Pythagoras komma

Diatoniske intervaller
Prime anden tredje Fjerde Femte Sjette Syvende oktav Ingen Decimal Udezime Duodecime Tredezime Halvton / hel tone
Særlige intervaller
Mikrointerval komma Dette er Limma Apotomer Ditone Tritone Ulv femte Naturlig septime
enheder
cent Millioctaves oktav Savart

I musikken er det pythagoranske komma et interval på omkring en ottende tone (23,46 cent ), som ikke bruges som et uafhængigt musikalsk trin. Mens syv (rene) oktaver svarer til nøjagtig tolv (lige) femtedele i den mere almindelige ligestilling i dag, er der en forskel mellem syv (rene) oktaver og tolv (rene) femtedele i den tidlige Pythagoras tuning (eller også med den rene tuning) ).

Per definition: Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver.

Denne forskel er jævnt fordelt over de tolv femtedele i lige tuning. Du får en temperering , hvor disse lige femtedele (700 øre) kun adskiller sig ubetydeligt fra de rene femtedele (702 øre). Imidlertid høres de lige tredjedele (300 eller 400 øre) - og det overses ofte - klart fra de rene tredjedele (315,5 og 386,5 øre). Det syntoniske komma , forskellen mellem det pythagoreiske og det rene tredje (408 - 386,5 = 21,5 øre) er næsten det samme som det pythagoranske komma.

Kommaet er praktisk relevant ved tuning af instrumenter med faste tonehøjder. Dette omfatter for eksempel keyboardinstrumenter og strengeinstrumenter med bånd .

Størrelse og frekvensforhold

Se: Opbygning af intervalrummet .

Størrelsen af det pythagoranske komma beregnes ud fra definitionsligningen:

Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver $\approx$ ${\ displaystyle \ approx}$ $\ ca.$ 23,46 øre .

Da frekvensforholdene multipliceres eller divideres ved tilføjelse eller subtraktion af intervaller, beregnes frekvensforholdet for Pythagoras komma som:

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}}{2^{7}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}\approx {1{,}01364}.

{\ displaystyle {\ frac {\ venstre ({\ frac {3} {2}} \ højre) ^ {12}} {2 ^ {7}}} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} \ ca. {1 {,} 01364}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ venstre ({\ frac {3} {2}} \ højre) ^ {12}} {2 ^ {7}}} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} \ ca. {1 {,} 01364}.}

Pythagoras komma som et problem ved indstilling af tastaturinstrumenter

Et instrument (som moderne keyboardinstrumenter), der kun producerer tolv forskellige toner pr. Oktav, kan ikke tunes på en sådan måde, at det kan spilles i alle tangenter med absolut rene intervaller.

Tolv perfekte femtedele (frekvensforhold 3: 2) resulterer i 8423,46 cent , mens syv oktaver kun 8400 cent. Forskellen på 23,46 cent kaldes det pythagoranske komma. Fire perfekte femtedele resulterer i den pythagoranske major -tredjedel med 407,82 cent, mens den rene major -tredjedel kun er 386,31 cent. Forskellen på 21,51 cent kaldes det syntoniske komma .

Den pythagoranske tuning blev brugt i gregoriansk sang og musik indtil slutningen af middelalderen. Den pythagoranske store tredjedel som følge af Pythagoras tuning spillede ingen rolle i en- eller todelt (femtedele, fjerdedele) musik. Med fremkomsten af akkordforbindelserne dannet i polyfoni blev den rene major -tredjedel med frekvensforholdet 5: 4 hurtigt anerkendt som en konsonans . Dette gjorde den pythagoranske stemning ubrugelig. I lang tid blev der brugt mid-tone tunings , som gengav den rene major tredjedel nøjagtigt på bekostning af femtedelene, men udelukkede mange nøgler. I løbet af JS Bachs tid voksede behovet for at kunne spille i alle nøgler. Utallige forsøg med godt tempererede tuninger , der forsøgte at få de store tredjedele til at lyde så rent som muligt i tangenter tæt på C-dur, eller med keyboardinstrumenter, hvis oktaver omfattede mere end tolv toner (f.eks. Gennem delte taster), er nu blevet en realitet den samme stemning sejrede næsten hele vejen igennem.

Femtedelen af den samme tuning adskiller sig fra dem ved den rene eller pythagoranske tuning med kun 2 cent; den store tredjedel, 14 øre for høj i forhold til den rene større tredjedel, accepteres uundgåeligt som "skærpet".

Ren femte: $1200\cdot \log _{2}\left({3 \over 2}\right)\;\mathrm {Cent} \approx 701{,}96\;\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({3 \ over 2} \ højre) \; \ mathrm {Cent} \ approx 701 {,} 96 \; \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({3 \ over 2} \ højre) \; \ mathrm {Cent} \ approx 701 {,} 96 \; \ mathrm {Cent}}$ , Lige femtedel: 700 øre.

Ren major tredje: $1200\cdot \log _{2}\left({5 \over 4}\right)\;\mathrm {Cent} \approx 386{,}31\;\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({5 \ over 4} \ højre) \; \ mathrm {Cent} \ ca. 386 {,} 31 \; \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({5 \ over 4} \ højre) \; \ mathrm {Cent} \ ca. 386 {,} 31 \; \ mathrm {Cent}}$ , Major tredjedel af samme ordre: 400 cent.

historie

Pythagorean Philolaos var den første til at definere det pythagoranske komma. Han baserede sig på tuning af en lyr og tildelte nøgletal af snorlængder:

{\frac {2}{1}}

{\ displaystyle {\ frac {2} {1}}}

{\ frac {2} {1}}

for oktaven,

{\frac {3}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}

{\ frac {3} {2}}

for den femte og

{\frac {4}{3}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}

{\ frac {4} {3}}

for den fjerde ^[1]

Han forklarer hele tonen som forskellen mellem en fjerde og en femte. Da tilføjelsen af intervaller svarer til multiplikationen og subtraktionen svarer til divisionen af de tilhørende forhold, resulterer følgende beregning:

Frekvensforholdet = svarer til hele tonen = femte - fjerde

{\frac {3}{2}}:{\frac {4}{3}}={\frac {9}{8}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {2}}: {\ frac {4} {3}} = {\ frac {9} {8}}}

{\ frac {3} {2}}: {\ frac {4} {3}} = {\ frac {9} {8}}

.

Philolaos definerer nu den (lille) halvtone som forskellen mellem en fjerde og to hele toner.

Frekvensforholdet svarer til den (lille) halvtone = fjerde - 2 · hele tone

{\frac {4}{3}}:\left({\frac {9}{8}}\right)^{2}={\frac {256}{243}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}}: \ venstre ({\ frac {9} {8}} \ højre) ^ {2} = {\ frac {256} {243}}}

{\ frac {4} {3}}: \ venstre ({\ frac {9} {8}} \ højre) ^ {2} = {\ frac {256} {243}}

.

To pythagoranske halvtoner lægger dog ikke op til en hel tone. Philolaos definerer forskellen som et (Pythagoras) komma.

Frekvensforholdet svarer til Pythagoras komma = hel tone - 2 · (mindre) halvtone

{\frac {9}{8}}:\left({\frac {256}{243}}\right)^{2}={\frac {531441}{524288}}=\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}:2^{7}

{\ displaystyle {\ frac {9} {8}}: \ venstre ({\ frac {256} {243}} \ højre) ^ {2} = {\ frac {531441} {524288}} = \ venstre ({ \ frac {3} {2}} \ højre) ^ {12}: 2 ^ {7}}

{\ frac {9} {8}}: \ left ({\ frac {256} {243}} \ right) ^ {2} = {\ frac {531441} {524288}} = \ left ({\ frac { 3} {2}} \ højre) ^ {12}: 2 ^ {7}

.

Philolaos definerer hele tonen og den lille halvtone (han kaldte Diesis , senere kaldet Limma ), men beregner ikke de tilsvarende forhold. Den første omtale af komma -andelen 531441: 524288 kan findes i Euclid . Han bemærker, at 6 hele toner danner et større interval end en oktav. Forskellen er igen det pythagoranske komma.

Ifølge denne definition svarer frekvensforholdet også til det pythagoranske komma = 6 hel tone oktav

\left({\frac {9}{8}}\right)^{6}:2={\frac {531441}{524288}}

{\ displaystyle \ venstre ({\ frac {9} {8}} \ højre) ^ {6}: 2 = {\ frac {531441} {524288}}}

\ venstre ({\ frac {9} {8}} \ højre) ^ {6}: 2 = {\ frac {531441} {524288}}

.

litteratur

Euclid: Katatome kanonos (Latin Sectio canonis ). Engl. Oversættelse i: Andrew Barker (red.): Greek Musical Writings. Bind 2: Harmonisk og akustisk teori , Cambridge Mass.: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, her: s. 199.
Hermann Diels: Fragmenterne fra præ-socratikken , 1. bind. 2. udgave. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1906

Se også

Weblinks

Joachim Mohr: De pythagoranske og syntoniske kommaer. I: kilchb.de. Hentet 12. september 2018

Individuelle referencer og kommentarer

↑ Dette handler om frekvensforholdene. Oprindeligt blev de gensidige værdier for strengforholdene noteret.

[1] Dette handler om frekvensforholdene. Oprindeligt blev de gensidige værdier for strengforholdene noteret.

[1]