Resonant kredsløb

Et elektrisk resonanskredsløb, også omtalt som et resonanskredsløb, er et resonanskomponent elektrisk kredsløb af en spole (L -komponent) og en kondensator (komponent C), de elektriske vibrationer kan udføre. Det elektriske oscillerende kredsløb sammenlignes ofte med den harmoniske oscillator af mekanik, såsom fjederpendulet eller stemmegaflen . I dette LC -resonanskredsløb udveksles energi periodisk mellem spolens magnetfelt og kondensatorens elektriske felt , hvilket resulterer i en vekselstrøm med høj strømintensitet eller højspænding . Resonansfrekvensen beregnes som følger:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\ ,

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}} \,}

f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}} \,

hvori $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ for spolens induktans og $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ stå for kondensatorens kapacitans . Denne ligning kaldes Thomsons oscillationsligning .

Hvis et resonanskredsløb udløses en gang af en omskiftningsproces eller en impuls , udfører det gratis svingninger (naturlige svingninger), som i virkeligheden forsvinder efter et bestemt tidspunkt på grund af tab. Men hvis den periodisk er spændt i området med sin resonansfrekvens, vil den udføre tvungen vibration . De resonansfænomener, der opstår, er af afgørende betydning for praktisk anvendelse.

I tilfælde af et oscillerende kredsløb med ekstern excitation skelnes, afhængigt af arrangementet i forhold til excitationskilden, mellem et parallelt oscillerende kredsløb (L parallelt med C) og et serie -oscillerende kredsløb (L i serie med C) . Serieresonanskredsløbet kaldes undertiden upræcist som et serieresonant kredsløb .

Lignende kredsløb bestående af spole og kondensator kaldes også LC-elementer , men de er ikke nødvendigvis i resonans (se lavpas , højpas ).

Generelt resonanskredsløb, repræsentation med kredsløbssymboler i henhold til EN 60617-4: 1996

Oprettelse af gratis svingninger i det ideelle oscillerende kredsløb

En periodisk proces resulterer i et eksternt lukket kredsløb, der består af ideelle (tabsfrie) komponenter, der indeholder en vis mængde energi. Med henblik på beskrivelse er tilstanden på et vilkårligt valgt tidspunkt angivet som den oprindelige tilstand.

U : spænding; I : nuværende; W : energi

Spændingskurve (stiplet blå) og strømkurve (rød linje) i resonanskredsløbet

Lad først spolen være uden magnetisk flux. Kondensatoren oplades, og hele energien i det oscillerende kredsløb lagres i dets elektriske felt. Ingen strømmer endnu gennem spolen. (Billede 1)
På grund af spændingen over kondensatoren, som også falder hen over spolen, begynder strømmen at flyde, men øges ikke pludselig. Ifølge Lenz's regel fremkalder en ændring i den nuværende strøm en spænding, der modvirker dens ændring. Det betyder, at strømstyrken og den magnetiske flux kun stiger langsomt (i første omgang lineært med tiden). Når strømmen stiger, reduceres ladningen i kondensatoren over tid, hvilket samtidig reducerer dens spænding. Når spændingen falder, falder stigningen i strømmen.
Når spændingen er faldet til nul, stiger strømmen ikke længere og når dermed sit maksimum. På dette tidspunkt er spolens magnetfeltstyrke størst, og kondensatoren er helt afladet. Al energien er nu lagret i spolens magnetfelt. (Billede 2)
Når spolen er afbrudt, fortsætter strømmen med at strømme, da den - ligesom magnetfluxen - ikke kan ændre sig pludseligt. Strømmen begynder at oplade kondensatoren i den modsatte retning. Der opbygges en modspænding i den (oprindeligt lineær med tiden). Denne spænding, der stiger med et negativt tegn, ligner en spænding i spolen, der ifølge induktionsreglerne reducerer den magnetiske strømning over tid, hvilket samtidig reducerer strømstyrken. Når strømmen falder, sænkes opladningen af kondensatoren og stigningen i dens negative spænding.
Når strømmen er faldet til nul, stiger spændingen ikke længere og når dermed sit maksimum. Kondensatoren genvinder sin oprindelige ladning, men med modsat polaritet. Hele magnetfeltets energi er blevet konverteret tilbage til elektrisk feltenergi. (Billede 3)
Disse processer fortsætter i den modsatte retning. (Billede 4, derefter igen billede 1)

Ved kontinuerlig gentagelse etableres spændingskurven i henhold til cosinus -funktionen ; strømkurven følger sinusfunktionen. Overgangen fra figur 1 til figur 2 svarer i funktionerne til området x = 0… π / 2; overgangen fra billede 2 til billede 3 kører som i området x = π / 2… π, fra billede 3 via billede 4 til billede 1 som i x = π… 2π.

Gratis svingninger i den virkelige serie oscillerende kredsløb

Som en første tilnærmelse kan tabene i det virkelige resonanskredsløb repræsenteres af en ohmsk modstand R, som er i serie med induktansen L. Ud fra stingene og de tre komponenters adfærd (og forudsat at strøm- og spændingspile alle er i samme rotationsretning), vil sådan en RLC -serie resonanskredsløb med følgende (lineære) differentialligningssystem (i formtilstand i til kondensatorspændingen _Uc og spolestrømmen som tilstandsvariable) er beskrevet:

L\cdot {\frac {di}{dt}}=-u_{C}-R\cdot i

{\ displaystyle L \ cdot {\ frac {di} {dt}} = - u_ {C} -R \ cdot i}

L \ cdot {\ frac {di} {dt}} = - u_ {C} -R \ cdot i

C\cdot {\frac {du_{C}}{dt}}=i

{\ displaystyle C \ cdot {\ frac {du_ {C}} {dt}} = i}

C \ cdot {\ frac {du_ {C}} {dt}} = i

Hvis du kun er interesseret i strømmen i resonanskredsløbet, kan du (ved at eliminere u _C ) omdanne dette DGL -system til en enkelt lineær differentialligning af anden orden:

LC\cdot {\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+RC\cdot {\frac {di}{dt}}+i=0

{\ displaystyle LC \ cdot {\ frac {d ^ {2} i} {dt ^ {2}}} + RC \ cdot {\ frac {di} {dt}} + i = 0}

LC \ cdot {\ frac {d ^ {2} i} {dt ^ {2}}} + RC \ cdot {\ frac {di} {dt}} + i = 0

Hvis man bruger "forkortelserne" til den (ideelle) resonante vinkelfrekvens til forenkling og generalisering

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}

og forfaldskonstanten

\delta ={\frac {R}{2L}}

{\ displaystyle \ delta = {\ frac {R} {2L}}}

\ delta = {\ frac {R} {2L}}

introducerer differentialligningen

{\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+2\delta \cdot {\frac {di}{dt}}+\omega _{0}^{2}\cdot i=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} i} {dt ^ {2}}} + 2 \ delta \ cdot {\ frac {di} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ cdot i = 0}

{\ frac {d ^ {2} i} {dt ^ {2}}} + 2 \ delta \ cdot {\ frac {di} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ cdot i = 0

Differentialligningen for kondensatorspænding har samme form. For de to indledende betingelser, der kræves for en klar løsning, antages det normalt, at kondensatoren på tidspunktet t = 0 er ladet med en spænding U _C0, og strømmen gennem induktansen er 0.

Ægte oscillerende kredsløb

Generelt kan et ægte resonanskredsløb beskrives med modellen af den dæmpede, harmoniske oscillator . Forudsat at tabene i resonanskredsløbet er lave, specifikt det $\delta <\omega _{0}{\text{ oder }}R<2{\sqrt {L/C}}$ ${\ displaystyle \ delta <\ omega _ {0} {\ text {eller}} R <2 {\ sqrt {L / C}}}$ $\ delta <\ omega _ {0} {\ text {eller}} R <2 {\ sqrt {L / C}}$ er, og bærer stadig den naturlige vinkelfrekvens

\omega _{e}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}

{\ displaystyle \ omega _ {e} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ delta ^ {2}}}}

\ omega _ {e} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ delta ^ {2}}}

en, så opnår man løsningsfunktionerne for de to tilstandsvariabler med de klassiske metoder til løsning af en lineær homogen differentialligning , ved hjælp af Laplace -transformationen eller ved hjælp af en anden operatørberegning

i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{e}L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sin {\omega _{e}t}

{\ displaystyle i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ omega _ {e} L}} \ cdot e ^ { - \ delta t} \ cdot \ sin {\ omega _ {e} t }}

i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ omega _ {e} L}} \ cdot e ^ { - \ delta t} \ cdot \ sin {\ omega _ {e} t}

u_{C}(t)=U_{C0}\cdot e^{-\delta t}\cdot \left(\cos {\omega _{e}t+{\frac {\delta }{\omega _{e}}}\cdot \sin {\omega _{e}t}}\right)=U_{C0}\cdot {\frac {\omega _{0}}{\omega _{e}}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \cos \left({\omega _{e}t-\varphi }\right)

{\ displaystyle u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot e ^ {- \ delta t} \ cdot \ left (\ cos {\ omega _ {e} t + {\ frac {\ delta} {\ omega _ {e}}} \ cdot \ sin {\ omega _ {e} t}} \ right) = U_ {C0} \ cdot {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega _ {e}} } \ cdot e ^ {- \ delta t} \ cdot \ cos \ venstre ({\ omega _ {e} t- \ varphi} \ højre)}

u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot e ^ {- \ delta t} \ cdot \ left (\ cos {\ omega _ {e} t + {\ frac {\ delta} {\ omega _ { e}}} \ cdot \ sin {\ omega _ {e} t}} \ right) = U_ {C0} \ cdot {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega _ {e}}} \ cdot e ^ {- \ delta t} \ cdot \ cos \ venstre ({\ omega _ {e} t- \ varphi} \ højre)

med $\varphi =\arctan {\frac {\delta }{\omega _{e}}}$ ${\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {\ delta} {\ omega _ {e}}}}$ $\ varphi = \ arctan {\ frac {\ delta} {\ omega _ {e}}}$ . Minustegnet foran strømmen er forårsaget af strømens retning under afladning. Løsningernes rigtighed kan kontrolleres ved at indsætte dem i differentialligningerne og kontrollere starttilstanden.

I dette "normale tilfælde af praksis" er strømmen og kondensatorspændingen igennem faktoren $e^{-\delta t}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ delta t}}$ $e ^ {{- \ delta t}}$ svagt svækket og ikke ligefrem skiftet 90 ° i fase i forhold til hinanden. Den naturlige vinkelfrekvens ω _e er under den ideelle resonansvinkelfrekvens ω _{0 på} grund af dæmpningen. Når tabene stiger, bliver det mindre og mindre.

Ideel oscillerende kredsløb

For det ideelle tilfælde af et oscillerende kredsløb uden tab, opnår man med $\delta =0$ ${\ displaystyle \ delta = 0}$ $\ delta = 0$ ovenstående klart beskrevne løsning af de ikke -dæmpede harmoniske (faseforskydninger med 90 °) svingninger.

i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{0}L}}\cdot \sin {\omega _{0}t}

{\ displaystyle i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ omega _ {0} L}} \ cdot \ sin {\ omega _ {0} t}}

i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ omega _ {0} L}} \ cdot \ sin {\ omega _ {0} t}

u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \cos {\omega _{0}t}

{\ displaystyle u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot \ cos {\ omega _ {0} t}}

u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot \ cos {\ omega _ {0} t}

Aperiodisk borderline sag

Hvis tabene er større, så i et specielt tilfælde $\delta =\omega _{0}{\text{ oder }}R=2{\sqrt {L/C}}$ ${\ displaystyle \ delta = \ omega _ {0} {\ text {eller}} R = 2 {\ sqrt {L / C}}}$ $\ delta = \ omega _ {0} {\ text {eller}} R = 2 {\ sqrt {L / C}}$ "Uden overskridelse" nås inaktiv tilstand igen hurtigst. Denne adfærd kaldes aperiodic limit case . Så får du

i(t)=-{\frac {U_{C0}}{L}}\cdot t\cdot e^{-\delta t}

{\ displaystyle i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {L}} \ cdot t \ cdot e ^ { - \ delta t}}

i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {L}} \ cdot t \ cdot e ^ { - \ delta t}

u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \left(1+\delta t\right)\cdot e^{-\delta t}

{\ displaystyle u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot \ venstre (1+ \ delta t \ højre) \ cdot e ^ {- \ delta t}}

u_ {C} (t) = U_ {C0} \ cdot \ venstre (1+ \ delta t \ højre) \ cdot e ^ {- \ delta t}

Kryb fald

Når endelig $\delta >\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ delta> \ omega _ {0}}$ $\ delta> \ omega _ {0}$ holder, så er der heller ikke længere nogen svingning. Jo større dæmpningen er, jo langsommere kryber strømmen og spændingen mod 0. Denne adfærd kaldes (aperiodisk) krybekasse . Hvis du bruger "krybekonstanten"

\kappa ={\sqrt {\delta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ delta ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

\ kappa = {\ sqrt {\ delta ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}

en, gælder derefter for strømmen

i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\kappa L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sinh {\kappa t}

{\ displaystyle i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ kappa L}} \ cdot e ^ { - \ delta t} \ cdot \ sinh {\ kappa t}}

{\ displaystyle i (t) = - {\ frac {U_ {C0}} {\ kappa L}} \ cdot e ^ { - \ delta t} \ cdot \ sinh {\ kappa t}}

Tvungede svingninger i det parallelle oscillerende kredsløb

Parallelt resonanskredsløb

For den følgende beskrivelse af de tvungne svingninger , en sinusformet er vekselspænding antages som excitation af de oscillerende kredsløb, som allerede er til stede, indtil egensvingninger har henfaldet grund af tab dæmpning på grund af switching på processen. Man taler derefter om den stationære proces og kan bruge vektordiagrammer og / eller den komplekse vekselstrømberegning til analyse.

Ideel parallel resonanskredsløb

En spole og en kondensator er forbundet til den samme spænding parallelt. Med dette ideelle oscillerende kredsløb, der består af tabsfrie komponenter, er den modstand, der kan observeres ved terminalerne, uendeligt stor, når den parallelle resonans opstår.

Strøm og spænding pointer til parallelresonnanskredsløbet

Med en kapacitans nærmer C sig fasevinklen φ for strømmen vs. spændingen påført med 90 °, dvs. spændingen er i fase med 90 ° bag strømmen; se fasordiagram .

Nøglepunkt: Kondensatet eller strømmen halter v eller.

Når en induktans L går den aktuelle fase forbi i forhold til spændingsfasen med 90 °.

Mnemonic: ät I induktansen gør elektricitet til sp ät.

Hvis pilen for I _{C er} længere end pilen for I _L , er den kapacitive modstand i parallelforbindelsen mindre end den induktive modstand; I det foreliggende tilfælde er frekvensen højere end resonansfrekvensen. (I tilfælde af resonans er pilene for I _C og I _{L af} samme længde.) Den resulterende strøm I _tot i forsyningslinjerne til resonanskredsløbet er givet ved at tilføje I _L og I _C til diagrammet.

Med hensyn til mængderne er den samlede strøm altid mindre end den større individuelle strøm gennem C eller L. Jo tættere du kommer til resonansfrekvensen, jo mere jeg _tot nærmer sig nul. Med andre ord: tæt på resonansfrekvensen er strømmen, der strømmer inden for resonanskredsløbet, væsentligt større end strømmen i forsyningsledningerne ( overdreven strøm ).

Sumstrømspilen peger opad i denne tegning. Dette betyder, at resonanskredsløbet opfører sig som en kondensator med lav kapacitans ved den nuværende frekvens; frekvensen er over resonansfrekvensen. Netop ved resonansfrekvensen, I _tot = 0, og det parallelle resonanskredsløb slipper ikke nogen strøm igennem. Under resonansfrekvensen _peger I _tot nedad, og resonanskredsløbet fungerer som en induktans.

Strømmene er begrænset af den kapacitive og induktive vekselstrøm eller reaktans . For en spole med induktans L gælder følgende for frekvensen $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ eller vinkelfrekvensen $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ :

X_{L}={\frac {U}{I_{L}}}=2\pi fL=\omega L\ ,

{\ displaystyle X_ {L} = {\ frac {U} {I_ {L}}} = 2 \ pi fL = \ omega L \,}

X_ {L} = {\ frac {U} {I_ {L}}} = 2 \ pi fL = \ omega L \,

tilsvarende for en kondensator med kapacitansen C :

X_{C}={\frac {U}{I_{C}}}=-{\frac {1}{2\pi fC}}=-{\frac {1}{\omega C}}\ .

{\ displaystyle X_ {C} = {\ frac {U} {I_ {C}}} = - {\ frac {1} {2 \ pi fC}} = - {\ frac {1} {\ omega C}} \.}

X_ {C} = {\ frac {U} {I_ {C}}} = - {\ frac {1} {2 \ pi fC}} = - {\ frac {1} {\ omega C}} \.

Det negative tegn står for den modsatte retning af den aktuelle pil. (For tegnkonventionen, se note under reaktans , for afledning se under kompleks vekselstrømberegning ).

At beregne resonansfrekvensen $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ for det ideelle resonanskredsløb, antages det, at impedansen ved terminalerne er uendeligt stor, det vil sige konduktansen af det parallelle kredsløb er nul.

1/X_{C}+1/X_{L}=0\

{\ displaystyle 1 / X_ {C} + 1 / X_ {L} = 0 \}

1 / X_ {C} + 1 / X_ {L} = 0 \

2\pi f_{0}C={\frac {1}{2\pi f_{0}L}}

{\ displaystyle 2 \ pi f_ {0} C = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {0} L}}}

2 \ pi f_ {0} C = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {0} L}}

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}}}

f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}

eller $\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ .$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \.}$ $\ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \.$

Ægte parallel resonanskredsløb

Et rigtigt resonanskredsløb indeholder altid tab i spolen og kondensatoren; linjernes ohmiske modstand og spoleviklingen, dielektriske tab i kondensatoren og udstrålede elektromagnetiske bølger. En reststrøm forbliver derefter $I_{R}$ ${\ displaystyle I_ {R}}$ $I_ {R}$ på terminalerne, der følger med $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ er i fase, og som ikke går i nul, selv i tilfælde af resonans. Derfor bliver resonansmodstanden ikke uendeligt stor i det virkelige parallelle resonanskredsløb . Impedansen $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ når kun et maksimum.

Parallelt resonanskredsløb med tabende spole

Kondensatorens tab kan normalt negligeres i forhold til spoletab. Til den tabende spole bruges dens seriekvivalente kredsløb fortrinsvis også $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ og $R_{L}$ ${\ displaystyle R_ {L}}$ $R_L$ . Efter transformation til dit parallelle ækvivalente kredsløb med $L_{p}$ ${\ displaystyle L_ {p}}$ $L_ {p}$ og $R_{p}$ ${\ displaystyle R_ {p}}$ $R_p$ kredsløbet til højre opnås. Parallelforbindelsens konduktans $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ og $L_{p}$ ${\ displaystyle L_ {p}}$ $L_ {p}$ er nul i tilfælde af resonans. I dette tilfælde er impedansen i det parallelle resonanskredsløb begrænset til $R_{p}$ ${\ displaystyle R_ {p}}$ $R_p$ , (per definition rent ohmsk) resonansmodstand ; dette resulterer i:

Z_{\mathrm {r} }=R_{p\ \mathrm {r} }={\frac {L}{R_{L}C}}

{\ displaystyle Z _ {\ mathrm {r}} = R_ {p \ \ mathrm {r}} = {\ frac {L} {R_ {L} C}}}

Z _ {\ mathrm {r}} = R_ {p \ \ mathrm {r}} = {\ frac {L} {R_ {L} C}}

Den ovennævnte resonansfrekvens for det ideelle oscillerende kredsløb $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ gælder $R_{L}=0$ ${\ displaystyle R_ {L} = 0}$ ${\ displaystyle R_ {L} = 0}$ . Det virkelige resonanskredsløb, der behandles her, stammer fra det parallelle ækvivalente kredsløbsdiagram

Lokuskurve for impedansen af et ægte parallelt resonanskredsløb

C.

{\ displaystyle C}

C.

= 0,1 µF;

L.

{\ displaystyle L}

L.

= 50 µH;

R_{L}

{\ displaystyle R_ {L}}

R_L

= 5 Ω

f_{\mathrm {r} }={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L_{p}C}}}}

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {r}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {L_ {p} C}}}}}}

f _ {\ mathrm {r}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {L_ {p} C}}}}

Det er typisk (se følgende eksempel) noget mindre end $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ og kan konverteres til

{\begin{aligned}f_{\mathrm {r} }&={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {{R_{L}}^{2}}{L^{2}}}}}\\&=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {R_{L}}{Z_{\mathrm {r} }}}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f _ {\ mathrm {r}} & = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}} - {\ frac {{R_ {L}} ^ {2}} {L ^ {2}}}}} \\ & = f_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {L}} {Z _ {\ mathrm {r}}}}}} \ end {align}}}

{\ begin {align} f _ {\ mathrm {r}} & = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}} - {\ frac {{R_ {L}} ^ {2}} {L ^ {2}}}} \\ & = f_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {L}} {Z _ {\ mathrm {r }}}}}}} \ slut {justeret}}

Denne resonansfrekvens for tvungne vibrationer har en anden værdi end den naturlige frekvens, der er angivet ovenfor for frie vibrationer.

Den viste locus -kurve illustrerer egenskaberne af et parallelt resonanskredsløb ved hjælp af et specifikt eksempel:

I tilfælde af resonans har det oscillerende kredsløb en endelig høj, rent ohmsk modstand $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ ;
er klar $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ markørens længde i en vandret position;
i eksemplet er $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ tyve gange DC -modstanden $R_{L}$ ${\ displaystyle R_ {L}}$ $R_L$ .
Resonansmodstanden er ikke samtidig maksimum for impedansen $Z_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ;
forekommer levende $Z_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ved lokalets maksimale afstand fra nulpunktet lidt under den virkelige akse;
i eksemplet er $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ omkring 2,5% mindre end $Z_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ .
Den faktiske resonansfrekvens $f_{r}$ ${\ displaystyle f_ {r}}$ $f_ {r}$ er lavere end frekvensen beregnet ved hjælp af Thomsons oscillationsligning $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ ;
dette kan ses i frekvensværdierne langs locus;
i eksemplet er $f_{r}$ ${\ displaystyle f_ {r}}$ $f_ {r}$ omkring 2,5% mindre end $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ .
$Z_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {max}}}$ forekommer med en frekvens tæt på $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ på. på $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ den aktive komponent i impedansen er nøjagtig den samme $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ . Men der er også en klar kapacitiv reaktiv komponent;
tydeligt viser ${\underline {Z}}_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z}} _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z}} _ {\ mathrm {max}}}$ en blind del på grund af den lodrette del af markøren;
i eksemplet er kl ${\underline {Z}}_{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z}} _ {\ mathrm {max}}}$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z}} _ {\ mathrm {max}}}$ mængden af reaktans større end 22% af $Z_{r}$ ${\ displaystyle Z_ {r}}$ $Z_r$ .

Faseskift

Målekredsløb for faseskiftet ved resonans

Faseskift på resonanskredsløbet med lav og høj dæmpning

Hvis et oscillerende kredsløb er spændt på forcerede svingninger af en ekstern oscillator og svag induktiv kobling (se målekredsløb), reagerer det med et faseskift mellem 0 ° ved ekstremt lave frekvenser og 180 ° ved meget høje frekvenser. Ved resonansfrekvensen f ₀ er faseskiftet nøjagtigt 90 °.

I nærheden af resonansfrekvensen er afvigelsen af faseskiftet φ fra 90 ° næsten proportional med afvigelsen af frekvensen f . Dette bruges i demodulationskredsløb med frekvensmodulation .

\varphi -90^{\circ }=k\cdot (f-f_{0})

{\ displaystyle \ varphi -90 ^ {\ circ} = k \ cdot (f -f_ {0})}

\ varphi -90 ^ {\ circ} = k \ cdot (f -f_ {0})

Proportionalitetsfaktoren k er større, jo mindre dæmpning af resonanskredsløbet. Dette kan ændres gennem seriemodstanden mod induktansen. Med forsvindende dæmpning ville kurven have form af en Heaviside -funktion .

Tvungede svingninger i serieoscillationskredsløbet

Serie resonant kredsløb

En serie resonanskredsløb, som en vekselstrøm med en justerbar frekvens påføres.

Ideel serie resonans kredsløb

I resonanskredsløbet i LC -serien er spolen og kondensatoren forbundet i serie. Den samme vekselstrøm strømmer gennem begge dele og forårsager en svingning , der tvinges af dens frekvens. I tilfælde af sinusformet excitation dannes en spænding, der fører strømmen med 90 ° på spolen, og en spænding, der fører med 90 ° på kondensatoren. Spændingerne er rettet mod hinanden, så deres sum altid er mindre i størrelse end den respektive større individuelle spænding. I særlige tilfælde annullerer de hinanden, hvilket svarer til en kortslutning. Denne sag kaldes serie resonans eller serie resonans af et LC serie resonans kredsløb. Det nås ved resonansfrekvensen for det oscillerende kredsløb. Serieforbindelsens (reaktive) modstand er

X=X_{L}+X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\ .

{\ displaystyle X = X_ {L} + X_ {C} = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \.}

X = X_ {L} + X_ {C} = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \.

Ved resonansfrekvensen $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ den kapacitive og induktive reaktans udelukker hinanden, hvilket forårsager kortslutningen; $X=0$ ${\ displaystyle X = 0}$ $X = 0$ . (Til skiltkonventionen for $X_{C}$ ${\ displaystyle X_ {C}}$ $X_ {C}$ det samme gælder som ovenfor for det parallelle resonanskredsløb)

X_{L}=-X_{C}

{\ displaystyle X_ {L} = - X_ {C}}

X_ {L} = - X_ {C}

2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}

{\ displaystyle 2 \ pi f_ {0} L = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {0} C}}}

2 \ pi f_ {0} L = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {0} C}}

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\ .

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}} \.}

f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}} \.

Hvis frekvensen er over resonansfrekvensen, er mængden af den induktive reaktans (spole) større end den kapacitive, så den reaktive komponent i den komplekse samlede modstand er positiv. Når frekvensen stiger, leverer kondensatoren en stadig mindre andel af den samlede reaktans, spolen en stadig større andel. Hvis frekvensen er under resonansfrekvensen, er kondensatorens kapacitive reaktans større end spolens induktive reaktans, og den reaktive komponent i den samlede modstand har et negativt tegn. Her bliver spolemodstanden stadig mindre med faldende frekvens, og den stigende mængde af kondensatorens reaktans kompenseres mindre og mindre.

I et serieresonanskredsløb er der en overdreven spændingsstigning , fordi der forekommer individuelt højere spændinger på tværs af L og C end på tilslutningsterminalerne (se resonanstransformator ).

Lokuskurve for impedansen af et ægte serieresonanskredsløb
C = 0,1 µF; L = 50 µH; R = 5 Ω

Virkelig serie resonanskredsløb

I virkeligheden er der en ohmsk modstand i serie ud over kondensatoren og spolen. Dette kan være en anden komponent eller bare spolen.

Den viste locus -kurve illustrerer egenskaberne af et serieresonanskredsløb ved hjælp af et specifikt eksempel:

I tilfælde af resonans har det oscillerende kredsløb en lille, rent ohmsk modstand Z ₀ . Dette er lige så stort som modstanden R alene.
Resonansmodstanden er også den mindst mulige impedans på tværs af alle frekvenser.
Resonansfrekvensen er den samme som for det ideelle resonanskredsløb.

Cirkulær kvalitet

I virkelige resonanskredse forekommer der også tab i spolerne og kondensatorerne (ohmske tab, dielektriske tab, stråling). Disse fører til, at oscillationen af et oscillerende kredsløb dæmpes. På den anden side, hvis der ikke var nogen dæmpning, ville amplituden stige ud over alle grænser i tilfælde af resonans. Kvalitetsfaktoren er et mål for tabene.

Resonanskurven viser i et diagram, hvor langt der er en amplitudeforøgelse afhængigt af excitationsfrekvensen for en given kvalitetsfaktor.

oscillator

Når det er udløst og derefter overladt til sine egne enheder, svinger et oscillerende kredsløb i nærheden af dets resonansfrekvens f ₀ . Som følge af dæmpningen gennem tab falder svingningens amplitude over tid ("dæmpet svingning"), medmindre der regelmæssigt tilføres energi igen af et aktivt forstærkerkredsløb (f.eks. Med en transistor ) eller en negativ differentialmodstand . Man taler derefter om positiv feedback eller uddæmpning af resonanskredsløbet. Et sådant kredsløb danner en oscillator (vibrationsgenerator), et eksempel er Meißner -kredsløbet .

afstemning

Resonansfrekvensen afhænger af L og af C og kan derfor påvirkes ved at ændre L eller C. Resonanskredsløbet er derved indstillet til en bestemt frekvens.

Induktansen L kan øges ved at indsætte en ferromagnetisk kerne ( jern eller ferrit ) mere eller mindre langt ind i spolen . Feltet kan også forskydes ved at indsætte en stærkt ledende kerne - så reduceres induktansen.

Kapacitansen C kan ændres ved at ændre pladestørrelsen eller pladeafstanden på kondensatoren . Med den roterende kondensator og med mange trimmere gøres dette ved at vride pladerne sideværts mod hinanden, så andelen af de modstående overflader ændres. Andre kredsløb bruger f.eks. En varactordiode .

brug

filter

Impedansen er frekvensafhængig, i nærheden af resonansfrekvensen er den minimal i serie-resonanskredsløbet og maksimum i det parallelle resonanskredsløb. Denne frekvensafhængighed gør det muligt at filtrere en bestemt frekvens ud fra en blanding af signaler fra forskellige frekvenser - enten for at slippe den igennem alene eller for at undertrykke den på en målrettet måde. Det parallelle resonanskredsløb har også fordelen ved at lade likestrøm, såsom transistorens driftsstrøm, passere uhindret. Derfor bruges et parallelt resonanskredsløb altid , når det bruges i en selektiv forstærker.

I ældre telefonsystemer blev både tale og - ved en højere frekvens - ladningsimpulserne sendt over totrådsledningen. Et blokerende kredsløb (parallelt resonanskredsløb som to-polet) blev indbygget i telefonapparatet for at undertrykke frekvensen af impulsen for lytteren. Kun dette blev sendt via et serie -oscillerende kredsløb til ladeapparatet, foran hvilket stemmefrekvenserne igen blev blokeret.
Med parallelle resonanskredse, radio er modtagere afstemt til den ønskede transmitter . Et oscillerende kredsløb er forbundet mellem inputpolerne - i det enkleste tilfælde af detektormodtageren, direkte mellem antennen og jorden. Udgangssignalet opsamles ved disse forbindelser og føres til yderligere behandling (blanding i en heterodyne modtager, demodulation).
Udgangstrinnene i transmissionssystemer genererer ofte uønskede harmoniske, der ikke må udsendes via antennen og skal undertrykkes af nogle resonanskredse efter udgangstrinnet. Hvis resonanskredsløbet erstattes af en resonanstransformator , kan linjen også tilpasses antennekablets impedans .
Med sugekredse kan interfererende frekvenser filtreres fra (kortsluttes) fra en signalblanding. For at gøre dette er den forbundet foran den faktiske modtager mellem antennen og jorden. I tilfælde af simple radiomodtagere kan en meget stærk lokal sender filtreres fra for derefter at indstille de faktiske frekvensvalgstrin til den ønskede frekvens for en mere fjern og derfor svagere sender, som ellers ville blive overlejret af den lokale sender. Et blokeringskredsløb i antennefødningslinjen er også velegnet og bruges ofte.

Parallelle og serieresonerende kredsløb kan også påtage sig den anden opgave, afhængigt af ledningerne. Et løst koblet parallelt resonanskredsløb kan kun absorbere energi ved sin naturlige frekvens ( sugekredsløb ); ein Reihenschwingkreis in Reihe in einer Signalleitung lässt nur Frequenzen seiner Eigenresonanz passieren. Dagegen lässt ein in eine Signalleitung in Reihe geschalteter Parallelschwingkreis genau seine Eigenfrequenz nicht passieren – vorausgesetzt, er wird durch diese nicht maßgeblich bedämpft.

Kompensation von Blindstrom

Verbraucher im elektrischen Energieversorgungsnetz beziehen elektrische Energie und geben sie z. B. als thermische, mechanische, chemische Energie weiter. Vielfach speichern sie auch Energie, z. B. in Motoren als magnetische Feldenergie. Das Feld wird im Rhythmus der Netzwechselspannung auf- und wieder abgebaut, und die Energie wird bezogen und zurückgeliefert. Diese Energiependelung erzeugt Blindstrom , der Quelle und Netz belastet und vermieden werden soll. Dazu wird ein Schwingkreis aufgebaut: Einer Induktivität wird eine Kapazität parallelgeschaltet – oder umgekehrt. Das Zusatzbauteil wird so dimensioniert, dass die Resonanzfrequenz gleich der Netzfrequenz wird und dadurch ein möglichst hoher Scheinwiderstand entsteht. Diese Schaltungsmaßnahme wird Blindstromkompensation genannt.

Schwingkreise als Ersatzschaltbilder

Neben Schwingkreisen gibt es viele weitere elektronische Konstruktionen, die in Anwendungen an Stelle von Schwingkreisen eingesetzt werden (besonders bei sehr hohen Frequenzen). Siehe hierzu Lecherleitung , Topfkreis , Hohlraumresonator , aber auch Antennendipol . Die physikalische Funktion dieser Konstruktionen basiert meist auf der Nutzung von stehenden Wellen und unterscheidet sich damit grundsätzlich von der physikalischen Funktion eines Schwingkreises. Für derartige Konstruktionen werden häufig Ersatzschaltbilder in Form elektrischer Schwingkreise angegeben, die eine vereinfachte, angenäherte Berechnung ihres Verhaltens erlauben.

Ersatzschaltbilder mit ihren idealen elektronischen Bauelementen bilden das Verhalten der „ersetzten“ Konstruktion nach, nicht jedoch ihre physikalische Wirkungsweise.

Messgerät

Die Resonanzfrequenz von Schwingkreisen im MHz-Bereich kann mit einem Dipmeter gemessen werden.

Literatur

Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2 . Vieweg/Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0474-7 .
Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik . Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7 .
Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 . Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33794-6 .
Klaus Lunze : Theorie der Wechselstromschaltungen . Verlag Technik, Berlin 1991, ISBN 3-341-00984-1 .
Ralf Kories und Heinz Schmidt-Walter: Taschenbuch der Elektrotechnik . Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a. M. und Thun.

Weblinks

Commons : Schwingkreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Schwingkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

HTML5-App zur Demonstration eines Schwingkreises