrugelig. Han foretrak derfor Gauss-Seidel-metoden , hvor fejl let kunne kompenseres for ved at udføre et yderligere iterationstrin.

For at gøre den monotone udførelse af algoritmer lettere blev der udviklet mekaniske beregningsmaskiner i det 19. århundrede og endelig den første computer af Konrad Zuse i 1930'erne. Anden verdenskrig fremskyndede udviklingen dramatisk og især John von Neumann skubbede numerik frem både matematisk og teknisk som en del af Manhattan -projektet . Den kolde krigs æra var domineret af militære applikationer som f.eks. Problemer med genindtræden , men stigningen i computerkraft siden 1980'erne har bragt civile applikationer frem. Desuden er behovet for hurtige algoritmer steget med stigningen i hastighed. Forskning har været i stand til at gøre dette for mange problemer, og derfor har algoritmernes hastighed forbedret sig med omtrent samme størrelsesorden som CPU- ydelse siden midten af ​​1980'erne. I dag er numeriske metoder, for eksempel metoden med endelig element , til stede på ethvert teknisk eller videnskabeligt område og er dagligdags værktøjer.

Fejlanalyse

Et aspekt af analysen af ​​algoritmer i numerik er fejlanalyse . Forskellige typer fejl kommer i spil i en numerisk beregning: Ved beregning med flydende tal opstår der uundgåeligt afrundingsfejl . Disse fejl kan f.eks. Reduceres ved at øge antallet af cifre, men de kan ikke helt elimineres, da hver computer i princippet kun kan regne med et begrænset antal cifre.

Hvordan problemet reagerer på forstyrrelser i de indledende data, måles med tilstanden . Hvis et problem har en høj tilstand, afhænger løsningen af ​​problemet følsomt af de indledende data, hvilket gør en numerisk løsning vanskelig, især da afrundingsfejl kan tolkes som en afbrydelse af de indledende data.

Den numeriske metode erstatter også det kontinuerlige matematiske problem med et diskret, dvs. endeligt, problem. Den såkaldte diskretisering fejl allerede sker, som er anslået og evalueres i forbindelse med den konsekvens analyse. Dette er nødvendigt, fordi en numerisk metode normalt ikke giver den nøjagtige løsning.

Stabilitetsanalysen bruges til at evaluere, hvordan sådanne fejl stiger, når beregningen fortsættes .

Algoritmens konsistens og stabilitet fører normalt til konvergens (se: Grænseværdi (funktion) ).

Numeriske metoder

Der findes et stort antal numeriske metoder og algoritmer til mange matematiske problemer, såsom optimering eller løsning af delvise differentialligninger . En kommenteret samling af udvalgte numeriske procedurer findes under Liste over numeriske procedurer .

litteratur

  • Wolfgang Dahmen , Arnold Reusken: Numerik for ingeniører og naturforskere. Springer, Berlin et al.2006 , ISBN 3-540-25544-3 .
  • Peter Deuflhard , Andreas Hohmann: Numerisk matematik. Bind 1: en algoritmisk orienteret introduktion. 3., reviderede og udvidede udgave. de Gruyter, Berlin et al. 2002, ISBN 3-11-017182-1 .
  • Gene H. Golub , James M. Ortega: Videnskabelig computing og differentialligninger. En introduktion til numerisk matematik (= Berlins undersøgelserier om matematik. Bind 6). Heldermann, Berlin 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlaget for numerisk matematik og videnskabelig databehandling. Teubner, Stuttgart et al., 2002, ISBN 3-519-00356-2 .
  • Martin Hermann : Numerisk matematik. Bind 1: Algebraiske problemer. 4., reviderede og udvidede udgave. Walter de Gruyter Verlag Berlin, Boston, 2020, ISBN 978-3-11-065665-7 .
  • Martin Hermann : Numerisk matematik. Bind 2: Analytiske problemer. 4., reviderede og udvidede udgave. Walter de Gruyter Verlag Berlin, Boston, 2020, ISBN 978-3-11-065765-4 .
  • Thomas Huckle, Stefan Schneider: Numerik for computerforskere. Springer, Berlin et al. 2002, ISBN 3-540-42387-7 .
  • Ernst Kausen : Numerisk matematik med TURBO-PASCAL. Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6 .
  • Gerhard Offer: Numerisk matematik for begyndere. En introduktion til matematikere, ingeniører og dataloger. 5., reviderede og udvidede udgave. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6 .
  • Robert Platon: Numerisk matematik kompakt. Grundlæggende viden til studier og praksis. Vieweg, Braunschweig et al. 2000, ISBN 3-528-03153-0 .
  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerisk matematik. 8. udgave. Teubner, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 .

Weblinks

Wiktionary: Numerisk - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. ^ Lloyd N. Trefethen : Definitionen af ​​numerisk analyse. I: SIAM News. Nr. 25, 6. november 1992 ( PDF -fil , ≈ 228 KB ).
  2. ^ Lloyd N. Trefethen skrev: "[...] vores centrale opgave er at beregne mængder, der typisk er uforudsigelige, fra et analytisk synspunkt og med lynhastighed." (Eller på engelsk: [...] vores centrale mission er at beregne mængder der typisk er uberegnelige, fra et analytisk synspunkt, og for at gøre det med lynhastighed .; i Definition of Numerical Analysis , SIAM , 1992, se også uddrag fra Google bøger )