Ren stemning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Som en ren atmosfære er der henvist til et musikalsk lydsystem , hvor de store og mindre triader kun perfekte femtedele inkluderet (med frekvensforholdet 3/2) og rene tredjedele (med frekvensforholdene 5/4 og 6/5).

Den lige tuning, der er almindelig i dag på instrumenter med 12 uafbrudt tunede toner pr. Oktav, er et kompromis i intonationen , hvor kun oktaven kan høres, men alle nøgler i femdelcirklen kan spilles. [1]

Mange musikinstrumenter og sangere kan realisere rene intervaller. Jo bedre det lykkes, jo mere perfekt føles harmonien. Dette er baseret på det faktum, at i naturlige lyde, ud over den grundlæggende tone, også overtoner, hvis frekvens er et integreret multiplum af grundtonens frekvens, også giver genlyd. Hvis disse delvist falder sammen i tilfælde af akkorder, opfattes lyden som harmonisk; hvis akkorderne er ude af melodi, bliver lyden ru.

I Pythagoras tuning af middelalderen var kun oktaverne og femtedele, og dermed også de fjerde, i harmoni , men ikke den store tredjedel.

Uanset stemningen bruges ordet rent i intervaller prim, fjerde, femte og oktav også simpelthen som det modsatte af formindsket eller overdreven .

historie

Ren tuning opstod i Vesteuropa med fremkomsten af ​​polyfoni i anden halvdel af 1400 -tallet. Dens brug blev først nævnt af Walter Odington , der nævner den største tredjedel som en konsonant. Ars subtilior integrerede den største tredjedel i en nyopstået triadeopfattelse, indtil Bartolomé Ramos de Pareja udvidede denne tankegang teoretisk for monokorden i en musikalsk afhandling fra 1482. [2] Tanaka skrev:

En spanier ved navn Bartholomeus Ramis var den første til at henlede opmærksomheden på behovet for en temperatur i sit værk "De Musica tractatus", Bolognia i 1482. Det ser ud til, at han er kommet til den opfattelse, at major og minor tredjedele som konsonanter skal have proportionerne 5/4 og 6/5 fundet af Didymus og Ptolemaios, og at hvis kommaet er disse afvigelse fra Pythagoras, i Praksis kunne ikke ses bort fra, at det samme kunne elimineres ved en ny fordeling af skalaernes intervaller. Hermed forkyndte han den frugtbare idé om en endelig afskaffelse af det onde i tonesystemet, som var blevet kronisk i mere end to århundreder ... [3]

Gennem Lodovico Foglianos 'værk "Musica Theorica" ​​fra 1529 blev den rene tuning bedre kendt. [4] Gioseffo Zarlino (1517–1599) beskriver i sit epokegørende værk "Institutioni harmoniches", der først blev udgivet i Venedig i 1557, den pythagoranske tredjedel med andelen 81:80 som decideret dissonans, mens den naturlige tredjedel med andelen 5 : 4 som behageligt rørende.

brug

I polyfonisk musik er idealet om ren tuning udbredt i vokalensembler, kor og ensembler med blæsere og strygeinstrumenter. Ved at lytte til hinanden kan rene akkorder lyde. På korskoler for eksempel forklares den korrekte intonation præcist ved hjælp af teorien om ren tuning. [5]

Et særligt træk ved at lave musik i ren tuning er, at med modulationer ændres ikke kun toner ved at ændre tegnet, men også en yderligere tone med et syntonisk komma . For eksempel, i forhold til C -dur, kræver G -dur tonen F skarp i stedet for tonen F og også tonen A højere ved et syntonisk komma (se moduleringer i ren tuning ). Af denne grund kan en tuning, der er ren for flere nøgler, kun opnås med tastaturinstrumenter, hvis der er mere end 12 taster pr. Oktav, som det er tilfældet med f.eks. Archicembalo . Sådanne instrumenter kan praktisk talt ikke afspilles og kan ikke opnås accept. På tastaturinstrumenter med 12 faste tonehøjder pr. Oktav, hvis flere eller endda alle skalaer i cirkel af femtedele skal kunne bruges, er en afvigelse fra idealet om ren tuning nødvendig, temperering nødvendig. Tab i den melodiøse lyd af akkorder skal accepteres (se også ren tuning for keyboardinstrumenter ).

Midtonetuningen i det 16. til 18. århundrede indeholder rent afstemte større tredjedele. Dette opnås ved at gøre femtedele mere afstemt.

Eksempel på fire middelværdige femtedele og den tilsvarende rene tredjedel
Fire -Comma-mean-tone femtedele og en ren tredjedel (a '= 440 Hz)

En stor kadence

Mellemtone femtedele CG GD DA AE og den perfekte tredje CE

Mellemtone-tuningerne har den begrænsning, at ikke alle nøgler kan afspilles. Kun de velstempede tuninger og den lige tempererede tuning tillader spil i alle nøgler, men bevæger sig væk fra idealet om ren tuning ved at skærpe den rene tredjedel. (Femtedelerne er forbedret i forhold til tuning i mellemtonen.)

Ikke kun i den vestlige musikalske tradition, men også i ikke-europæiske musikalske kulturer, støder man ofte på harmonisk rene intonationer . I individuelle tilfælde er andre intervaller i overtoneserien også inkluderet, såsom den naturlige syvende (7. del ) [6] eller Alphorn Fa (11. del).

Nøgler i ren tuning

Renstemte nøgler spiller en afgørende rolle i udøvelsen af ​​musikken fra renæssancen og barokperioden af ​​a cappella -kor, strygekvartetter eller orkestre. Med ren intonation opnås en klar grundtonefornemmelse (på grund af forskelligtonerne ) og en slagfri lyd (på grund af almindelige overtoner ). Dette gælder naturligvis også for musikken i de klassiske og romantiske perioder og er ideelt rettet mod i deres messingafsnit. På samme tid bliver intonationen imidlertid mere kompliceret på grund af udvidelsen af ​​akkordmuligheder væk fra de simple triader til en ekstrem kromatisering af bevægelsen, for eksempel med Richard Wagner .

En stor kadence

En stor kadence

ren

En stor kadence

(Ingen slag.)

Da der kun kan spilles en nøgle på tastaturer med 12 taster, er afstandene mellem femdelcirklen blevet ændret en smule. I mellemtonet tuning, så tredjedele lød i ren form. Mange nøgler - dog ikke alle - kunne spilles på den måde. Med lige tuning, så oktaven er opdelt i 12 lige halvtoner. Her lyder tredjedelen groft.

mellemton

En stor kadence

(Lavt slag, hvorigennem
lidt "ude af klang" femtedel betinget.
Se: middeltonet femtedele .)

lige

En stor kadence

(Voldelige beats - cirka ti gange
hurtigere end med mellemtonen , hovedsageligt
forårsaget af "ude af melodi" tredje.)

Octave, femte og major tredje udgør grundintervallerne for den rene tuning. Alle yderligere intervaller kan sættes sammen fra disse grundlæggende intervaller. Det er derfor, dette system også kaldes det femte-tredje system .

Frekvensforhold mellem de store og mindre skalaer i ren tuning

Rene skalaer er baseret på følgende frekvensforhold:

C -dur (som eksempel) C. D. E. F. G EN. H c
interval
Frekvensforhold til det grundlæggende
Prime
1/1
stor anden
9/8
større tredjedel
5/4
Fjerde
4/3
Femte
3/2
major sjette
5/3
major syvende
15/8
oktav
2/1
Frekvensforhold mellem nabotoner 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
C -moll (som eksempel) C. D. Det F. G Som B. c
interval
Frekvensforhold til det grundlæggende
Prime
1/1
stor anden
9/8
mindre tredjedel
6/5
Fjerde
4/3
Femte
3/2
lille sjette
8/5
mindre syvende
9/5
oktav
2/1
Frekvensforhold mellem nabotoner 9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9

Akkorder i tonic CEG eller C-Es-G, subdominanten FAc eller F-As-c og den dominerende GHd eller GBd (i moll) består af perfekte femtedele og tredjedele. Den femte DA er imidlertid uren. En akkord på andet niveau betyder derfor allerede en (mellemliggende) modulering i retning af subdominanten . I skalaerne ved lige intonation skal det bemærkes, at der er to typer heltoner, for eksempel C til D med frekvensforholdet 9/8 og D til E til frekvensforholdet 10/9.

Som følge heraf afviger disse skalaer umiskendeligt fra skalaen ved lige tuning, hvor hver halvtone udgør præcis en tolvtedel af oktaven og en hel tone svarer til præcis to halvtoner.

Cdur cmoll af samme niveau

Den additive notation af de store og mindre skalaer

Hovedartikel: Oktavens opdeling i 53 tonehøjder

På tidspunktet for Zarlino (1517–1590) lærte man på musikskoler, at dele kan tildeles intervaller:

  • stor hel tone = 9 dele
  • lille hel tone = 8 dele
  • diatonisk halvtone = 5 dele

Hvis du noterer afstanden fra skalaen fra c (i parentes) eller fra den tilstødende tone (sæt lavere) i denne division, får du:

 C -dur: c (0) 9 d (9) 8 e (17) 5 f (22) 9 g (31) 8 a (39) 9 timer (48) 5 c (53)
C minor: c (0) 9 d (9) 5 e-flat (14) 8 f (22) 9 g (31) 5 a- flat (36) 9 b (45) 8 c (53)

Den kromatiske halvtone (fra es til e, som til a og b til h) består af 3 dele.

Da oktaven udgør 53 dele af en del 1/53 oktav = 1/53 • 1200 cent = 22,6 cent.

  • Største tredjedel (omtrentlig værdi) = interval ce = 17 dele = 384,9 cent (præcist: 200 • log 2 (5/4) = 386,3 cent)
  • 5. (omtrentlig værdi) = interval cg = 31 dele = 701,9 cent (præcis 1200 • log 2 (3/2) = 701,0 cent)

Afvigelserne af de omtrentlige værdier her fra de nøjagtige værdier er mindre end et skisma (2 øre) og dermed ved grænsen for den mærkbare toneforskel.

Den største tredjedel

Grundlæggende er den karakteristiske frekvens med den rene tredje værdi 5/4. Midtonetuningen med sine mange rene tredjedele realiserede næsten fuldstændig den rene tuning til keyboardinstrumenter - men kun for et begrænset antal nøgler.

Den rene major tredje blev først nævnt omkring 1300 af Walter Odington i hans De Speculatione Musices . [7] [8] Tidligere beskrivelser af dette interval er relateret til det gamle græske tonesystem . [9]

En stor kadence Ren:
mellemtone:
Pythagoreansk:
lige:
Den rene tredjedel med frekvensforholdet 5/4 har nu opfattet (i modsætning til den pythagoranske tredjedel med frekvensforholdet 81/64) som en konsonans. Det tog flere århundreder, før den lige tredjedel (svarende til den pythagoranske tredjedel) blev accepteret.

Ved ren og mellemtonet tuning slår den rene tredjedel (386 øre) ikke. I mellemtonetuningen kan du høre den let tempererede femte i den anden akkord i et let slag. Den "skærpede" tredjedel i lige (400 cent) eller endda pythagoreansk (408 cent) tuning med et stærkt slag opfattes som friktion. (Se også eksemplet på den store tredjedel med en forstærket differenstone .)

Bemærk: Rene intervaller er kendetegnet ved heltalsfrekvensforhold, hvorimod tempererede intervaller normalt har et irrationelt frekvensforhold. Derfor foretages størrelsessammenligningen ved hjælp af centenheden .

F større kadence
F større kadence ren:
Den rene tredjedel i akkordens sopran - som her i den første, tredje og sidste akkord - forekommer for øret, der er vant til lige tuning, at være intoneret for lavt. Den klare lyd er derimod overbevisende.

Til sammenligning:

mellemtone:
lige:

Anden grad akkord

Den rene tuning af C -durskalaen med D for den dominerende akkord GHD og A for subdominantakkorden FAC resulterer i en femte DA , som er et syntonisk komma for snævert og dermed fremstår dissonant . [10]

Dissonant akkord på 2. grad dissonant d -moll i C -dur:

Anden graders akkord er en mellemmodulation mod subdominanten . D for A -moll (eller F -dur) resulterer i en ren moll -akkord DFA . I den følgende kadence er D i anden grad Sp -akkord et syntonisk komma lavere end i D -akkordet for den dominerende.

Zeilerlei D to slags d i C -dur:

Hvis dette ikke observeres, kan stemningen i et kor falde. (se "Kommafælde".) [11]

Andengradsakkorden kan imidlertid også tolkes som en dobbeltdominerende - ofte diskuteret sjældnere i litteraturen - som D -F sharp -A. I dette tilfælde - modulation mod dominerende - er A forøget med en syntonic komma.

Matematisk beskrivelse

Intervalrummet for den rene tuning er det femte-tredje system .

Alle intervaller kan repræsenteres som multipler af de tre grundintervaller Ok (oktav), Q (femte) og T (større tredjedel).

interval skildring Frekvensforhold
oktav Ok (basisinterval) 2: 1
Femte Q (grundinterval) 3: 2
Store tredjedel T (grundinterval) 5: 4
Fjerde Ok - Q 4: 3
Lille sjette Ok - T. 8: 5
Mindre tredjedel Q - T 6: 5
Major sjette Ok + T - Q 5: 3
(Stor) hel tone 2Q - Ok 9: 8
Lille hel tone T - (stor hel tone) = Ok + T - 2Q 10: 9
Mindre syvende (1. mulighed) Ok - (stor hel tone) = 2Ok - 2Q 16: 9
Mindre syvende (2. mulighed) Ok - (lille hel tone) = 2Q - T 9: 5
halvtone Quart - T = Ok - Q - T 16:15
Major syvende Ok - halvtone = Q + T 15: 8
Syntonisk komma 2 (store hele toner) - T = 4Q - 2Ok - T 81:80
detaljeret tabel

Problemer med tastaturinstrumenter

Med moduleringer ændres toner ikke kun med en halvtone, men også nogle toner med et syntonisk komma (se modulering for ren tuning ). Dette kan ikke opnås på et tastatur med tolv toner pr. Oktav. Man blev tvunget til at bruge tempererede stemninger. Først:

Modulationer kræver en justering af banen

Tommelfingerregel: Ved modulering til en nabotast ændres to toner, hvoraf den ene er genkendelig med et tegnændring, den anden lidt med et syntonisk komma . (Frekvensforhold 81/80 21,5 øre. Det er cirka 1/5 halvtone.)

For eksempel, ved modulering fra C -dur til F -dur, falder B ikke kun med en halvtone til B , men også D med et syntonisk komma . Ved en modulering af C -moll til F -moll er B et syntonisk komma og D med en halvtone til Des faldt.

Ved modulering fra C -dur til G -dur øges ikke kun F med en halvtone til F -skarp , men også A med et syntonisk komma. Ved modulering fra C -moll til G -moll stiger F med et syntonisk komma og As med en halvtone til A.

Sammenligning af den udvidede rene tuning med tuning af samme niveau

Hvis du tilføjer F-skarp fra G-dur og D- flad fra F-moll til noterne på C-dur og moll-skalaen, får du den 12-trins kromatiske skala for den rene tuning. [12] [13]

Kromatisk skala for den rene tuning af C -dur og C -moll suppleret med F -skarp og D -flad:

Bemærk: Ved sammenligning af intervaller bruges centenheden . Følgende gælder: 1 oktav = 1200 cent.

Navn på tonen C. Af D. Det E. F. F skarp G Som EN. B. H c
frekvens 264 281,6 297 316,8 330 352 371,25 396 422,4 440 475,2 495 528
I øre 0 112 204 316 386 498 590 702 814 884 1018 1088 1200

De følgende triader indeholder perfekte femtedele og rene mindre og større tredjedele.

5. fyldt med tredjedele

I denne tuning kan du kun spille C-dur og C-moll samt A-dur og e-moll (med den mindre dominerende HD-F-skarp). (Hvis D-fladen i den store dominerende akkord B-D flat-F-skarp erstattes af dens enharmoniske blanding af E-moll, er resultatet en E-flade, der er 41 cent for høj.) Humør justerede halvtonerne. Det faktum, at ingen triade kan høres, accepteres som et kompromis.

Kromatisk skala med lige tuning:

Navn på tonen C. Cis / Db D. Dis / Es E. F. F skarp / Ges G G skarp / en flad EN. Ais / B H c
frekvens 261,6 277,2 293,7 311.1 329,6 349,2 370 392 415.3 440 466,2 493,9 523,3
I øre 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Den samme tuning opnås også ved at fordele det pythagoranske komma i femdelkredsen FCGDAEH-F skarp-C skarp-G skarp-Dis-Ais-Eis-His = (C?) Over de tolv femtedele. Den perfekte femtedel (702 øre) adskiller sig kun lidt fra den tilsvarende (700 øre). Den største tredjedel (386 cent) "skærpes" med 14 cent i den samme tuning (400 cent).

Frekvensforhold for den udvidede skala

Hvis du tilføjer F -skarp fra G -dur (dominerende) og D -flad fra F -moll (subdominant) til C -dur og C -moll -skalaen, får du tolv niveauer. [14]

C -dur / C -mol kromatisk C. Af D. Det E. F. F skarp G Som EN. B. H c
Frekvensforhold til det grundlæggende 1/1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 (16/9) 15/8 2/1
Frekvensforhold mellem nabotoner 16/15 135/128 16/15 25/24 16/15 135/128 16/15 16/15 25/24 27/25 (16/15) 25/24 (135/128) 16/15
i øre 112 92 112 71 112 92 112 112 71 133 (112) 71 (92) 112

Her vælges B som en ren mindre tredjedel af G (tilhørende C -mol). I nogle (femtedele) repræsentationer vælges B som en fjerde til F (angivet i parentes) med den fordel, at intervallet AB er en diatonisk halvtone. Men så tilhører denne B allerede F -dur. Som du kan se, kan et instrument, der er indstillet i denne tuning, kun bruges til C -dur og C -moll (med en passende B -dur) samt A -dur og E -moll og realiseres praktisk talt ikke. Desuden er det vilkårligt, hvilke mellemtoner - f.eks. Om G -skarp eller A -flad - der bruges. Dette afhænger af det harmoniske forhold.

Lydprøve Som G skarp . Her, som lyder, dør en (41 cent) højere end G -skarp .:

2021 som gis.png

Lille og stor halvtone

I den rene tuning er der den store, den diatoniske halvtone med frekvensforholdet og de små, de kromatiske halvtoner [15] med frekvensforholdene og

I den kromatisk udvidede C -dur / C -mol skala:

Diatoniske halvtoner med 112 cent: E → F og B → c , samt C → Db , C skarp → D , D → Eb og D flad → E.
Kromatiske halvtoner med 92 cent: C → C skarp og D flad → D.
Kromatiske halvtoner med 71 cent: D → D flad og Eb → E.
(Bemærk: C → D er en stor hel tone med 204 cent og D → E er en lille hel tone med 182 cent. Derfor adskiller de to kromatiske halvtoner sig med 21 cent.)

Eulers notation

De to vigtigste intervaller i triaddannelse er den femte og den tredje. Da den rent afstemte tredjedel ikke optræder i femdelkredsen, udviklede Euler en præcis notation, der muliggør en præcis definition af tonehøjden, der er skjult i den musikalske notation.

  • ... -bfcgdae ... (femtedele med et frekvensforhold på 3: 2)
  • ...-, b-, f-, c-, g-, d-, a-, e ... Tonerne "lavpunkt b", "lavpunkt f" ... er et syntonisk komma lavere end i den første række.
  • Konklusion: Intervallerne c-, e og d-, f skarp og e-, g skarp og f-, a og g-, h etc. har frekvensforholdet 5: 4.

Denne notation blev brugt af forskellige musikteoretikere som Moritz Hauptmann , Hermann von Helmholtz og Arthur v. Oettingen brugte og førte til nye musikinstrumenter som det rene harmonium .

De rene skalaer har altid den samme repræsentation i denne fremstilling: Skalaens tredje, sjette og syvende noter er et syntonisk komma lavere i dur og et syntonisk komma højere i mol.

F -dur f G , a b c , d , e f , D -moll , d , e f , G. , a b c , d
C -dur c d , e f G , a , H. c , A -moll , a , H. c , d , e f G , a
G -dur G -en , H. c d , e , fis G , E -moll , e , fis G , a , H. c d , e

Du kan straks se, at med modulationer ændres individuelle toner med et syntonisk komma. For eksempel ved overgangen

  • fra C -dur til G -dur tonen, a til a,
  • fra C -dur til F -dur eller i a -mol, tonen d til, d.

Beregningen af ​​de tilsvarende centværdier med en oktav = 1200 cent, en femtedel = 701.955 cent og et syntonisk komma = 21.506 cent resulterer f.eks. Med c = 0 cent afrundet:

  • e = c + 4 femtedele - 2 oktaver = 408 cent og, e = e - syntonisk komma = 386 cent (= c + ren større tredjedel)

De tilsvarende frekvensværdier beregnes med c = 264 Hz som følger:

  • og .

Lydeksempel: sammenligning af ren, mellemtonet og lige tuning

Bemærk billede Hvem lader kun den kære Gud styre

Bevægelse Friedrich Silcher [16]

Lyt
Ren stemning Ren stemning langsomt 1/4 punkt betyder tonetuning lige stemning
1. linje:

2. linje:
1. linje langsomt:

2. linje langsomt:
1. linje:

2. linje:
1. linje:

2. linje:

Her er cadenza-akkorder (i Euler-notation) G-'BD, C-'Es-G og D-, F sharp-A i ren tuning i g-moll. Ved modulering til 'B-dur (mål 6 og mål 13) med de rene kadence-akkorder' BD-'F, 'Es-G-'B og' FA-'C øges noten C med et syntonisk komma til 'C ... [17]

Flere lydprøver

Et velkendt, historisk ukorrekt eksempel blev valgt for den tonale fremstilling af rene stemninger, hvilket gør det muligt tydeligt at høre de vanskelige forskelle. Det blev designet af Johann Sebastian Bach til en af ​​de (mange) velhæmmede stemninger ; Præcis som man ikke længere kan rekonstruere med sikkerhed i dag.

Johann Sebastian Bach: Prelude i C-dur fra første bind af den veltempererede klavier , BWV 846

Eksempel 1 : søjler 1 til 5

Prelude barer 1-5.jpg

  • Den 7-trins beskrevet i teksten (ren) C-dur skala, selvom den resulterer i en melodisk meningsfuld stor hel tone (9/8) cd [hvor a)], men den femte er at [i b)] besmittet (40 / 27 i stedet for 3/2; den har omkring 680.448 cent et syntonisk komma for) lille.
  • Den femte er ved at udvide skalaen til et forringet d [hvor a)] også, selv om den er justeret [med b)], men på den ene side dannes en umelodisk mindre hel tone (10/9) og på den anden en tydeligt hørbar (syntonisk) punktforskel ( 81/80) mellem d'erne på det andet og tredje ur [hvor c)].
  • Ved accept af den naturlige syvende (7/4 i stedet for 9/5) i den dominerende [hvor d)] dannes et ekstra "septimal komma" (64/63, cirka 27.264 cent) f mellem det andet og tredje ur [e )]]. Gleitton fe kaldes "septimaler halftone" (21/20, ca. 84.467 cent) tæt intonation [hvor f)].

Eksempel 2 : søjler 5 til 11

Prelude, søjler 5-11.jpg

  • Også den 12 -trins kromatiske skala indeholder (kun) den urene femte da (40/27), som her to gange er en del af de dobbelte dominerende lyde -Septakkordes [hvor a)].
  • Kompensation for dette kræver femte nu en Pythagoras eingestimmtes a (27/16 i stedet for 5/3), som sammenlignes med en som grundtonen af tonic parallel forøges med et komma syntonic [med b)]. Da punktforskellene høres i en af ​​mellemstemmerne, er de næppe signifikante - med et helt acceptabelt tonalt resultat.
  • I modsætning hertil fører tonen c i den dobbeltdominerende, der er tonet som en naturlig syvende, igen til det klart hørbare "septimal komma" [i c)].

litteratur

Weblinks

Se også

svulme

  1. Den rene tuning kan føre til konflikter med et medfølgende klaver osv. Cellisten Pablo Casals skrev i The Way They Play (1972): Vær ikke foruroliget, hvis du har en anden intonation end klaveret. Det er på grund af klaveret, som er ude af melodi. Klaveret med dens lige tuning er et kompromis i intonation .
  2. Musikken i fortid og nutid 1986 bind. 13 s. 217 "Temperatur und Mood"
  3. Shoé Tanaka: Studier inden for det rene humør.
  4. Musik i fortid og nutid 1986 bind. 13 s. 544 "Tonsysteme"
  5. Bettina Gratzki: Den rene intonation i korsang s. 25
  6. ^ Johann Philipp Kirnberger , Blandet musik 1769 s. 26-27 og fløjtesonat i G-dur Adagio
  7. s: da: Catholic Encyclopedia (1913) / Walter Odington
  8. ^ Harvard-ordbogen for musik, Don Michael Randel, 2003, ISBN 0-674-01163-5 , side 56, overskrift: Aritmetisk og harmonisk middel, afsnit 2 online
  9. Musikhistorie: De første tider i den nye kristne verden og kunst. Udviklingen af ​​polyfonisk sang. 1864. bind 3. Under renæssancen op til Palestrina. 1868, Musikhistorie: bind 2, Wilhelm Bäumker, 1864, side 361 online
  10. I Eulers notation er C -dur -skalaen cd, efg, a, h c. Den femte d, a og anden graders akkord df, a er urene. Hvis du reducerer d med en efterfølgende, bliver d (modulering i den dominerende retning), den femte, d, a og den mindre akkord, df, a ren.
  11. Lektion: 2. graders akkord, kommafælden, den napolitanske sjette akkord og den dobbelte dominerende . kilchb.de. Hentet 4. oktober 2019.
  12. En 12-punkts skala med ren tuning er rent teoretisk og derfor vilkårlig. Hier wird zum Beispiel das B des reinen g-Moll-Akkordes verwendet. Genauso berechtigt könnte man – und so sieht man es auch des Öfteren – das B als reine Quinte zu F wählen.
  13. Arnold Schönberg beschreibt in seinem musiktheoretischen Werk Harmonielehre. (Wien, 1911; dritte Auflage 1922) die reine Stimmung, wobei er dem Tritonus (Fis) die Oktavmitte (gleichschwebend) zuordnet.
  14. In der Schreibweise des Eulersches Tonnetzes wird die chromatische Skala folgendermaßen beschrieben mit Abstand zu c in Cent:
    c 0 | 'des 111,73 | d 203,91 | 'es 315,64 | ,e 386,31 | f 498,04 | ,fis 590,22 | g 701,96 | 'as 813,69 | ,a 884,36 | 'b 1017,60 (b 996,09) | ,h 1088,27 | c 1200
  15. Der Begriff kleiner oder chromatischer Halbton hat sich so eingebürgert. Streng genommen handelt es sich um eine übermäßige Prim.
  16. Der rhythmischen Fassung im Dreier-Metrum ist schon im 18. Jahrhundert eine isometrische zur Seite gestellt worden. Siehe: http://www.liederlexikon.de/lieder/wer_nur_den_lieben_gott_laesst_walten
  17. Beachte in Eulerschreibweise ist ein Dur-Dreiklang von der Form x-,yz oder 'xy-'z, ein Molldreiklang von der Form x-'yz oder ,xy-,z.