Reelt tal

ℝ

Bogstavet R med en dobbelt linje
står for sættet med reelle tal

De reelle tal (ℝ) indeholder de rationelle tal (ℚ), som igen omfatter hele tal (ℤ) og de naturlige tal (ℕ)

De reelle tal danner en vigtig række tal i matematik . Det er en udvidelse af rækken af rationelle tal , åbningerne , hvorved de numeriske værdier for de målte værdier for konventionelle fysiske størrelser som længde , temperatur eller masse kan betragtes som reelle tal. De reelle tal inkluderer de rationelle tal og de irrationelle tal .

Totaliteten af reelle tal har særlige topologiske egenskaber sammenlignet med helheden af rationelle tal. Disse består blandt andet i, at der for hvert ”kontinuerligt problem”, som der i en vis forstand vilkårligt gode, tætte omtrentlige løsninger findes i form af reelle tal, også er et reelt tal som en nøjagtig løsning. Derfor kan de reelle tal bruges på mange måder inden for analyse , topologi og geometri . For eksempel kan længder , områder og mængder af en lang række geometriske objekter meningsfuldt defineres som reelle tal, men ikke som rationelle tal. Når matematiske begreber - såsom længder - bruges til beskrivelse i empiriske videnskaber , spiller teorien om reelle tal ofte en vigtig rolle.

Klassificering af de reelle tal

Talelinje

Symbolet bruges til at betegne sættet med alle reelle tal $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ( Unicode U + 211D: ℝ, se bogstav med dobbelt bjælke) eller også $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ Brugt. De reelle tal inkluderer

rationelle tal : $Q$ $=$ ${$ $...$ $,$ $-$ $2$ $1$ $,$ $-$ $1$ $2$ $,$ $-$ $1$ $1$ $,$ $0$ $,$ $1$ $1$ $,$ $1$ $2$ $,$ $2$ $1$ $,$ $1$ $3$ $,$ $...$ $}$ $=$ ${$ $s. s$ $q$ $|$ $s. s$ $\in$ $Z$ $,$ $q$ $\in$ $N$ $∖$ ${$ $0$ $}$ $}$ {\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ dotsc, - {\ tfrac {2} {1}}, - {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {1} }, 0, {\ tfrac {1} {1}}, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {2} {1}}, {\ tfrac {1} {3}}, \ dotsc \ højre \} = \ venstre. \ venstre \ {{\ tfrac {p} {q}} \ højre | p \ i \ mathbb {Z}, q \ i \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \ ret \}} ${\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ dotsc, - {\ tfrac {2} {1}}, - {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {1} }, 0, {\ tfrac {1} {1}}, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {2} {1}}, {\ tfrac {1} {3}}, \ dotsc \ højre \} = \ venstre. \ venstre \ {{\ tfrac {p} {q}} \ højre | p \ i \ mathbb {Z}, q \ i \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \ ret \}}$ ,
- hele tal : $Z$ $=$ ${$ $...$ $,$ $-$ $2$ $,$ $-$ $1$ $,$ $0$ $,$ $1$ $,$ $2$ $,$ $...$ $}$ {\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ dotsc, -2, -1,0,1,2, \ dotsc \}} ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ dotsc, -2, -1,0,1,2, \ dotsc \}}$ ,
  - naturlige tal : $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ (uden 0): $\{1,2,3,\dotsc \}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3, \ dotsc \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3, \ dotsc \}}$ eller (med 0): $\{0,1,2,3,\dotsc \}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2,3, \ dotsc \}}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2,3, \ dotsc \}}$ (også $\mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ $\ mathbb {N} _ {0}$ ) og
irrationelle tal : $R.$ $∖$ $Q$ {\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}} $\ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}$ = sættet af alle elementer af $R.$ {\ displaystyle \ mathbb {R}} $\ mathbb {R}$ der ikke er i $Q$ {\ displaystyle \ mathbb {Q}} $\ mathbb {Q}$ ligge. Disse kan igen opdeles i
- algebraiske irrationelle tal og
- transcendente irrationelle tal. Sidstnævnte omfatter
  - ikke-beregnelige tal .

De rationelle tal er de tal, der kan repræsenteres som brøkdele af hele tal. Et tal kaldes irrationelt, hvis det er reelt, men ikke rationelt. Det første bevis på, at tallinjen indeholder irrationelle tal, blev givet af pythagoræerne . For eksempel er irrationelle tal de ikke-heltals rødder af hele tal som f.eks ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ eller ${\sqrt[{3}]{7}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {7}}}$ ${\ sqrt [{3}] 7}$ .

En delmængde af de reelle tal, der omfatter de rationelle tal, er sættet med (reelle) algebraiske tal, dvs. de reelle løsninger af polynomiske ligninger med heltalskoefficienter. Dette sæt indeholder blandt andet alle rigtige $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -rødder til rationelle tal for $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ og deres begrænsede summer, men ikke kun disse (f.eks. løsninger af passende ligninger af 5. grad ). Dit supplement i $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ er sættet af reelle transcendente tal. Et transcendent tal er derfor altid irrationelt. Cirkelnummeret er for eksempel transcendent $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ (Pi) og Eulers nummer $e$ ${\ displaystyle e}$ $e$ . Alle de hidtil nævnte eksempler er beregnelige i modsætning til grænseværdien for en Specker -sekvens .

Notation for ofte anvendte undersæt af reelle tal

er $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $en \ in \ mathbb {R}$ , derefter henvist til

\mathbb {R} ^{\neq a}=\mathbb {R} \setminus \{a\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ neq a} = \ mathbb {R} \ setminus \ {a \}}

\ mathbb {R} ^ {{\ neq a}} = \ mathbb {R} \ setminus \ {a \}

sættet af alle reelle tal undtagen tallet a,

\mathbb {R} ^{\geq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \}}

,

\mathbb {R} ^{>a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \}}

,

\mathbb {R} ^{\leq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ leq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ leq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \}}

,

\mathbb {R} ^{<a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {<a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {<a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \}}

.

Denne notation er særlig almindelig med $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ vant til mængden $\mathbb {R} ^{>0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> 0}}$ $\ mathbb {R} ^ {{> 0}}$ af positive reelle tal eller sættet $\mathbb {R} ^{\geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq 0}}$ $\ mathbb {R} ^ {{\ geq 0}}$ af de ikke-negative reelle tal. Af og til fundet til specialkassen $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ også navnene $\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {{+}}$ eller $\mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} _ {0} ^ {{+}}$ . Men forsigtighed tilrådes her, som i $\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {{+}}$ nogle forfattere inkluderer nul, andre ikke.

Konstruktion af det virkelige ud fra de rationelle tal

Konstruktionen af reelle tal som en udvidelse af antallet af rationelle tal var et vigtigt skridt i det 19. århundrede for at sætte analyse på et solidt matematisk grundlag. Den første nøjagtige konstruktion kan spores tilbage til Karl Weierstraß , der definerede de reelle tal ved hjælp af afgrænsede serier med positive termer. ^[1]

Konstruktioner af reelle tal, der almindeligvis bruges i dag:

Repræsentation som Dedekind -udskæringer af rationelle tal: De reelle tal er defineret som den mindste øvre grænse for delmængder af de rationelle tal med en øvre grænse . ^[2]
Repræsentation som ækvivalensklasser af Cauchy -sekvenser : Denne konstruktion af reelle tal, som er udbredt i dag, går tilbage til Georg Cantor , ^[3], der definerede de reelle tal som ækvivalensklasser af rationelle Cauchy -sekvenser . To Cauchy-sekvenser betragtes som ækvivalente, hvis deres (punktvise) forskelle danner en nul-sekvens . Som det er relativt let at kontrollere, er denne relation faktisk refleksiv , transitiv og symmetrisk , dvs. egnet til dannelse af ækvivalensklasser.

Additions- og multiplikationsoperationerne af ækvivalensklasser induceret af addition og multiplikation af rationelle tal er veldefinerede , det vil sige uafhængigt af udvælgelsen af repræsentanterne for operanderne, dvs. Cauchy-sekvenserne. Med disse veldefinerede operationer danner de reelle tal, der er defineret på denne måde, et felt . Rækkefølgen af de rationelle tal fremkalder også en total orden . Samlet set danner de reelle tal således et ordnet felt .

Repræsentation som ækvivalensklasser for intervalindlejring af rationelle intervaller. ^[4]
Afslutning af den topologiske gruppe af rationelle tal i den forstand, at den kanoniske ensartede struktur er fuldført. ^[5]

Hver af de fire navngivne konstruktionsmetoder "fuldender" de rationelle tal, fører til den samme struktur (bortset fra isomorfisme ) (til de reelle tal) og belyser en anden egenskab ved de rationelle og reelle tal og deres forhold til hinanden :

Metoden til Dedekind nedskæringer fuldender ordren på de rationelle tal til en ordre-komplet ordre. Som et resultat heraf ligger de rationelle tal (i ordens forstand) tæt på de reelle tal, og hvert undersæt, der er afgrænset ovenfor, har et overherredømme.
Cauchy -sekvensmetoden fuldender sættet med rationelle tal som metrisk rum til et komplet metrisk rum i topologisk forstand. Således ligger de rationelle tal i topologisk forstand tæt på de reelle tal, og hver Cauchy -sekvens har en grænseværdi. Denne færdiggørelsesmetode (færdiggørelse) kan også bruges med mange andre matematiske strukturer.
Intervalsmetoden afspejler den numeriske beregning af reelle tal: Du er tilnærmelser med en vis nøjagtighed (en tilnærmelsesfejl) tilnærmet , så inkluderet i et interval omkring estimatet. Beviset for, at tilnærmelsen (ved iterative eller rekursive procedurer) kan forbedres efter behag, er derefter bevis på "eksistensen" af en reel grænseværdi.
Metoden til at færdiggøre en ensartet struktur anvender et særligt generelt begreb, der ikke kun kan anvendes på ordnede eller adskilte strukturer, såsom rationelle tal.

Aksiomatisk introduktion af reelle tal

Konstruktionen af reelle tal som en udvidelse af de rationelle tals rækkevidde udføres ofte i fire trin i litteraturen: Fra sætteori til naturlige, hele, rationelle og endelig til reelle tal som beskrevet ovenfor. En direkte måde at matematisk forstå de reelle tal er at beskrive dem gennem aksiomer . Til dette har man brug for tre grupper af aksiomer - kropsaksiomer, ordensstrukturs aksiomer og et aksiom, der garanterer fuldstændighed.

De reelle tal er et felt .
De reelle tal er totalt ordnet (se også ordnede felter ), det vil sige for alle reelle tal $-en$ $,$ $b$ $,$ $c$ {\ displaystyle a, b, c} $ABC$ er gældende:
1. Præcis et af forholdene gælder $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ , $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ , $b<a$ ${\ displaystyle b <a}$ $b <a$ ( Trikotomi ).
2. Ud $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ og $b<c$ ${\ displaystyle b <c}$ $b <c$ følger $a<c$ ${\ displaystyle a <c}$ $en <c$ ( Transitivitet ).
3. Ud $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ følger $a+c<b+c$ ${\ displaystyle a + c <b + c}$ $a + c <b + c$ (Kompatibilitet med tilføjelsen).
4. Ud $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ og $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ følger $ac<bc$ ${\ displaystyle ac <bc}$ $ac <bc$ (Kompatibilitet med multiplikationen).
De reelle tal er ordre-komplette , det vil sige enhver ikke-tom, opad afgrænset delmængde af $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ har et overherredømme $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Hvis man introducerer de reelle tal aksiomatisk, så er konstruktionen som en udvidelse af talområdet en mulighed for bevis for deres eksistens, mere præcist: Konstruktionen i fire trin fra sætteorien beviser, at en model for strukturen beskrevet af aksiomerne i sætteori, om konstruktionen løb tør, er til stede. Derudover kan det vises, at de angivne aksiomer klart bestemmer feltet for de reelle tal bortset fra isomorfisme. Dette følger i det væsentlige af det faktum, at en model af reelle tal ikke tillader anden automorfisme udover identitet. ^[6]

I stedet for de ovennævnte aksiomer er der andre muligheder for at karakterisere de reelle tal aksiomatisk. Især fuldstændighedens aksiom kan formuleres på forskellige måder. Især er der forskellige måder at udtrykke fuldstændighed for de konstruktionsmuligheder, der er beskrevet ovenfor, som det næste afsnit viser.

Aksiomer svarende til det supremum aksiom

Som et alternativ til det øverste aksiom kan følgende kræves: ^[7]

Det arkimediske aksiom og fuldstændigheds -aksiomet , der siger, at hver Cauchy -sekvens i $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ konvergerer .
Archimedes 'aksiom og interval -nestende aksiom , som siger, at skæringspunktet mellem enhver monotonisk faldende sekvens af lukkede afgrænsede intervaller ikke er tom.
Det minimale aksiom, der siger, at hver ikke -undtagende nedad afgrænset delmængde af $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ har et infimum.
Heine-Borel-aksiomet, der siger, at hvis der er et lukket, afgrænset interval på $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ med et vilkårligt antal åbne sæt af $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ er dækket, er der altid kun et begrænset antal af disse åbne sæt, der allerede dækker intervallet.
Bolzano-Weierstrass-aksiomet, der siger, at hver uendelig afgrænset delmængde af $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ har mindst et akkumuleringspunkt.
Monotoniens aksiom, der siger, at hver monoton afgrænset sekvens i $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ konvergerer.
Forbindelsens aksiom, der siger, at de reelle tal, forsynet med den sædvanlige topologi, danner et sammenhængende topologisk rum.

Der er også mulighed for at beskrive fuldstændighed i form af kontinuerlige funktioner ved at hæve visse egenskaber ved kontinuerlige funktioner til aksiomer. Rundt regnet:

Aksiomet for mellemværdier:
En på et interval på $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ defineret kontinuerlig reel funktion antager altid hver mellemværdi i sit værdiområde.
Begrænsningens aksiom:
En på et lukket og begrænset interval på $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ En defineret kontinuerlig reel funktion har altid et opad begrænset værdiområde.
Det maksimale aksiom:
En på et lukket og begrænset interval på $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ defineret kontinuerlig reel funktion har altid en maksimal plads.

Beføjelser

Kraften i $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ vil med ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak c}$ (Tykkelse af kontinuum ) . Det er større end kraften i sættet med naturlige tal , som er den mindste uendelige kraft $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ hedder. Sættet med reelle tal er derfor utalligt . Et bevis på deres utallighed er Cantors andet diagonale argument . Uformelt betyder "utallige", at enhver liste $x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc}$ reelle tal er ufuldstændige. Da mængden af reelle tal er lig med mængden af naturlige tal, er deres kardinalitet også givet $2^{\aleph _{0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {\ aleph_0}$ på.

De mindre omfattende udvidelser af sættet med naturlige tal, der blev nævnt i begyndelsen, er på den anden side lig med mængden af naturlige tal, det vil sige, at de kan tælles. For sættet med rationelle tal kan dette bevises ved Cantors første diagonale argument . Selv sættet med algebraiske tal og mere generelt settet med beregningsbare tal kan tælles. Utælleligheden opstår kun ved tilføjelse af de ikke-beregnelige transcendente tal.

I sætteorien, efter Cantors opdagelser, blev spørgsmålet undersøgt: ”Er der en magt mellem“ tællelig ”og magten i de reelle tal, mellem $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ og ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak c}$ ? "- Eller formuleret til de reelle tal:" Er alle utallige delmængder af de reelle tal lig med mængden af alle reelle tal? "Antagelsen om, at svaret på det første spørgsmål er" Nej "og på det andet spørgsmål" Ja ", kaldes kontinuumhypotesen (CH) , for kort som $\aleph _{1}={\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1} = {\ mathfrak {c}}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1} = {\ mathfrak {c}}}$ og $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$ $2 ^ {{\ aleph _ {0}}} = \ aleph _ {1}$ . Det kunne påvises, at kontinuumhypotesen er uafhængig af de almindeligt anvendte aksiomsystemer som Zermelo-Fraenkel-sætsteorien med aksiom af valg (ZFC), dvs. at den hverken kan bevises eller modbevises inden for rammerne af disse systemer.

Topologi, kompakthed, udvidede reelle tal

Den sædvanlige topologi, hvormed de reelle tal er givet, er den fra basen af de åbne intervaller

(a,b)={]a,b[}=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\};\quad a,b\in \mathbb {R}

{\ displaystyle (a, b) = {] a, b [} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x <b \}; \ quad a, b \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle (a, b) = {] a, b [} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x <b \}; \ quad a, b \ in \ mathbb {R}}

er produceret. Skrevet i denne form er det ordenstopologi . Åbne intervaller i de reelle tal kan også defineres af midten $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ og radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ repræsentere: $]p-r,p+r[$ ${\ displaystyle] pr, p + r [}$ ${\ displaystyle] p-r, p + r [}$ , så som åbne bolde

B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-p|<r\}

{\ displaystyle B_ {r} (p): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid | xp | <r \}}

{\ displaystyle B_ {r} (p): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid | x-p | <r \}}

med hensyn til metriket defineret af beløbsfunktionen $d(x,y):=|x-y|$ ${\ displaystyle d (x, y): = | xy |}$ ${\ displaystyle d (x, y): = | x-y |}$ . Topologien genereret af de åbne intervaller er også topologien i dette metriske rum . Da de rationelle tal er tætte i denne topologi, er det tilstrækkeligt at stole på rationelle tal for intervalgrænserne eller centrene og radierne for de bolde, der definerer topologien $-en, b, s. s, r$ ${\ displaystyle a, b, p, r}$ $a, b, p, r$ for at begrænse opfylder topologien derfor begge aksiomer for tællbarhed .

I modsætning til de rationelle tal er de reelle tal et lokalt kompakt rum ; til et hvilket som helst reelt tal $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ der kan derfor specificeres et åbent miljø, hvis lukning er kompakt. Sådan et åbent miljø er let at finde; ethvert begrænset, åbent sæt $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ med $x\in U$ ${\ displaystyle x \ i U}$ $x \ i U$ gør hvad du vil: ifølge Heine-Borels sætning, er ${\bar {U}}$ ${\ displaystyle {\ bar {U}}}$ ${\ bar {U}}$ kompakt.

Det reelle talfelt er kun lokalt kompakt, men ikke kompakt. De såkaldte udvidede reelle tal er en udbredt komprimering ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ , hvor miljøerne i $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ gennem den omgivende base

\{B_{r}(-\infty )\mid r\in \mathbb {Q} ^{+}\}

{\ displaystyle \ {B_ {r} (- \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}

{\ displaystyle \ {B_ {r} (- \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}

med

B_{r}(-\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x<-{\tfrac {1}{r}}\}

{\ displaystyle B_ {r} (- \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <- {\ tfrac {1} {r}} \}}

{\ displaystyle B_ {r} (- \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <- {\ tfrac {1} {r}} \}}

og omgivelserne $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ gennem den omgivende base

\{B_{r}(+\infty )\mid r\in \mathbb {Q} ^{+}\}

{\ displaystyle \ {B_ {r} (+ \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}

{\ displaystyle \ {B_ {r} (+ \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}

med

B_{r}(+\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x>{\tfrac {1}{r}}\}

{\ displaystyle B_ {r} (+ \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> {\ tfrac {1} {r}} \}}

{\ displaystyle B_ {r} (+ \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> {\ tfrac {1} {r}} \}}

At blive defineret. Denne topologi opfylder stadig begge aksiomer for tællbarhed. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline {\ R}$ er homomorf i forhold til det lukkede interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , for eksempel er tallet $x\mapsto \arctan x$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ arctan x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ arctan x}$ en homomorfisme ${\overline {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2]$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} \ til [- \ pi / 2, \ pi / 2]}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} \ til [- \ pi / 2, \ pi / 2]}$ , og alle kompakte intervaller er homeomorfe ved hjælp af lineære affinefunktioner. Bestemt divergerende sekvenser er konvergerende i topologien for de udvidede reelle tal, for eksempel virker udsagnet

\lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {2} = + \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {2} = + \ infty}

i denne topologi af en reel grænseværdi.

med $-\infty <x<\infty$ ${\ displaystyle - \ infty <x <\ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty <x <\ infty}$ for alle $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ de udvidede reelle tal er stadig fuldstændig ordnet. Det er imidlertid ikke muligt at overføre de reelle tals kropsstruktur til de udvidede reelle tal, f.eks $\infty +x=\infty$ ${\ displaystyle \ infty + x = \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty + x = \ infty}$ ingen klar løsning.

relaterede emner

En ikke-standardiseret analysemodel er afledt af modelteori.
En omtrentlig repræsentation af reelle tal i computeren udføres ved hjælp af flydende tal .
Intervallets aritmetik muliggør beregninger under hensyntagen til tilnærmelsesfejlene.
Tal er repræsenteret i et talsystem .

litteratur

Oliver Deiser : Reelle tal. Det klassiske kontinuum og de naturlige konsekvenser. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3 .
Klaus Mainzer : Reelle tal. I: Heinz-Dieter Ebbinghaus blandt andre: Tal. 3. Udgave. Springer, Berlin / Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0 , kapitel 2.
Otto Forster : Analyse 1. Differentiale og integralregning af en variabel. 4. udgave. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9 .
Harro Heuser : Lærebog i analyse, del 1. 5. udgave. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2 .
John MH Olmsted: The Real Number System . Appleton-Century-Crofts, New York 1962.
Den lille Duden "Matematik" . 2. udgave. Dudenverlag, Mannheim et al. 1996, ISBN 3-411-05352-6 .

Weblinks

Wiktionary: reelt tal - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Wikibooks: Math for Non -Freaks: Real Numbers - Learning and Teaching Materials

Wikibooks: Analyse - reelle tal - Lærings- og undervisningsmateriale

Wikibøger:

{\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}

${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}}$ ${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}}$ Matematik til skolen - Antal tal

LD Kudryavtsev: Reelt tal . I: Michiel Hazewinkel (red.): Matematikens encyklopædi . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ).
Eric W. Weisstein : Reelt tal . I: MathWorld (engelsk).

Individuelle beviser

↑ Georg Cantor : Grundlaget for en generel teori om manifolder. 1883, § 9, citeret fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. udgave. Suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 245 ff.
^ Edmund Landau : Fundamentals of Analysis. Chelsea Publishing, New York 1948.
↑ Georg Cantor : Grundlaget for en generel teori om manifolder. 1883, § 9, citeret fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. udgave. Suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 248.
^ Konrad Knopp: Teori og anvendelse af den uendelige serie. 5. udgave. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3 ; § 3 De irrationelle tal.
^ Nicolas Bourbaki : Topologie Générale (= Éléments de mathématique ). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1 , kap. 4 , s. 3 .
^ Ebbinghaus et al .: Numbers. 1992, del A, kapitel 2, afsnit 5.3.
^ Ebbinghaus et al .: Numbers. 1992, del A, kapitel 2, § 5.2.

[1] Georg Cantor : Grundlaget for en generel teori om manifolder. 1883, § 9, citeret fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. udgave. Suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 245 ff.

[2] Edmund Landau : Fundamentals of Analysis. Chelsea Publishing, New York 1948.

[3] Georg Cantor : Grundlaget for en generel teori om manifolder. 1883, § 9, citeret fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. udgave. Suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 248.

[Knopp-4] Konrad Knopp: Teori og anvendelse af den uendelige serie. 5. udgave. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3 ; § 3 De irrationelle tal.

[5] Nicolas Bourbaki : Topologie Générale (= Éléments de mathématique ). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1 , kap. 4 , s. 3 .

[6] Ebbinghaus et al .: Numbers. 1992, del A, kapitel 2, afsnit 5.3.

[7] Ebbinghaus et al .: Numbers. 1992, del A, kapitel 2, § 5.2.

[1]

[2]

[3],

[4]

[5]

[6]

[7]