Plancks handlemængde

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Fysisk konstant
Efternavn Plancks handlemængde
Formelsymbol
Størrelses Type effekt
værdi
SI 6. 626 070 15 e - 34 J s
Usikkerhed (rel.) (Nemlig)
Gauss 6. 626 070 15 e - 27 erg s
Planck enheder [1]
Kilder og noter
Kilde SI -værdi: CODATA 2018 ( direkte link )

Plancks handlingskvantum eller Plancks konstant , er forholdet mellem energi ( ) og frekvens ( ) af en foton ifølge formlen . Det samme forhold gælder generelt mellem energien fra en partikel eller et fysisk system og frekvensen af ​​dens kvantemekaniske fase .

Opdagelsen af ​​handlingskvantumet af Max Planck i 1899 [2] og 1900 [3] [4] etablerede kvantefysik . Handlingens kvantum forbinder egenskaber, der tidligere kun blev tilskrevet partikler eller kun bølger i klassisk fysik . Dette gør det til grundlaget for bølgepartikel-dualismen i moderne fysik .

Planck betragtede [2] på det tidspunkt handlingens kvantum, ved siden af gravitationskonstanten og lysets hastighed, som den tredje af de grundlæggende naturlige konstanter i fysik. Tilsammen danner disse konstanter grundlaget for det naturlige system af Planck -enheder . Han gav den konstante, han opdagede navnet "elementær handlingskvantum", fordi den spiller en afgørende rolle i "elementære svingningsprocesser" og ifølge definitionen (se ovenfor) resultaterne som kvotienten for en energi og en frekvens, og derfor er det har samme dimension som den fysiske Størrelse har en effekt . [5] [6]

definition

Plancks handlemængde For ethvert fysisk system, der kan svinge harmonisk , er forholdet mellem de mindst mulige energiforbrug til oscillationsfrekvensen altid det samme. Større energiomdannelser er kun mulige, hvis de er integrerede multipler af denne mindste mængde energi. Denne kvantificering af energien er imidlertid praktisk talt ikke mærkbar i makroskopiske systemer.

Derudover for hvert fysisk system, der er forholdet mellem dets samlede energiindhold og frekvensen af ​​dens kvantemekaniske fase .

Plancks handlingskvant har dimensionen af energi gange tid , som kaldes effekt . Effekten er dog ikke kvantificeret , som man kan udlede af navnet.

Handlingens kvantum modtager sin universelle betydning gennem sit udseende i kvantefysikkens grundligninger ( Schrödinger -ligning , Heisenberg -bevægelsesligning , Dirac -ligning ).

Nogle generelle konsekvenser

  • Hver harmonisk svingning (med frekvens , Vinkelfrekvens ) kan kun absorbere eller frigive energi i diskrete mængder, som er integrerede multipla af oscillationskvantum er.
  • Ethvert fysisk system kan have sit vinkelmoment (mere præcist: projektionen af ​​vinkelmomentvektoren på en hvilken som helst lige linje) kun med heltalsmultipler af at skifte.
  • Hvert fysisk system med momentum er en stofbølge med bølgelængden tildelt.
  • I ethvert fysisk system mødes energi og vinkelfrekvens dens kvantemekaniske fase ligningen .
  • To variabler hver i et fysisk system, der kanonisk er konjugeret til hinanden (f.eks. Placering og impuls af en partikel, eller generaliseret position og generaliseret momentum , f.eks. B. rotationsvinkel og vinkelmoment), opfylder et usikkerhedsforhold , ifølge hvilket de ikke kan have begge veldefinerede værdier i nogen tilstand i systemet. Det gælder snarere spredningen værdierne for begge variabler: .

Værdi og mærke

Plancks handlingskvantum er en af ​​de naturlige konstanter, hvormed International System of Units (SI) er blevet defineret siden revisionen i 2019 , [7] og har derfor en nøjagtig værdi i SI. Denne værdi var baseret på

sæt. I enhedens elektronvolt gennem Hertz har h den - også nøjagtige - værdi: [8]

.

Indtil SI -reformen den 20. maj 2019 skulle h bestemmes eksperimentelt og var derfor underlagt en måleusikkerhed. Værdien var [9] 6,626 070 040 (81) · 10 −34 Js, hvorved tallet i parentes angiver den estimerede usikkerhed og vedrører de to sidste decimalcifre.

Reduceret Plancks handlingskvantum

Fordi frekvenser ofte kaldes cirkulære frekvenser i stedet for frekvens givet, bruges i mange ligninger i stedet for handlingens kvantum den reducerede handlingskvantum fra Planck (talt: "h på tværs") brugt. Følgende gælder: . Den reducerede Planck -konstant kaldes (sjældent) også Diracs konstant efter Paul Dirac [10] og dens værdi er: [11]

Ofte vil produktet ved lysets hastighed som på grund af sin dimension af energi gange længde udtrykker en universel forbindelse mellem energi- og længdeskalaerne. [12] I de enheder, der er sædvanlige inden for atomfysik , gælder følgende: [13]

Også der er præcist defineret, så er produktet Nemlig.

Karakter

I Unicode , symbolerne for Plancks virkningskvantum og for den reducerede Plancks virkningskvantum er i position U + 210E (ℎ) og U + 210F (ℏ).

Historie til opdagelse og modtagelse

Termisk stråling I (Planck 1899)

Max Planck opdagede en ny naturlig konstant i 1899, da han udviklede en termodynamisk beskrivelse af den termiske stråling fra sorte legemer , også kendt som hulstråling . Ifølge Kirchhoffs lov skulle spektret af termisk stråling og dens temperaturafhængighed, som det er synligt på kul, når det skifter fra rød varme til hvid varme, være nøjagtig det samme for alle ideelle sorte legemer, helt uafhængigt af deres andre egenskaber. Beregningen af ​​spektret blev derfor anset for at være et enestående uløst problem inden for teoretisk fysik.

I højfrekvensområdet (dvs. kortbølge) viser de målte værdier et karakteristisk fald mod højere frekvenser. Ifølge Wiens strålingslov kan dette let opnås ved hjælp af en eksponentiel faktor afspil ( Frekvens, Temperatur, en fast parameter), men denne formel modsiger enhver teoretisk afledning fra klassisk fysik. Imidlertid var Planck i stand til at levere en ny teoretisk afledning. [14] For at gøre dette analyserede han den termiske ligevægt mellem vægge i et hulrum og de elektromagnetiske bølger inde i det. Han modellerede væggene som en samling af emitterende og absorberende oscillatorer og valgte en ny, passende formel med to frie parametre for deres entropi og . På grund af den generelt anvendelige afledning har disse parametre nu universel betydning. viste sig at være den ovenfor nævnte parameter i Wiens strålingslov, som et produkt af med Boltzmann -konstanten . til som senere vil blive brugt i blev omdøbt, gav Planck værdien på, kun 4% over dagens værdi for . Planck erkendte også, at disse nye konstanter sammen med gravitationskonstanten og lysets hastighed danner et system af universelle naturlige konstanter, hvorfra universelle enheder også kan dannes for længde, masse, tid og temperatur, Planck -enhederne .

Termisk stråling II (Planck 1900)

Nye målinger modsagde Wiens strålingslov, og dermed også den fortolkning, Planck fandt. De viste, at i lavfrekvens (dvs. langbølge, infrarød) del af den termiske stråling stiger intensiteten i første omgang mod højere frekvenser, før den falder igen i overensstemmelse med Wiens strålingslov. Denne stigning svarede godt til Rayleigh-Jeans-loven , da den var blevet afledt uden yderligere antagelser fra klassisk elektrodynamik og den ensartede fordelingsteorem for statistisk mekanik. Denne lov forudsagde imidlertid også en ubegrænset stigning i intensitet, da frekvensen fortsatte med at stige, hvilket var kendt som en ultraviolet katastrofe og modsagde de ældre målinger i højfrekvente del af spektret (se ovenfor). Planck fandt (bogstaveligt talt) "en lykkeligt gættet interpoleringsformel", der nu stemte glimrende overens med alle målinger (herunder nye foretaget bagefter). Teoretisk set kunne han kun udlede dette resultat, kendt som Plancks strålingslov , ved eksperimentelt at bruge den eksponentielle faktor i Wiens lov og Boltzmann -faktoren kendt fra kinetisk gasteori fortolket og i det for afhængig af frekvensen forskellige diskrete energiniveauer startede. Brevet han tog af hjælpestørrelse. En sammenligning med Wiens formel viste det kun om det nævnte produkt handlinger. [15]

Med denne tilskrev Planck oscillatorerne den nye egenskab, at de kun absorberer deres energi i begrænsede trin af størrelse kunne ændre sig. Med dette introducerede han for første gang en kvantisering af en tilsyneladende konstant variabel størrelse, en idé, der var fuldstændig fremmed for fysikken på det tidspunkt, hvor atomhypotesen stadig var stærkt fjendtlig. Men alle forsøg på at finde en teoretisk afledning uden antagelse om diskrete energiomsætninger mislykkedes. Planck betragtede i første omgang ikke den diskontinuerlige karakter af energiudvekslingen som en egenskab for de formodentlig velforståede lysbølger, men tilskrev det udelukkende til emissions- og absorptionsprocesserne i hulmurenes materiale. Med stor forsinkelse blev han tildelt Nobelprisen i 1918 for opdagelsen af ​​kvantisering.

h og lyskvanten

I 1905 analyserede Albert Einstein den fotoelektriske effekt , som også er uforenelig med klassisk fysik. Einstein var en af ​​de få fysikere, der tidligt anerkendte og brugte den grundlæggende betydning af Plancks arbejde. Han var i stand til at forklare effekten ved hjælp af lyskvantehypotesen , hvorefter lys også har kvanteegenskaber. I modsætning til Plancks opfattelse dengang består elektromagnetisk stråling i sig selv af partikelignende objekter, lyskvanten, hvis energi afhænger af frekvensen af lysbølgen ved ligningen givet er. [16] Denne ligning blev senere kaldt Einsteins ligning for den lette kvante. Dette var første gang, han genkendte bølgepartikel-dualismen , et nyt problem for fysikken. Ikke mindst på grund af dette tog denne analyse også år at etablere sig. I 1921 bragte den Einstein Nobelprisen.

h og den specifikke varme af faste legemer

For Albert Einstein i 1907 var kvantiseringen af ​​vibrationsenergien også nøglen til at forklare et andet misforstået fænomen, faldet i den faste varme af faste legemer mod lave temperaturer. Ved højere temperaturer stemte målværdierne derimod for det meste godt overens med den værdi, Dulong-Petit forudsagde ifølge klassisk fysik. Einstein antog, at varmeenergien i det faste legeme er i form af svingninger af atomerne omkring deres hvilestilling, og at denne rent mekaniske type svingninger kun forekommer i energiniveauer kan stimuleres. Da mængderne af energi, der svinger i den termiske ligevægt mellem de enkelte atomer, er af størrelsesordenen der var mulighed for at vælge mellem "høje" temperaturer ( ) og "lave" temperaturer ( ) at skelne mellem. Derefter har kvantiseringen ingen synlige virkninger ved høje temperaturer, mens den hindrer absorptionen af ​​termisk energi ved lave temperaturer. Den formel, Einstein var i stand til at udlede af denne idé, passede (efter en passende definition af for hvert faststof) fremragende til de data, der blev målt på det tidspunkt. Ikke desto mindre var det i lang tid stadig i tvivl om, at Plancks konstant kunne have betydning ikke kun for elektromagnetiske bølger, men også inden for mekanik.

h og fase rumcellen

Mange love inden for termodynamik, f.eks. B. til den specifikke varme af gasser og faste stoffer, men også til den irreversible stigning i entropi og formen for ligevægtstilstanden derved opnået, havde fået en mekanisk fortolkning af statistisk mekanik (især af Ludwig Boltzmann og Josiah Willard Gibbs ). Statistisk mekanik er baseret på antagelsen om uordenlig bevægelse af et ekstremt stort antal atomer eller molekyler og anvender statistiske metoder til at bestemme de mest sandsynlige værdier af makroskopisk målbare størrelser (såsom densitet, tryk osv.) For at karakterisere ligevægtstilstanden. For at gøre dette skal den samlede mængde af alle mulige tilstande for alle partikler først registreres matematisk i et tilstands- eller faserum . Hvis en bestemt makroskopisk tilstand bestemmes, danner alle partikeltilstande, hvor systemet viser denne makroskopiske tilstand, et delvist volumen i faserum. Størrelsen af ​​hvert sådant delvolumen bruges til at bestemme sandsynligheden for, at den pågældende makroskopiske tilstand vil forekomme. Matematisk skal der dannes en volumenintegral, og til dette formål er definitionen af ​​et volumenelement, også kaldet en faserumcelle , nødvendig midlertidigt og som en hjælpevariabel. I slutresultatet bør faserumscellen imidlertid ikke længere vises. Hvis det er muligt, lader man deres størrelse i den opnåede formel skrumpe til nul (som differentialstørrelser generelt i uendelig lille beregning ), hvis ikke, ser man dem som en uønsket parameter (som f.eks. Bestemmer en ukendt additivkonstant) og forsøger bare at overveje sådanne konklusioner, der er uafhængige af fase -rumcellen (f.eks. forskelle, hvor konstanten annulleres). Hvis entropien for en gas beregnes på denne måde, kaldes konstanten den kemiske konstant . I 1913 bemærkede Otto Sackur til sin overraskelse, at fase rumcellen skulle have en bestemt størrelse, så den kemiske konstant matchede de målte værdier. Faserumcellen (pr. Partikel og pr. Rumdimension af dens bevægelse) skal være lige stor at have. Han gav sin publikation [17] titlen Den universelle betydning af det såkaldte Planck-kvantum af handling og Max Planck kaldte det "af grundlæggende betydning", hvis den vovede hypotese skulle vise sig at være sand, at dette resultat gælder uanset gasform . [18] Dette var tilfældet.

Grundlæggende for dette resultat er især, at en dyb årsag til fænomenet kvantisering begynder at vise sig, hvilket dog først blev klart år senere med strålingens kvantestatistik. En fase rumcelle kan også defineres for svingninger, og derefter resulterer Einsteins formel at faserummecellen til den lette kvante også har størrelsen har: Den fysiske mængde, der er afgørende for størrelsen af ​​fase rumcellen, er effekten , i tilfælde af en svingning er effekten et produkt af energi og periode , følger således .

h og atomernes størrelse

Klassisk fysik må undlade at forklare atomernes stabile størrelse. For hvis det kunne forklare en bestemt størrelse, ville et z. B. halvdelen af ​​et atom er så lige som muligt ifølge de samme love. Med andre ord: Grundformlerne i den klassiske fysik indeholder ikke nok naturlige konstanter til at kunne udlede dem en formel for en størrelse med en længde. Handlingens kvantum kan lukke dette hul, som Planck selv bemærkede i 1899, da han første gang præsenterede Planck -enhederne (se ovenfor). Men fordi den fremherskende opfattelse var, at handlingens kvantum ikke skulle indføres i mekanikken, blev det første forsøg på at bruge det til at forklare atomradius først foretaget i 1910 af Arthur Erich Haas . T. latterliggjort. [19] Haas antog, at en elektron cirkulerede inden for en positiv ladning , og genoptog orbitalfrekvensen og bindingsenergien dette system i forhold . Dette resulterer i en radius i området for atomradierne kendt fra kemi og kinetisk gasteori.

I 1913 havde Niels Bohr større succes; han antog det samme billede i sin atommodel , men introducerede også cirkulære baner med forskellige energier og frem for alt emission af lyskvante under kvantespringet fra den ene bane til den anden. Aftalen med de målte bølgelængder, som kun kan opnås ved en kvantebetingelse, der næppe kan begrundes ( med det nye hovedkvantumtal ) gjorde hurtigt modellen berømt. Handlingens kvantums afgørende rolle i atomernes indre struktur blev bevist. Kvantetilstanden blev hurtigt genkendt som kvantevinkelmoment, fordi den cirkulære vej til det primære kvantetal kan defineres ved den betingelse, at elektronens vinkelmoment har værdien Har.

Dette store fremskridt gjorde Bohrs atommodel til det afgørende udgangspunkt for den videre udvikling, selvom yderligere lignende store fremskridt derefter ikke blev til noget i årevis. Især forsøg på at forstå atomer med flere elektroner er mislykkedes.

h og sagen bølger

Succesen for Bohrs atommodel siden 1913 skyldtes i vid udstrækning Bohrs kvantetilstand, som griber stærkt ind i mekanik udefra ved at tillade elektronen kun få af de mekanisk mulige veje. På grund af de vedvarende vanskeligheder med den videre udvikling af atomteorien blev der søgt muligheder for at redesigne selve mekanikken på en sådan måde, at den tager højde for kvantetilstanden fra begyndelsen. Den tidligere kvanteteori var at blive erstattet af rigtige kvantemekanik . Louis de Broglie tog det største skridt inden kvantemekanikkens egentlige begyndelse i 1924, da han opdagede materialepartikler, f.eks. B. tilskrives elektroner, bølgeegenskaber . Han overførte forholdet fundet til fotoner mellem impuls og bølgelængde på elektronens stofbølge , som han forestillede sig. Med dette udvidede han bølgepartikel-dualismen til partikler. En umiddelbar succes viser, at Bohrs cirkulære bane bliver det vigtigste kvantetal bare omkredsen har, så elektronens stofbølge kan danne en stående bølge på den. Uden at kunne sige meget om denne stofbølge fandt Erwin Schrödinger en formel for udbredelsen af ​​denne bølge i et kraftfelt i begyndelsen af ​​1926, hvormed han grundlagde bølgemekanik .[20] han kunne for de stationære tilstande i brintatomet med denne Schrödinger -ligning nøjagtigt beregne de kendte resultater uden yderligere kvantetilstand. Derudover er kendte fejl i Bohr -modellen rettet, f.eks. B. at atomet er fladt eller at vinkelmomentet ikke er det kunne være. Den eneste naturlige konstant i Schrödinger -ligningen er handlingens kvantum på. Det samme gælder ligningen, som Werner Heisenberg få måneder tidligere opnåede fra en "kvanteteoretisk genfortolkning af kinematiske og mekaniske forhold", [21], som han grundlagde matrixmekanik med . Begge tilgange er matematisk ækvivalente og betragtes som de grundlæggende ligninger for egentlig kvantemekanik. Tilbage er imidlertid vanskelighederne ved at få et billede af de kvantemekaniske begreber og processer, der er forenelig med bølge-partikel-dualismen.

Vinklet momentum

For Planck var betegnelsen "handlingskvantum" oprindeligt den konstante på grund af den fysiske dimension af energi gange tid motiveret, som omtales som effekten . Den klassiske mekaniske orbitale vinkelmoment har imidlertid samme dimension, og Generelt viste det sig også at være den naturlige konstant, der er afgørende for vinkelmoment.

I den atommodel, der blev etableret af Niels Bohr i 1913, efter at den blev udvidet i 1917 til at omfatte Bohr-Sommerfelds atommodel , vises den orbitale vinkelmomentvektor af elektronen fremstår som en dobbelt kvantiseret mængde. Som i Bohrs model kan beløbet kun være heltal af flere acceptere: med vinkelmomentets kvantetal . Desuden gælder betingelsen, at projektionen af ​​vinkelmomentvektoren i længden på en koordinatakse kun værdierne kan antage, hvor det magnetiske kvantetal er et helt tal (se retningsbestemt kvantisering ) og på området for så længe er begrænset. For banerne til det primære kvantetal kan alle værdier at have.

I kvantemekanikken, der blev grundlagt i 1925 af Werner Heisenberg og Erwin Schrödinger , resulterer den samme kvantificering af orbitalt vinkelmoment fra operatøren er afbilledet. Imidlertid har den absolutte værdi af vinkelmomentvektoren nu længden . Derudover tilhører brintatomet elektronstaterne med et hovedkvantumtal ifølge kvantemekanisk beregning orbital vinkelmoment kvantetal , så disse er 1 mindre end i Bohr-Sommerfeld-modellen. Dette stemmer overens med alle observationer.

Ud over det orbitale vinkelmoment kan partiklerne (såvel som partikelsystemer) også have spin , som er et iboende vinkelmoment omkring deres eget tyngdepunkt, ofte med udpeget. Spin udtrykkes også i enheder af gav udtryk for. Der er partikler, hvis spin er et integreret multiplum af er ( bosoner ), men også partikler med halvt helmultipler af ( Fermions ). Skelnen mellem de to typer partikler, bosoner og fermioner, er grundlæggende i fysikken. Udvidelsen fra kun heltal til halvtals kvantetal i vinkelmomentet skyldes egenskaberne hos den kvantemekaniske spinoperator . Dens tre komponenter opfylder de samme kommutationsforhold med hinanden som komponenterne i orbital vinkelmomentoperatøren . For orbitalvinkelmomentet gælder også følgende men dette gælder ikke spinet. [22]

Usikkerhedsforhold

I Heisenbergs kommuteringsrelation forekommer den (reducerede) Planck -handlingskvantum som værdien af kommutatoren mellem positionen og momentumoperatoren :

Som følge heraf gælder Heisenbergs usikkerhedsprincip for produktet af position og momentumusikkerhed

Von Klitzings konstant

Von Klitzings konstant (med als Elementarladung ) tritt beim Quanten-Hall-Effekt auf. Ihr Wert war bis zum 19. Mai 2019 . [9] Diese Konstante konnte extrem genau gemessen werden. Daher konnte sie analog zur modernen Festlegung der Lichtgeschwindigkeit dazu dienen, die Bestimmung der Planckschen Konstanten auf sehr genaue Widerstandsmessungen zurückzuführen.

Mit der neuen Definition der SI-Einheiten am 20. Mai 2019 bekam auch diese Konstante einen exakten Wert von: [23]

Literatur

  • Domenico Giulini: „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie. online (PDF; 453 kB). In: Herbert Hunziker: Der jugendliche Einstein und Aarau. Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6 .
  • Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8 .
  • Abraham Pais: Introducing Atoms and their Nuclei. In: Laurie M. Brown ua (Hrsg.): Twentieth Century Physics. Vol. I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, ISBN 0-7503-0353-0 .

Weblinks

Wiktionary: Wirkungsquantum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Aus dem in natürlichen Einheiten geltenden folgt .
  2. a b Max Planck (beachte: a = Boltzmannkonstante (Temp.), b = Wirkumsquantum, f = Gravitationskonstante, c = Lichtgeschwindigkeit): Über irreversible Strahlungsvorgänge. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899 - Erster Halbband (Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899). Seite 479–480.
  3. Michael Bonitz: Max Planck, das Wirkumsquantum und die moderne Physik. (PDF).
  4. Günter Sturm: 100 Jahre Quantentheorie. Bei: quanten.de. Sonderausgabe 14. Dezember 2000.
  5. Max Planck: Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung. Verlag Joh. Amb. Barth, Leipzig 1906, S. 154.
  6. Max Planck: Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums. Naturwissenschaften Bd. 31, Nr. 14 (1943), S. 153–159.
  7. Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures , 2018, abgerufen am 12. April 2021 (englisch).
  8. CODATA Value: Planck constant in eV/Hz. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).
  9. a b Fundamental Physical Constants — Extensive Listing. (PDF; 128 kB) Archiv 2014. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, 2014, S. 1 , abgerufen am 23. Mai 2019 (englisch).
  10. Das Symbol als Abkürzung für wurde im Jahr 1926 von PAM Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z. B. in M. Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York 1966, S. 294. Diracs Originalarbeit: PAM Dirac: Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom. Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), S. 561–579.
  11. CODATA Value: reduced Planck constant. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).
  12. J. Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. 2. Auflage, Springer Verlag 2013, ISBN 978-3-642-32578-6 , Seite 43–45.
  13. CODATA Value: reduced Planck constant times c in MeV fm. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).
  14. Max Planck: Über irreversible Strahlungsvorgänge. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899 - Erster Halbband (Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899). Seite 440–480.
  15. Max Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900).
  16. Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen der Physik, 17 (1905), S. 133 und S. 143. (Online-Dokument: PDF ).
  17. Otto Sackur: Die universelle Bedeutung des sog. Planckschen Wirkungsquantums . In: Annalen der Physik . Band   345 , 1913, S.   67 , doi : 10.1002/andp.19133450103 .
  18. Max Planck: Die gegenwärtige Bedeutung der Quantenhypothese für die kinetische Gastheorie. Phys. Zeitschr. Bd. 14 (1913) S. 258.
  19. Max Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics . McGraw-Hill, New York 1966.
  20. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem I. Annalen der Physik 79 (1926), S. 361–376.
  21. W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, 1925, S. 879–893.
  22. Cornelius Noack : Bemerkungen zur Quantentheorie des Bahndrehimpulses . In: Physikalische Blätter . Band   41 , Nr.   8 , 1985, S.   283–285 ( siehe Homepage [PDF; 154   kB ; abgerufen am 26. November 2012]).
  23. CODATA Value: von Klitzing constant. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 23. Mai 2019 (englisch).