Paraboloid

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Elliptisk paraboloid
Hyperbolisk paraboloid

Et paraboloid er en overflade af anden orden ( kvadrisk ) og beskrives i de enkleste tilfælde ved en ligning :

  • til elliptisk paraboloid
  • for et hyperbolsk paraboloid

Man støder på elliptiske paraboloider, for eksempel som overflader af parabolantenner og som energiforringelsesdiagrammer [1], når de påvirker ru stive kroppe .
Hyperboliske paraboloider er sadeloverflader . De indeholder lige linjer og bruges derfor af arkitekter og civilingeniører som let modellerbare tagformer ( hyperboliske parabolske skaller ) [2] .

Ligningerne viser, at begge overflader indeholder mange paraboler , hvilket bidrog til navngivningen:

er en revolutionens overflade . skabes ved at rotere parabolen i xz -planet med ligningen omkring z-aksen.
er ikke en overflade af revolution. Men også med Med to undtagelser er hver sektion med et plan gennem z-aksen en parabel. F.eks. Er skæringspunktet med flyet (yz -plan) parabolen .
Begge overflader kan forstås som glideflader og kan skabes ved at flytte en parabel langs en anden parabel.

Der er dog også betydelige forskelle:

  • har cirkler som lodrette sektioner (for konstant ). I det generelle tilfælde er der ellipser (se nedenfor), hvilket afspejles i navnet anbringelse,
  • har hyperboler eller lige linjer (for ), hvilket begrunder tilføjelsen hyperbolsk .

Et hyperbolsk paraboloid bør ikke forveksles med et hyperboloid .

ejendomme

Elliptisk paraboloid

Det elliptiske paraboloid opnås ved at rotere grafen for funktionen til -Akse. Følgende gælder for afledningen . Volumen og overfladeareal for en elliptisk paraboloid med højde resultat i henhold til Guldins regler ved hjælp af integraler .

Paraboloid med lignelser og højde -cirkler

bind

overflade

Tangent fly

Tangentplanet på et punkt på overfladen grafen over en differentierbar funktion har ligningen

.

til resultater for ligningen af tangentialplanet ved punktet

.

Fly nedskæringer

Det elliptiske paraboloid er en revolutionens overflade og skabes ved at dreje parabolen til -Akse. Et niveau nedskæring fra er:

  • en parabel, hvis flyet er vinkelret (parallelt med Akse) er.
  • en ellipse eller et punkt eller tomt, hvis flyet ikke er vinkelret . Et vandret plan skærer i en cirkel .
  • et punkt, hvis flyet er et tangentplan .

Affinere billeder

Parabolske antenner til satellitkommunikation har form som et elliptisk paraboloid.

Enhver elliptisk paraboloid er et affint billede af . De enkleste affine mappings er skalering af koordinatakser. Du giver paraboloiderne ligningerne

.

stadig har den egenskab, at den skæres af et vinkelret plan i en parabel . Imidlertid skærer et vandret plan her i en ellipse, hvis er gældende. Det faktum, at enhver elliptisk paraboloid altid indeholder cirkler, er vist i cirkulærsnittet .

er

  • symmetrisk til - eller. -Koordinere fly.
  • symmetrisk til -Axis, dvs. blade uændret.
  • rotationssymmetrisk , hvis er.
Roterende vandglas

Kommentar:

  1. Et paraboloid af revolution (dvs. ) er af stor teknisk betydning som et parabolsk spejl , da alle paraboler med rotationsaksen som aksen har samme fokuspunkt .
  2. Hvis du lader et glas fyldt med vand rotere rundt om sin symmetriakse med en konstant hastighed , vil vandet rotere med glasset efter et stykke tid. Dens overflade danner derefter et paraboloid af revolution.
  3. En elliptisk paraboloid kaldes ofte en paraboloid for kort.

Homogene koordinater

Hvis man indfører homogene koordinater på en sådan måde, at fjernplanet repræsenteres af ligningen er beskrevet, skal du sætte. Efter fjernelse af nævneren opnår man den homogene beskrivelse af ved ligningen:

.

Skæringspunktet mellem paraboloiden og fjernplanet er pointen .

Koordinat transformation giver ligningen

.

Flyet skærer i de nye koordinater det gør paraboloiden ikke.

Hvis du nu udfører affine koordinater igen man opnår ligningen af enhedssfæren :

Dette viser: en elliptisk paraboloid er projektivt ækvivalent med en kugle .

Hyperbolisk paraboloid

hyperbolsk paraboloid med paroler og lige linjer som krydsningskurver
hyperbolsk paraboloid i det kartesiske koordinatsystem

Tangent fly

til er ligningen for det tangentielle plan (se ovenfor) i punktet

.

Fly nedskæringer

er i strid med ingen revolutionens overflade . Men som med er ved også næsten alle lodrette plan sektioner paraboler :

Skæringspunktet mellem et fly med er

  • en parabel, hvis flyet er vinkelret ( parallelt med Axis) og er en ligning Har.
  • en lige linje, hvis flyet er vinkelret og en ligning Har.
  • et krydsende par linjer, hvis flyet er et tangentplan (se illustration).
  • en hyperbola, hvis flyet ikke er vinkelret og ikke et tangentplan (se figur).

Andre ejendomme

  1. Afsnittet paraboler med fly parallelt med - eller -Plan er alle sammenfaldende med normparabolen .
  2. er en glidende overflade . skabes ved at flytte parabolen med sit toppunkt langs parabolen .
  3. Et ikke-vinkelret plan, der indeholder en lige linje, indeholder altid en anden lige linje og er et tangentialplan .
  4. Fordi området Indeholder lige linjer, det er en styret overflade .
  5. er en konoid .
  6. Et hyperbolsk paraboloid indeholder lige linjer (ligesom cylindre og kegler ), men kan ikke udvikles, fordi den gaussiske krumning ikke er lig med 0 på hvert punkt . Den gaussiske krumning er overalt mindre end 0. I tilfælde af en kugle er den gaussiske krumning overalt større end 0. Det betyder, at et hyperbolsk paraboloid er en sadeloverflade .
  7. Ved at dreje koordinatsystemet rundt om -Axis omkring 45 grader går ligningen ind i den enklere ligning om.
hyperbolsk paraboloid med hyperboler som lodrette sektioner
Warszawa Ochota station , eksempel på et hyperbolsk paraboloid som tag

Affinere billeder

Enhver hyperbolsk paraboloid er et affint billede af . De enkleste affine mappings er skalering af koordinatakser. De forsyner de hyperbolske paraboloider med ligningerne

.

er

  • symmetrisk til - eller. -Koordinere fly.
  • symmetrisk til -Axis, dvs. blade uændret.

Kommentar:
Hyperboliske paraboloider bruges af arkitekter til at konstruere tage (se illustration), fordi de let kan modelleres med lige linjer (søjler).

Interpolationsområde på 4 punkter

hyperbolsk paraboloid som en interpolationsoverflade på 4 punkter

En hyperbolske paraboloide kan ikke værebilineær interpolation areal på fire i et fly liggende punkter forstå [3] :

.

Netværket af parameterlinjer består af lige linjer .

For eksemplet vist i figuren, . Det således beskrevne hyperbolske paraboloid har ligningen .

Se også repræsentationen i barycentriske koordinater .

Homogene koordinater

Hvis du leder som med homogene koordinater , opnår man beskrivelsen af ​​det hyperboliske paraboloid ved ligningen :

.

Skæringspunktet mellem paraboloiden med den langt flyet består af de to lige linjer det er i pointen at klippe.

Koordinat transformation giver ligningen

.

Det fjerne fly skærer paraboloiden i en cirkel .

Hvis man går tilbage for at affinere koordinater , opnår man ligningen

af et enkeltskal hyperboloid.

Det hyperboliske paraboloid svarer derfor projektivt til et hyperboloid med en enkelt skal .

Grænseflade mellem familier af elliptiske og hyperboliske paraboloider

elliptisk paraboloid, parabolisk cylinder (interface), hyperbolisk paraboloid

Blade i ligningerne

(Familie af elliptiske paraboloider)

og

(Familie af hyperboliske paraboloider)

parameteren mod køre, opnår man ligningen for den fælles grænseflade

.

Dette er ligningen for en parabolisk cylinder med en parabel som et tværsnit (se figur).

Stablede chips er formet som et hyperbolsk paraboloid for at øge stabiliteten.

Se også

Individuelle beviser

  1. K.-E. Kurrer : Til repræsentation af energitransformationen i tilfælde af et plan koblet friktionspåvirkning ved hjælp af energidevalueringsdiagrammet . I: Cassius Alexandru, Günter Gödert, Uwe Görn, Roland Parchem og Joachim Villwock (red.): Bidrag til mekanik . Festschrift til 65 -årsdagen for Prof. Dr. Rudolf Trostel . Universitetsbibliotek ved TU Berlin, Publikationsafd., Berlin 1993, ISBN 3-7983-1581-7 , s. 148–169.
  2. K.-E. Kurrer: Historien om strukturteorien. Søger efter ligevægt . Ernst & Sohn , Berlin 2018, s. 743–747, ISBN 978-3-433-03229-9
  3. ^ G. Farin: Kurver og overflader til computerstøttet geometrisk design , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , s.250

Weblinks

Commons : Paraboloid - samling af billeder, videoer og lydfiler