oscillator

En oscillator (fra den latinske oscillare ' til rock' ) er et system, der kan vibrere . ^[1] Dette betyder, at det normalt muliggør en tidsmæssig svingning af dets tilstandsvariabler . Oscillation betyder, at der er en kontinuerlig ændring mellem to tilstande eller omkring et centralt punkt, som normalt svarer til systemets hvilestilling . ^[2]

Hvis oscillatorens adfærd kan beskrives med differentialligninger , så er det fra et matematisk synspunkt et dynamisk system . Et sådant system kaldes en oscillator, hvis det har en stabil grænsecyklus . ^[3] ^[4] En tilstand, hvor en grænsecyklus er nået, kaldes en steady state . I en sådan tilstand er oscillatorens oscillation nødvendigvis periodisk .

Oscillatorer findes hovedsageligt inden for elektroteknik eller elektronik og mekanik . Imidlertid kendes systemer med periodisk adfærd også fra andre områder af tekniske tidssystemer , i kemi , i biologi og i sociologi ^[5] .

Vibrationer i mekaniske eller elektriske systemer dæmpes altid uden yderligere foranstaltninger. Det betyder, at svingningens amplitude falder over tid, hvis der ikke tilføres ekstern energi aktivt. En oscillator har derfor altid en enhed til levering af energi. Dette kan for eksempel gøres ved mekanisk kraft, som i et urværk eller ved elektrisk spænding.

Balancen hjul af et ur, der sammen med den ankeret og rattet, danner en oscillator

Urkvarts, der sammen med en forstærker danner en kvartsoscillator

Matematisk definition

Faserum i Van der Pol -oscillatoren med baner (blå linjer). Stater, der starter nær grænsecyklussen (tynde linjer) nærmer sig grænsecyklussen (fed linje) for t → ∞.

Overvej et system med almindelige differentialligninger

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\quad n\geq 2

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = f (x), \ quad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad n \ geq 2 }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = f (x), \ quad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad n \ geq 2 }

eller

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\quad n\geq 1

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = f (x, t), \ quad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad n \ nøgle 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = f (x, t), \ quad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad n \ nøgle 1}

med en glat funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Størrelsen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er tilstanden i et fysisk system. Sættet med alle tilstande kaldes tilstanden eller faserummet . Inputvariablen $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in {\ mathbb {R}}$ kan ses som tid ^[3] eller generaliseres fra $\mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ^[4] kan vælges. En løsning eller bane $x_{0}(t)$ ${\ displaystyle x_ {0} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {0} (t)}$ er periodisk hvis en konstant $T>0$ ${\ displaystyle T> 0}$ $T> 0$ eksisterer sådan

x_{0}(t)=x_{0}(t+T)

{\ displaystyle x_ {0} (t) = x_ {0} (t + T)}

{\ displaystyle x_ {0} (t) = x_ {0} (t + T)}

.

Den konstante $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ er perioden , det gensidige $1/T$ ${\ displaystyle 1 / T}$ $1 / T$ den frekvens vibrationen. Sættet af tilstande (eller strømmen ) af en sådan løsning er en periodisk bane , også kaldet en kredsløbs- eller grænsecyklus. Det pågældende system kaldes en oscillator, hvis der er tale om $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ der eksisterer en asymptotisk orbitalt stabil bane. ^[4] ^[6] Det betyder, at en bane, der er tilstrækkeligt tæt på den periodiske bane, er for alle $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ forbliver også tilstrækkeligt tæt eller opfylder mere præcist følgende betingelser: ^[6]

For hver værdi $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ findes en $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ så for $|x(0)-x_{0}(0)|<\delta$ ${\ displaystyle | x (0) -x_ {0} (0) | <\ delta}$ ${\ displaystyle | x (0) -x_ {0} (0) | <\ delta}$ holder det $|x(t)-x_{0}(t)|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | x (t) -x_ {0} (t) | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | x (t) -x_ {0} (t) | <\ varepsilon}$ for alle $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ .
Der er et asymptotisk faseskift $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ så det $\lim _{t\to \infty }\left|x(t)-x_{0}(t+\phi )\right|\to 0$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ venstre | x (t) -x_ {0} (t + \ phi) \ højre | \ til 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ venstre | x (t) -x_ {0} (t + \ phi) \ højre | \ til 0}$ .

Oscillatorer i fysik

Morse -potentialet (blå linje) til modellering af et diatomisk molekyle kan tilnærmes til små energier ved hjælp af en harmonisk oscillator (grøn linje). De vandrette tynde linjer markerer energiniveauerne ν = 0 ... 6 for den kvantemekaniske oscillator

Asymptotisk stabilitet betyder attraktiv og Lyapunov stabil . Førstnævnte gælder for systemer, hvis energi nærmer sig en grænseværdi, sidstnævnte for systemer, hvis energi bevares . Bevaring af energi betyder, at der ikke udføres arbejde, når man bevæger sig langs en lukket sti. Disse systemer kaldes konservative . Som det for eksempel ses på modellen med dynamisk billard , er det ikke alle konservative systemer, der har en stabil periodisk kredsløb og dermed er en oscillator.

På grund af energibesparelsen kan kraftfeltet i et konservativt system beskrives af et potentiale . En energi kan således tildeles hver periodisk kredsløb. Denne model kan bruges til en elektrisk ladet partikel, der bevæger sig i et elektrisk potentiale . I kvantemekanik kan denne model bruges til B. Beregn atomorbitaler . Staten er klassisk $x=(q,p)$ ${\ displaystyle x = (q, p)}$ ${\ displaystyle x = (q, p)}$ af oscillatoren ved afbøjning $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ af partiklen fra dens hvileposition og dens hastighed eller dens momentum $s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ helt bestemt.

Ved nærmere eftersyn er praktisk talt alle rigtige oscillatorer anharmoniske . Imidlertid kan de ofte tilnærmes ved hjælp af modellen for en harmonisk oscillator :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}&=p\\{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}&=-\omega ^{2}q\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} & = p \\ {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d } t}} & = - \ omega ^ {2} q \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} & = p \\ {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d } t}} & = - \ omega ^ {2} q \\\ end {align}}}

Her vælges partikelmassen 1 -dimensionelt 1, således at

$\omega /(2\pi )$ ${\ displaystyle \ omega / (2 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ omega / (2 \ pi)}$ frekvensen,
$\langle p^{2}\rangle =\omega ^{2}\langle q^{2}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle = \ omega ^ {2} \ langle q ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle = \ omega ^ {2} \ langle q ^ {2} \ rangle}$ den samlede energi

af en bane. Beslagene $\langle \;\rangle$ ${\ displaystyle \ langle \; \ rangle}$ $\ langle \; \ rangle$ stå for middelværdien over tid eller den kvantemekaniske forventede værdi . Den samlede energi følger af udligningssætningen eller virussætningen for eventuelle oscillatorer. Med hensyn til kvantemekanik er der kun energiniveauer for total energi $\hbar \omega (\nu +{\tfrac {1}{2}})$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega (\ nu + {\ tfrac {1} {2}})}$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega (\ nu + {\ tfrac {1} {2}})}$ med $\nu =0,1,\dotsc$ ${\ displaystyle \ nu = 0.1, \ dotsc}$ ${\ displaystyle \ nu = 0.1, \ dotsc}$ tilladt. Den konstante $2\pi \hbar$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar}$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar}$ er Plancks handlingskvantum .

Oscillatorer inden for elektronik

En oscillator i elektronik genererer udæmpede, for det meste sinusformede elektriske svingninger. Det fungerer på jævnstrøm og genererer vekselstrøm og kan bestå af en enkelt selvoscillerende komponent eller af flere komponenter, der er forbundet sammen til et oscillatorkredsløb. Disse komponenter skal derfor have en forstærkning> 1 (outputamplitude større end inputamplitude) og forstærke vibrationssignalets amplitude, indtil der opstår en fysisk grænse. Dette fører i sidste ende til et stabilt udgangssignal.

Kravene til oscillatorer er udgangssignalets konstanthed med hensyn til frekvens og amplitude og lav temperaturafhængighed. Nogle oscillatorer bruges til at generere vekselstrøm eller til at konvertere spænding med høj effektivitet ( f.eks. Magnetron , Royer oscillator ).

En oscillator indeholder altid frekvensbestemmende komponenter, en begrænsning af amplituden og en negativ differentialmodstand . Dette implementeres enten ved en feedback- forstærker eller med et element med en negativ differentiel modstand , såsom en tunnel diode eller lambda diode .

Amplituden er begrænset af passive eller aktive mål. Der kan være en amplitudekontrol (typisk f.eks. Med RC-oscillatorer ), men i de fleste tilfælde vil selve kredsløbets egenskab være tilstrækkelig til at begrænse amplituden (driftspunktskift, begrænsning til ikke-lineære karakteristika, fald i spændingsforøgelse som amplituden stiger).

De frekvensbestemmende komponenter i elektroniske oscillatorer kan være:

Spoler og kondensatorer i resonanskredsløbet
RC-elementer eller lavpasfiltre i RC-oscillatoren ( lavfrekvent )
Køretider i elektroniske komponenter i ringoscillatoren
Grydesirkler , hulrumsresonatorer og Lecher -linjer i decimeter- og centimeterbølgeområdet
Kvartsoscillatorer , keramiske resonatorer i det øverste kilohertz til tocifrede megahertz-område
Overfladebølger
Yttrium jern granat krystaller ( elektron spin resonans ), se YIG filter (centimeter bølger)
små mekaniske oscillatorer i MEMS -oscillatoren

Eksempler (udvalg)

Kaliumtitanylphosphatkrystaller i resonatoren i en optisk parametrisk oscillator . En sådan oscillator kan forstærke et optisk signal og ændre fotonernes energi eller frekvens.

Mekanisk

Elektronisk

Optisk

laser

Weblinks

Wiktionary: Oscillator - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Periodisk bane - Scholarpedia

Individuelle beviser

↑ Mekaniske vibrationer. I: LEIFIphysik . Hentet 24. juni 2020 .
↑ oscillate: definition af oscillate i Oxford ordbog (britisk og verdensengelsk)
^ ^A ^b Jeff Moehlis et al.: Periodic Orbit . I: Scholarpedia . 2006, doi : 10.4249 / scholarpedia.1358 .
↑ ^a ^b ^c Gerd Simon Schmidt: Synkronisering af oscillatorer og global output -regulering for stive kropssystemer . Logos Verlag Berlin, 2014, ISBN 3-8325-3790-2 , s. 11–16 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).
↑ Niklas Luhmann, organisation og beslutning (Opladen [et al.]: Westdt. Verl., 2000). S. 224
^ ^A ^b F. Ventriglia (red.): Neural modellering og neurale netværk . Elsevier, 2013, ISBN 1-4832-8790-4 , s. 80 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[1] Mekaniske vibrationer. I: LEIFIphysik . Hentet 24. juni 2020 .

[2] scillate: definition af oscillate i Oxford ordbog (britisk og verdensengelsk)

[scholar-3] A ^b Jeff Moehlis et al.: Periodic Orbit . I: Scholarpedia . 2006, doi : 10.4249 / scholarpedia.1358 .

[schmidt-4] Gerd Simon Schmidt: Synkronisering af oscillatorer og global output -regulering for stive kropssystemer . Logos Verlag Berlin, 2014, ISBN 3-8325-3790-2 , s. 11–16 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[5] Niklas Luhmann, organisation og beslutning (Opladen [et al.]: Westdt. Verl., 2000). S. 224

[neural-6] A ^b F. Ventriglia (red.): Neural modellering og neurale netværk . Elsevier, 2013, ISBN 1-4832-8790-4 , s. 80 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]