Sinus og cosinus

Grafer af sinusfunktionen (rød) og cosinusfunktionen (blå). Begge funktioner har en periode på

2\pi

{\ displaystyle 2 \ pi}

2 \ pi

og tag værdier fra -1 til 1.

Sinus og cosinus funktioner (også kendt som cosinus funktioner ) er elementære matematiske funktioner . De danner de vigtigste trigonometriske funktioner før tangent og cotangent , secant og coscan . Sinus og cosinus er nødvendige i geometri til blandt andet trekantede beregninger i plan og sfærisk trigonometri . De er også vigtige i analysen .

Bølger som lydbølger , vandbølger og elektromagnetiske bølger kan beskrives som en kombination af sinus- og cosinusbølger, så funktionerne er allestedsnærværende i fysikken som harmoniske svingninger .

navnets oprindelse

Gerhard von Cremona valgte det latinske udtryk Sinus "bue, krumning, buste" for dette matematiske udtryk i 1175 ^[1] som en oversættelse af det arabiske udtryk dschaib eller dschība / .يب / 'Taske, fold af tøj', lånt fra sanskrit jiva "bowstring" af indiske matematikere.

Udtrykket "cosinus" stammer fra complementi sinus, det vil sige sinus i den komplementære vinkel . Denne betegnelse blev først brugt i de omfattende trigonometriske tabeller skabt af Georg von Peuerbach og hans elev Regiomontanus . ^[2]

Geometrisk definition

Definition på den højre trekant

Trekant med punkter ABC og modsatte sider a, b, c

Trekant ABC med en ret vinkel

\gamma

{\ displaystyle \ gamma}

\ gamma

i C. (navngivning af på og modsat katetus under den antagelse, at

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

er den vinkel, der overvejes.)

Alle flade trekanter, der ligner hinanden, har de samme vinkler og samme længdeforhold på siderne .

Denne egenskab bruges til at udføre beregninger på en højre trekant . Hvis længdeforholdene i den rigtige trekant kendes, kan dimensionerne af vinkler og længder af sider beregnes. Derfor har længdeforholdene i den rigtige trekant særlige navne.

Længdeforholdet mellem de tre sider i den højre trekant er kun afhængig af størrelsen af de to spidse vinkler . Fordi summen af de indre vinkler i hver trekant er 180 °. Og fordi en vinkel i en retvinklet trekant, nemlig den rigtige vinkel, vides at være 90 °, skal de to andre vinkler også tilføje op til 90 °. Derfor er dimensionen af en af disse vinkler allerede bestemt af dimensionen af den anden vinkel. På grund af de trekantede sæt (f.eks. WSW) afhænger længdeforholdene i en retvinklet trekant kun af størrelsen på en af de to spidse vinkler.

Derfor defineres længdeforholdene som følger afhængigt af en af de to spidse vinkler:

Sinus for en vinkel er forholdet mellem længden af den modsatte katetus ( katetus modsat vinklen) og længden af hypotenusen (side modsat den rigtige vinkel).

{\text{Sinus eines Winkels}}={\frac {\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}

{\ displaystyle {\ text {En vinkel sinus}} = {\ frac {\ text {Modsat side af vinklen}} {\ text {Hypotenuse}}}}}

\ text {Vinkelsinus} = \ frac {\ text {Modsat vinkelkatet}} {\ text {Hypotenuse}}

Cosinus er forholdet mellem længden af den tilstødende katetus (det vil sige katetus, der danner et ben af vinklen) og længden af hypotenusen.

{\text{Kosinus eines Winkels}}={\frac {\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}

{\ displaystyle {\ text {cosinus i en vinkel}} = {\ frac {\ tekst {ved siden af ​​vinklen}} {\ text {hypotenuse}}}}}

\ text {cosinus af en vinkel} = \ frac {\ text {ved siden af ​​vinklen}} {\ text {hypotenuse}}

I tilfælde af de sædvanlige betegnelser for størrelserne for trekanter (se figur), gælder følgende her:

\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\quad {\text{und}}\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {a} {c}} \ quad {\ text {og}} \ quad \ cos \ alpha = {\ frac {b} {c}}}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {a} {c}} \ quad {\ text {og}} \ quad \ cos \ alpha = {\ frac {b} {c}}}

Da hypotenusen er den længste side af en trekant (fordi den ligger over for den største vinkel, dvs. den rigtige vinkel), gælder ulighederne $\sin \alpha \leq 1$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha \ leq 1}$ og $\cos \alpha \leq 1$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha \ leq 1}$ .

Hvis den modsatte vinkel β antages i stedet for α, ændrer begge sider deres rolle, den tilstødende side af α bliver den modsatte side af β, og den modsatte side af α danner nu siden af β og følgende gælder:

\sin \beta ={\frac {b}{c}}

{\ displaystyle \ sin \ beta = {\ frac {b} {c}}}

{\ displaystyle \ sin \ beta = {\ frac {b} {c}}}

\cos \beta ={\frac {a}{c}}

{\ displaystyle \ cos \ beta = {\ frac {a} {c}}}

{\ displaystyle \ cos \ beta = {\ frac {a} {c}}}

Som i en højre trekant $\alpha +\beta =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta = 90 ^ {\ circ}}$ $\ alfa + \ beta = 90 ^ \ cirk$ holder, følger det:

\cos \alpha =\sin(90^{\circ }-\alpha )=\sin \beta

{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ sin (90 ^ {\ circ} - \ alpha) = \ sin \ beta}

{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ sin (90 ^ {\ circ} - \ alpha) = \ sin \ beta}

og

\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha )=\cos \beta

{\ displaystyle \ sin \ alpha = \ cos (90 ^ {\ circ} - \ alpha) = \ cos \ beta}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = \ cos (90 ^ {\ circ} - \ alpha) = \ cos \ beta}

Betegnelsen cosinus som sinus for den komplementære vinkel er baseret på dette forhold.

Fra Pythagoras sætning stammer forholdet ("efterlader trigonometriske Pythagoras "):

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ alpha = 1}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ alpha = 1}

I den højre trekant er sinus og cosinus kun defineret for vinkler mellem 0 og 90 grader. For enhver vinkel er værdien af sinusfunktionen angivet som $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Koordinat og værdien af cosinus funktion som $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Koordinat af et punkt defineret på enhedscirklen ( se nedenfor ). Her er det almindeligt at referere til den værdi, som funktionen anvendes på (her: vinklen) som et argument . Dette gælder især de trigonometriske funktioner og den komplekse eksponentielle funktion ( se nedenfor ).

Definition på enhedscirklen

Definition af sinus og cosinus på enhedscirklen

Trigonometriske funktioner på enhedscirklen i den første kvadrant

I den højre trekant er vinklen mellem hypotenusen og katetus kun defineret for værdier fra 0 til 90 grader. For en generel definition bliver et punkt $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ med koordinaterne $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ betragtet på enhedscirklen , gælder følgende her $x^{2}+y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ . Den positive $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Aksen lukker med den holdning vektor af $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ en vinkel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ på. Oprindelsen af koordinater $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ , pointen $(x,0)$ ${\ displaystyle (x, 0)}$ $(x, 0)$ på den $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Axis og pointen $P(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ danne en retvinklet trekant. Hypotenusens længde er ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 1}$ $\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = 1$ . Naboens vinkel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ er afstanden mellem $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ og $(x,0)$ ${\ displaystyle (x, 0)}$ $(x, 0)$ og har længden $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ $| x |$ . Følgende gælder:

\cos \alpha =x

{\ displaystyle \ cos \ alpha = x}

{\ displaystyle \ cos \ alpha = x}

.

Den modsatte katetus af vinklen $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ er afstanden mellem $(x,0)$ ${\ displaystyle (x, 0)}$ $(x, 0)$ og $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ og har længden $|y|$ ${\ displaystyle | y |}$ ${\ displaystyle | y |}$ . Dermed:

\sin \alpha =y

{\ displaystyle \ sin \ alpha = y}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = y}

.

Fra denne definition af tangenten følger gennem sætningen af stråler :

\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}}}

\ tan \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}

.

det $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Koordinaten for et punkt i enhedscirkelens første kvadrant er sinus for vinklen mellem dens positionsvektor og $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Akse mens den $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Koordinat er vinkelens cosinus. Hvis man fortsætter ud over den første kvadrant, resulterer det i en definition af sinus og cosinus for enhver vinkel.

Det omvendte af sinus / cosinus -funktionen er tvetydigt. For hvert nummer $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ mellem −1 og 1 ( $-1<y<1$ ${\ displaystyle -1 <y <1}$ ${\ displaystyle -1 <y <1}$ ) er allerede mellem 0 ° og 360 ° ( $0^{\circ }<\alpha \leq 360^{\circ }$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha \ leq 360 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha \ leq 360 ^ {\ circ}}$ ) altid nøjagtigt to vinkler. Symmetrierne ved de trigonometriske funktioner kan genkendes af følgende forhold:

Punktsymmetrier:

\sin(-\alpha )=-\sin \alpha

{\ displaystyle \ sin ( - \ alpha) = - \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ sin ( - \ alpha) = - \ sin \ alpha}

og

\cos(90^{\circ }+\alpha )=-\cos(90^{\circ }-\alpha )

{\ displaystyle \ cos (90 ^ {\ circ} + \ alpha) = - \ cos (90 ^ {\ circ} - \ alpha)}

\ cos (90 ^ \ circ + \ alpha) = - \ cos (90 ^ \ circ- \ alpha)

,

Akse symmetrier:

\cos(-\alpha )=\cos \alpha

{\ displaystyle \ cos (- \ alpha) = \ cos \ alpha}

{\ displaystyle \ cos (- \ alpha) = \ cos \ alpha}

og

\sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )

{\ displaystyle \ sin (90 ^ {\ circ} + \ alpha) = \ sin (90 ^ {\ circ} - \ alpha)}

\ sin (90 ^ \ circ + \ alpha) = \ sin (90 ^ \ circ- \ alpha)

.

Sinus er således en ulige funktion af cosinus for en straight .

Sinus og cosinus er periodiske funktioner med en periode på 360 grader. (Du kan f.eks. Ikke skelne en vinkel på 365 ° fra en vinkel på 5 °. Men den ene beskriver en rotationsbevægelse på cirka det ene sving, den anden en meget lille rotationsbevægelse - kun et halvfjerds sekund.) Så gælder også

\sin(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\sin \alpha

{\ displaystyle \ sin (\ alpha + k \ cdot 360 ^ {\ circ}) = \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ sin (\ alpha + k \ cdot 360 ^ {\ circ}) = \ sin \ alpha}

som

\cos(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\cos \alpha

{\ displaystyle \ cos (\ alpha + k \ cdot 360 ^ {\ circ}) = \ cos \ alpha}

{\ displaystyle \ cos (\ alpha + k \ cdot 360 ^ {\ circ}) = \ cos \ alpha}

,

hvori $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ er et hvilket som helst heltal. Så det indrømmer ikke bare symmetrierne $\alpha =0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {\ circ}}$ $\ alfa = 0 ^ \ cirk$ (cos) eller $\alpha =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$ (synd) og til $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ (synd) eller $(90^{\circ }|0)$ ${\ displaystyle (90 ^ {\ circ} | 0)}$ ${\ displaystyle (90 ^ {\ circ} | 0)}$ (cos), men et uendeligt antal symmetriakser og symmetri -centre for begge funktioner.

Fremkomsten af sinus og cosinus fungerer fra roterende bevægelse af et vinklet ben, der starter med $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Akse illustrerer følgende animation. Vinklen måles i radianer . En vinkel på $360^{\circ }$ ${\ displaystyle 360^ {\ circ}}$ $360 ^ {\ circ}$ svarer til et radianmål på $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

Animation til konstruktion af sinus og cosinus funktion

Analytisk definition

Graf over sinusfunktionen

x\mapsto \sin(x)

{\ displaystyle x \ mapsto \ sin (x)}

{\ displaystyle x \ mapsto \ sin (x)}

Graf over cosinusfunktionen

x\mapsto \cos(x)

{\ displaystyle x \ mapsto \ cos (x)}

{\ displaystyle x \ mapsto \ cos (x)}

Sinus og cosinus kan også behandles på et aksiomatisk grundlag; denne mere formelle tilgang spiller også en rolle i analysen . Den analytiske definition tillader også ekspansion til at omfatte komplekse argumenter. Synd og cosinus som komplekse værdsatte funktioner er holomorfe og surjektive .

Motivation af Taylor -serien

\cos(x)

{\ displaystyle \ cos (x)}

\ cos (x)

sammen med de første Taylor -polynomer

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}

{\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}}

{\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}}

Denne animation illustrerer definitionen af sinusfunktionen gennem en serie. Jo højere tal

N

{\ displaystyle N}

N

er, jo flere summands bruges i seriedefinitionen. Så er kl

N=2

{\ displaystyle N = 2}

N = 2

udover sinusfunktionen er der også det kubiske polynom

\sum _{k=0}^{2}{\tfrac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{\tfrac {x^{3}}{6}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {2} {\ tfrac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} x ^ {2k + 1} = x - {\ tfrac {x ^ {3}} {6}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {2} {\ tfrac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} x ^ {2k + 1} = x - {\ tfrac {x ^ {3}} {6}}}

tegnet.

Ved overgang fra vinkel til radian kan sinus og cosinus bruges som funktioner af $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ til $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ blive forklaret. Det kan vises, at de kan differentieres et vilkårligt antal gange. Følgende gælder for derivaterne ved nulpunktet:

\sin ^{(4n+k)}0=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{wenn }}k=0\\1&{\text{wenn }}k=1\\0&{\text{wenn }}k=2\\-1&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.\qquad \cos ^{(4n+k)}0=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{wenn }}k=0\\0&{\text{wenn }}k=1\\-1&{\text{wenn }}k=2\\0&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ sin ^ {(4n + k)} 0 = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ text {if}} k = 0 \\ 1 & {\ text {if}} k = 1 \ \ 0 & {\ tekst {if}} k = 2 \\ - 1 & {\ tekst {if}} k = 3 \ ende {matrix}} \ højre. \ Qquad \ cos ^ {(4n + k) } 0 = \ venstre \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ tekst {if}} k = 0 \\ 0 & {\ tekst {if}} k = 1 \\ - 1 & {\ tekst {if} } k = 2 \\ 0 & {\ text {if}} k = 3 \ end {matrix}} \ højre.}

{\ displaystyle \ sin ^ {(4n + k)} 0 = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ text {if}} k = 0 \\ 1 & {\ text {if}} k = 1 \ \ 0 & {\ tekst {if}} k = 2 \\ - 1 & {\ tekst {if}} k = 3 \ ende {matrix}} \ højre. \ Qquad \ cos ^ {(4n + k) } 0 = \ venstre \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ tekst {if}} k = 0 \\ 0 & {\ tekst {if}} k = 1 \\ - 1 & {\ tekst {if} } k = 2 \\ 0 & {\ text {if}} k = 3 \ end {matrix}} \ højre.}

.

Valget af radianer fører til værdierne her $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ komme til syne. Den resulterende Taylor -serie repræsenterer funktionerne $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$ og $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ dar, det vil sige:

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\mp \dotsb

{\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} = = {\ frac {x} {1!}} - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} \ mp \ dotsb}

{\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} = = {\ frac {x} {1!}} - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} \ mp \ dotsb}

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\mp \dotsb

{\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} = {\ frac { x ^ {0}} {0!}} - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} \ mp \ dotsb}

{\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} = {\ frac { x ^ {0}} {0!}} - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} \ mp \ dotsb}

Serieudvikling i analyse

I analysen én starter fra en serie ekspansion , og omvendt, stammer alt fra det ved at forklare funktionerne synd og cos af magt serien givet ovenfor. Med kvotientkriteriet kan det vises, at disse effektserier for hvert komplekst tal $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ konvergerer absolut og ensartet i enhver afgrænset delmængde af de komplekse tal. Disse uendelige serier generaliserer definitionen af sinus og cosinus fra virkelige til komplekse argumenter. Også selvom $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ er normalt ikke geometrisk der, men for eksempel via cos -serien og forholdet $\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$ ${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0}$ ${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0}$ defineret som to gange det mindste positive nul i cosinusfunktionen. Det er en præcis analytisk definition af $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ givet.

Disse serier viser meget god konvergensadfærd for små værdier. For numerisk derefter beregning af periodicitet og kan være symmetri af funktionerne udnytte og $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Værdi bortset fra området $-\pi /4$ ${\ displaystyle - \ pi / 4}$ $- \ pi / 4$ så længe $\pi /4$ ${\ displaystyle \ pi / 4}$ $\ pi / 4$ at reducere. Så skal der kun beregnes nogle få udtryk i serien for den krævede nøjagtighed. Cosinus ' Taylor -polynom op til den fjerde effekt z. B. har i intervallet $[-\pi /4,\pi /4]$ ${\ displaystyle [- \ pi / 4, \ pi / 4]}$ $[- \ pi / 4, \ pi / 4]$ en relativ fejl på mindre end 0,05%. I Taylor-formelartiklen vises nogle af disse såkaldte Taylor-polynomer grafisk, og der gives en tilnærmelsesformel med detaljer om nøjagtigheden. Det skal dog bemærkes, at Taylor -polynomernes delsummer ikke repræsenterer den bedst mulige numeriske tilnærmelse; For eksempel er der i Abramowitz-Stegun tilnærmelsespolynomer med endnu mindre tilnærmelsesfejl. ^[3]

Forholdet til den eksponentielle funktion

Den virkelige del af

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}

er

\cos \theta

{\ displaystyle \ cos \ theta}

{\ displaystyle \ cos \ theta}

og er den imaginære del

\sin \theta

{\ displaystyle \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ sin \ theta}

De trigonometriske funktioner er tæt forbundet med den eksponentielle funktion , som følgende beregning viser:

{\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l}}{(2l)!}}+\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=\underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l}}{(2l)!}}} _{\cos x}+\mathrm {i} \underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l+1}}{(2l+1)!}}} _{\sin x}\\&=\cos x+\mathrm {i} \sin x\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} x) ^ {k}} {k!}} = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} x) ^ {2l}} {(2l)!}} + \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} x) ^ {2l + 1}} {(2l + 1)!}} \\ & = \ underbrace {\ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {l} {\ frac {x ^ {2l}} {(2l)!}}} _ {\ cos x} + \ mathrm {i} \ underbrace {\ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {l} {\ frac {x ^ {2l + 1}} {(2l + 1)!}}} _ {\ sin x} \\ & = \ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ end {align}}}

\ begin {align} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} & = \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} \ frac {(\ mathrm {i} x) ^ k} {k !} = \ sum ^ {\ infty} _ {l = 0} \ frac {(\ mathrm {i} x) ^ {2l}} {(2l)!} + \ sum ^ {\ infty} _ {l = 0} \ frac {(\ mathrm {i} x) ^ {2l + 1}} {(2l + 1)!} \\ & = \ underbrace {\ sum ^ {\ infty} _ {l = 0} (- 1) ^ l \ frac {x ^ {2l}} {(2l)!}} _ {\ Cos x} + \ mathrm {i} \ underbrace {\ sum ^ {\ infty} _ {l = 0} (- 1) ^ l \ frac {x ^ {2l + 1}} {(2l + 1)!}} _ {\ Sin x} \\ & = \ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ end {align }

Det blev brugt $\mathrm {i} ^{2l}=(\mathrm {i} ^{2})^{l}=(-1)^{l}\,$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2l} = (\ mathrm {i} ^ {2}) ^ {l} = (- 1) ^ {l} \,}$ $\ mathrm {i} ^ {2l} = (\ mathrm {i} ^ 2) ^ l = (-1) ^ l \,$ som $\mathrm {i} ^{2l+1}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ^{2l}=\mathrm {i} (-1)^{l}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2l + 1} = \ mathrm {i} \ cdot \ mathrm {i} ^ {2l} = \ mathrm {i} (-1) ^ {l}}$ $\ mathrm {i} ^ {2l + 1} = \ mathrm {i} \ cdot \ mathrm {i} ^ {2l} = \ mathrm {i} (- 1) ^ l$

Forholdet mellem sinus, cosinus og eksponentiel funktion

Dette resulterer i den såkaldte Euler-formel

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} = \ cos x + \ mathrm {i} \ cdot \ sin x}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} = \ cos x + \ mathrm {i} \ cdot \ sin x}

.

For et reelt tal $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er sådan $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ den virkelige del og $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ den imaginære del af det komplekse tal $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ .

Ved at udskifte $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ igennem $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-x$ overgav sig:

\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\cos x-\mathrm {i} \cdot \sin x

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x} = \ cos x- \ mathrm {i} \ cdot \ sin x}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x} = \ cos x- \ mathrm {i} \ cdot \ sin x}

.

Denne og de tidligere ligninger kan løses for de trigonometriske funktioner. Det følger:

\sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {1} {2 \ mathrm {i}}} \ venstre (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} - \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} x} \ højre)}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {1} {2 \ mathrm {i}}} \ venstre (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} - \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} x} \ højre)}

og

\cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} + \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x} \ ret)}

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} + \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x} \ ret)}

.

Denne ligning gælder ikke kun for reelle argumenter, men for alle komplekse tal. Dette resulterer i en alternativ definition for sinus- og cosinusfunktionerne. Ved at indsætte den eksponentielle serie kan den ovenstående effektserie udledes.

Baseret på denne definition kan mange egenskaber, såsom tilføjelsessætninger for sinus og cosinus, påvises.

Definition via integralet

Sinussen er integralens inverse funktion til beregning af buelængden $s(r)$ ${\ displaystyle s (r)}$ $s (r)$

s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\qquad {\mbox{und}}\qquad \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}={\frac {\pi }{2}},

{\ displaystyle s (r) = \ int _ {0} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} \, \ rho} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}} \ qquad { \ mbox {og}} \ qquad \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} \, \ rho} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}} = {\ frac {\ pi} {2}},}

{\ displaystyle s (r) = \ int _ {0} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} \, \ rho} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}} \ qquad { \ mbox {og}} \ qquad \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} \, \ rho} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}} = {\ frac {\ pi} {2}},}

så $r=\sin s$ ${\ displaystyle r = \ sin s}$ $r = \ sin s$ og $\cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)$ ${\ displaystyle \ cos s = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - s)}$ ${\ displaystyle \ cos s = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - s)}$ (se nedenfor ).

Definition via analytisk beregning af buelængden

Definitionen af sinus og cosinus som en kraftserie giver en meget praktisk tilgang, da differentierbarheden automatisk gives af definitionen som en konvergent effektserie. Euler -formlen er også en simpel konsekvens af seriedefinitionerne, da serien er til $\cos$ ${\ displaystyle \ cos}$ $\ cos$ og $\mathrm {i} \sin$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ sin}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ sin}$ naturligvis kombineres for at danne den eksponentielle funktion, som vist ovenfor. Ved at se på funktionen $x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ at intervallet $[0,2\pi ]$ ${\ displaystyle [0.2 \ pi]}$ $[0,2 \ pi]$ kort på den cirkulære linje, er der forholdet til geometrien, fordi $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ og $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ synd (x)$ er intet mere end den virkelige eller imaginære del af $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ , det vil sige projektion af dette punkt på koordinataksen.

Næste $x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$ der er f.eks. også andre fornuftige parametriseringer af enhedscirklen

\gamma (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\quad -\infty <t<\infty .

{\ displaystyle \ gamma (t) = \ left ({\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}} } \ højre), \ quad - \ infty <t <\ infty.}

\ gamma (t) = \ venstre (\ frac {1 -t ^ 2} {1 + t ^ 2}, \ frac {2t} {1 + t ^ 2} \ højre), \ quad - \ infty <t < \ infty.

Hvis du starter med denne formel, får du en alternativ tilgang. Længden af denne kurve er også kendt som buelængden og beregnes som

s(t)=\int _{0}^{t}|{\dot {\gamma }}(\tau )|\,\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{\tau ^{2}+1}}.

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} | {\ dot {\ gamma}} (\ tau) | \, \ mathrm {d} \ tau = \ int _ {0} ^ { t} {\ frac {2 \, \ mathrm {d} \ tau} {\ tau ^ {2} +1}}.}

s (t) = \ int_0 ^ t | \ dot \ gamma (\ tau) | \, \ mathrm d \ tau = \ int_0 ^ t \ frac {2 \, \ mathrm d \ tau} {\ tau ^ 2 + 1 }.

Hvor let er det at vise $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ ulige, kontinuerlige , strengt monotont voksende og begrænsede. Da den samlede buelængde svarer til omkredsen, følger det, at overdelen af $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ lige $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ er; $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ betragtes analytisk som et suverem af $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ Er defineret.

Funktionen

s(t)\colon \mathbb {R} \to (-\pi ,\pi )

{\ displaystyle s (t) \ colon \ mathbb {R} \ to (- \ pi, \ pi)}

s (t) \ colon \ mathbb R \ til (- \ pi, \ pi)

er også differentierbar:

{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {2}{1+t^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}}}

\ frac {\ mathrm d s} {\ mathrm d t} = \ frac {2} {1 + t ^ 2}

.

Fordi den vokser kontinuerligt og strengt monotont, er den også inverterbar og for den omvendte funktion

t(s)\colon (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R}

{\ displaystyle t (s) \ colon (- \ pi, \ pi) \ to \ mathbb {R}}

t (s) \ kolon (- \ pi, \ pi) \ til \ mathbb R

er gældende

{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {1+t^{2}(s)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1 + t ^ {2} (s)} {2}}}

\ frac {\ mathrm d t} {\ mathrm d s} = \ frac {1 + t ^ 2 (s)} {2}

.

Ved hjælp af denne omvendte funktion $t(s)$ ${\ displaystyle t (s)}$ $t (er)$ kan nu være sinus og cosinus som $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ - og $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Komponent af $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ definere analytisk:

\sin s:={\frac {2t(s)}{1+t^{2}(s)}}

{\ displaystyle \ sin s: = {\ frac {2t (s)} {1 + t ^ {2} (s)}}}

\ sin s: = \ frac {2t (s)} {1 + t ^ 2 (s)}

som

\cos s:={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}

{\ displaystyle \ cos s: = {\ frac {1-t ^ {2} (s)} {1 + t ^ {2} (r)}}}

\ cos s: = \ frac {1-t ^ 2 (s)} {1 + t ^ 2 (s)}

.

Med denne definition af sinus og cosinus ved hjælp af den analytiske beregning af buelængden formaliseres de geometriske termer rent. Det har imidlertid den ulempe, at udtrykket buelængde formelt introduceres meget sent i den didaktiske analysestruktur, og derfor kan sinus og cosinus kun bruges relativt sent.

Definition som løsningen på en funktionel ligning

En anden analytisk tilgang er at definere sinus og cosinus som løsningen på en funktionel ligning, som i det væsentlige består af tilføjelsessætningerne: Vi leder efter et par kontinuerlige funktioner $\sin ,\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ sin, \ cos \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $\ synd, \ cos \ kolon \ R \ til \ R$ det for alle $x,y\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$ $x, y \ i \ R$ ligningerne

\sin(x+y)=\sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y\;

{\ displaystyle \ sin (x + y) = \ sin x \, \ cos y + \ cos x \, \ sin y \;}

{\ displaystyle \ sin (x + y) = \ sin x \, \ cos y + \ cos x \, \ sin y \;}

og

\cos(x+y)=\cos x\,\cos y-\sin x\,\sin y

{\ displaystyle \ cos (x + y) = \ cos x \, \ cos y- \ sin x \, \ sin y}

{\ displaystyle \ cos (x + y) = \ cos x \, \ cos y- \ sin x \, \ sin y}

Opfylder. Løsningen $\sin$ ${\ displaystyle \ sin}$ $\ synd$ derefter definerer sinus, løsningen $\cos$ ${\ displaystyle \ cos}$ $\ cos$ cosinus. For at opnå klarhed skal nogle yderligere betingelser være opfyldt. I Heuser, Textbook of Analysis, Part 1, kræves det desuden, at

\sin x

{\ displaystyle \ sin x}

\ synd x

en underlig funktion,

\cos x

{\ displaystyle \ cos x}

\ cos x

en jævn funktion,

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ til 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ til 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

og

\cos 0=1

{\ displaystyle \ cos 0 = 1}

{\ displaystyle \ cos 0 = 1}

er. Med denne tilgang antages åbenbart differentieringen af sinus i 0; $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ er defineret analytisk som to gange den mindste positive nul i cosinus. Hvis man bruger metoden til Leopold Vietoris ^[4] og beregner afledningen af sinussen fra additionssætningerne, er det mere hensigtsmæssigt at $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ på en passende analytisk måde (f.eks. som halvdelen af grænsen for omkredsen af den, der er indskrevet i enhedscirklen $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ -Eck) og derefter for at bevise differentierbarheden af løsningen af denne funktionelle ligning. Som en yderligere betingelse for tilføjelsessætningerne kræver man f.eks

\sin {\frac {\pi }{2}}=1

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = 1}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = 1}

,

\cos {\frac {\pi }{2}}=0

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0}

, og

\cos {\frac {\pi }{2n}}\neq 0

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2n}} \ neq 0}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2n}} \ neq 0}

for alle

n\in \mathbb {N} \backslash \lbrace 1\rbrace

{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ backslash \ lbrace 1 \ rbrace}

n \ in \ N \ backslash \ lbrace 1 \ rbrace

.

Under de valgte betingelser er det unikke ved løsningen af den funktionelle ligning relativt let at vise; de geometrisk definerede funktioner sinus og cosinus løser også den funktionelle ligning. Eksistensen af en løsning kan verificeres analytisk, for eksempel ved Taylor -serien af sinus og cosinus eller en anden af de analytiske repræsentationer af sinus og cosinus, der bruges ovenfor, og den funktionelle ligning kan faktisk løses.

Produktudvikling

\sin {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi }{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ sin {x} = \ prod _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x + k \ pi} {{\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi }} = x \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ venstre (1 - {\ frac {x ^ {2}} {k ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre)}

{\ displaystyle \ sin {x} = \ prod _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x + k \ pi} {{\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi }} = x \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ venstre (1 - {\ frac {x ^ {2}} {k ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre)}

\cos {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ cos {x} = \ prod _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x + k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}}} {{\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ venstre (1 - {\ frac {4x ^ {2}} {(2k -1) ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre)}

{\ displaystyle \ cos {x} = \ prod _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x + k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}}} {{\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ venstre (1 - {\ frac {4x ^ {2}} {(2k -1) ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre)}

$x\;$ ${\ displaystyle x \;}$ $x \;$ skal angives i radianer.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)

( Gradmaß )

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \left(\alpha -\pi /2\right)

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \left(\alpha -\pi /2\right)

\sin \alpha =-\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \left(\alpha -\pi /2\right)

( Bogenmaß )

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

(„ trigonometrischer Pythagoras “)

Insbesondere folgt daraus $|{\sin \alpha }|\leq 1$ $|{\sin \alpha }|\leq 1$ $|{\sin\alpha}|\leq 1$ und $|{\cos \alpha }|\leq 1$ $|{\cos \alpha }|\leq 1$ $|{\cos\alpha}|\leq 1$ . Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ ; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^{\circ }$ $0^{\circ }$ $0^\circ$	0	0			Nullstelle , Wendepunkt
1. Quadrant	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$ $0^{\circ }<x<90^{\circ }$ $0^\circ<x<90^\circ$	$0<x<\pi /2$ $0<x<\pi /2$ $0<x< \pi/2$	positiv: $0<\sin x<1$ $0<\sin x<1$ $0<\sin x<1$	steigend	konkav
	$90^{\circ }$ $90^{\circ }$ $90^{\circ }$	$\pi /2$ $\pi /2$ $\pi/2$	1			Maximum
2. Quadrant	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$ $90^{\circ }<x<180^{\circ }$ $90^\circ<x<180^\circ$	$\pi /2<x<\pi$ $\pi /2<x<\pi$ $\pi/2<x<\pi$	positiv: $0<\sin x<1$ $0<\sin x<1$ $0<\sin x<1$	fallend	konkav
	$180^{\circ }$ $180^{\circ }$ $180^{\circ }$	$\pi$ $\pi$ $\pi$	0			Nullstelle , Wendepunkt
3. Quadrant	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$ $180^{\circ }<x<270^{\circ }$ $180^\circ<x<270^\circ$	$\pi <x<3\pi /2$ $\pi <x<3\pi /2$ $\pi<x<3\pi/2$	negativ: $-1<\sin x<0$ $-1<\sin x<0$ $-1<\sin x<0$	fallend	konvex
	$270^{\circ }$ $270^{\circ }$ $270^\circ$	$3\pi /2$ $3\pi /2$ $3\pi/2$	$-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$			Minimum
4. Quadrant	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$ $270^{\circ }<x<360^{\circ }$ $270^\circ<x<360^\circ$	$3\pi /2<x<2\pi$ $3\pi /2<x<2\pi$ $3\pi/2<x<2\pi$	negativ: $-1<\sin x<0$ $-1<\sin x<0$ $-1<\sin x<0$	steigend	konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad ) ist, dh $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha$ $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha$ $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha$ . Außerdem gilt $\sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin \alpha$ $\sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin \alpha$ $\sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin \alpha$ , $\sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )$ $\sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )$ $\sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )$ , $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ etc.

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad ) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt $\cos \alpha =\sin(\alpha +90^{\circ })$ $\cos \alpha =\sin(\alpha +90^{\circ })$ $\cos \alpha =\sin(\alpha +90^{\circ })$ .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^{\circ }$ $0^{\circ }$ $0^\circ$	0	1			Maximum
1. Quadrant	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$ $0^{\circ }<x<90^{\circ }$ $0^\circ<x<90^\circ$	$0<x<\pi /2$ $0<x<\pi /2$ $0<x<\pi/2$	positiv: $0<\cos x<1$ $0<\cos x<1$ $0<\cos x<1$	fallend	konkav
	$90^{\circ }$ $90^{\circ }$ $90^{\circ }$	$\pi /2$ $\pi /2$ $\pi/2$	0			Nullstelle , Wendepunkt
2. Quadrant	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$ $90^{\circ }<x<180^{\circ }$ $90^\circ<x<180^\circ$	$\pi /2<x<\pi$ $\pi /2<x<\pi$ $\pi/2<x<\pi$	negativ: $-1<\cos x<0$ $-1<\cos x<0$ $-1<\cos x<0$	fallend	konvex
	$180^{\circ }$ $180^{\circ }$ $180^{\circ }$	$\pi$ $\pi$ $\pi$	$-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$			Minimum
3. Quadrant	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$ $180^{\circ }<x<270^{\circ }$ $180^\circ<x<270^\circ$	$\pi <x<3\pi /2$ $\pi <x<3\pi /2$ $\pi<x<3\pi/2$	negativ: $-1<\cos x<0$ $-1<\cos x<0$ $-1<\cos x<0$	steigend	konvex
	$270^{\circ }$ $270^{\circ }$ $270^\circ$	$3\pi /2$ $3\pi /2$ $3\pi/2$	$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$			Nullstelle , Wendepunkt
4. Quadrant	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$ $270^{\circ }<x<360^{\circ }$ $270^\circ<x<360^\circ$	$3\pi /2<x<2\pi$ $3\pi /2<x<2\pi$ $3\pi/2<x<2\pi$	positiv: $0<\cos x<1$ $0<\cos x<1$ $0<\cos x<1$	steigend	konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad ) bestimmen, dh $\cos(\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha$ $\cos(\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha$ $\cos(\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha$ . Außerdem gilt $\cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos \alpha$ $\cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos \alpha$ $\cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos \alpha$ .

Komplexes Argument

Der Sinus ist auch für komplexe Eingabewerte definiert. Da sowohl Ein- als auch Ausgabe eine Zahl auf einer Ebene und nicht nur einem Strahl sind, schlagen die Versuche eines klassischen Schaubildes fehl, bei dem Ein- und Ausgabe jeweils 1-dimensional war (

x

{\displaystyle x}

x

und

y

{\displaystyle y}

y

-Achse). Es kann aber mit Farben nachgeholfen werden: Ein beliebiger Punkt auf diesem Bild ist (ortstechnisch!) die Eingabe. Die angenommene Farbe symbolisiert über einen Farbschlüssel den Wert, den die Funktion annimmt. Die 0 ist schwarz, die Nullstellen

0,\pi

0,\pi

0,\pi

usw. des Sinus lassen sich ablesen.

Graph der komplexen Kosinusfunktion

Farbfunktion, die für die beiden obigen Bilder verwendet wurde

Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

\sin z={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

\sin z={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

\sin z={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

\cos z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

\cos z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

\cos z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)

definieren.

Für komplexe Argumente $z=x+\mathrm {i} \cdot {y}$ $z=x+\mathrm {i} \cdot {y}$ $z=x+\mathrm{i}\cdot{y}$ gilt

\sin z=\sin \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y

\sin z=\sin \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y

\sin z=\sin \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y

und

\cos z=\cos \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y

\cos z=\cos \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y

\cos z=\cos \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y

,

was aus denAdditionstheoremen und den Zusammenhängen $\sin \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\mathrm {i} \cdot {\sinh y}$ $\sin \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\mathrm {i} \cdot {\sinh y}$ $\sin \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\mathrm {i} \cdot {\sinh y}$ sowie $\cos \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cosh y$ $\cos \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cosh y$ $\cos \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cosh y$ hergeleitet werden kann, wobei $\sinh$ $\sinh$ $\sinh$ und $\cosh$ $\cosh$ $\cosh$ die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus Hyperbolicus bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall $[-1,1]$ ${\displaystyle [-1,1]}$ $[-1, 1]$ beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel ist

\cos \mathrm {i} =\cosh 1={\frac {\mathrm {e} ^{1}+\mathrm {e} ^{-1}}{2}}\approx 1{,}54.

\cos \mathrm {i} =\cosh 1={\frac {\mathrm {e} ^{1}+\mathrm {e} ^{-1}}{2}}\approx 1{,}54.

\cos \mathrm {i} =\cosh 1={\frac {\mathrm {e} ^{1}+\mathrm {e} ^{-1}}{2}}\approx 1{,}54.

Für reelle $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ nimmt $\cos x$ $\cos x$ $\cos x$ diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ -Richtung vorliegt (nicht aber in $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ -Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um $\pi /2$ $\pi /2$ $\pi/2$ auseinander hervorgehen.

Wichtige Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$ $2\pi$ $2\pi$ (entspricht im Gradmaß $360^{\circ }$ $360^{\circ }$ $360^{\circ }$ ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich $[0,2\pi ]$ $[0,2\pi ]$ $[0,2\pi]$ (entspricht dem Bereich $0^{\circ }$ $0^{\circ }$ $0^\circ$ bis $360^{\circ }$ $360^{\circ }$ $360^{\circ }$ ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

\sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )

\sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )

\sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

\sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })\,.

\sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })\,.

\sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })\,.

Hierbei bezeichnet $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ $k \in \Z$ eine ganze Zahl . Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf. ^[5]

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
$0^{\circ }$ $0^{\circ }$ $0^\circ$	$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$ $\frac12\sqrt0 = 0$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$ $\frac12\sqrt4 = 1$
$30^{\circ }$ $30^{\circ }$ $30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ $\frac{\pi}{6}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$ $\frac12\sqrt1 = \frac12$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $\frac12\sqrt3$
$45^{\circ }$ $45^{\circ }$ $45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ $\frac12\sqrt2=\frac{1}{\sqrt2}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ $\frac12\sqrt2=\frac{1}{\sqrt2}$
$60^{\circ }$ $60^{\circ }$ $60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ $\frac{\pi}{3}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $\frac12\sqrt3$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$ $\frac12\sqrt1 = \frac12$
$90^{\circ }$ $90^{\circ }$ $90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\frac {\pi }{2}}$ $\frac{\pi}{2}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$ $\frac12\sqrt4 = 1$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$ $\frac12\sqrt0 = 0$

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
$15^{\circ }$ $15^{\circ }$ $15^\circ$	${\tfrac {\pi }{12}}$ ${\tfrac {\pi }{12}}$ $\tfrac{\pi}{12}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ ${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ $\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$ ${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$ $\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$18^{\circ }$ $18^{\circ }$ $18^\circ$	${\tfrac {\pi }{10}}$ ${\tfrac {\pi }{10}}$ $\tfrac{\pi}{10}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $\tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ ${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ $\tfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$
$22{,}5^{\circ }$ $22{,}5^{\circ }$ $22{,}5^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{8}}$ ${\tfrac {\pi }{8}}$ ${\tfrac {\pi }{8}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$
$36^{\circ }$ $36^{\circ }$ $36^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{5}}$ ${\tfrac {\pi }{5}}$ ${\tfrac {\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ ${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ $\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ ${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ $\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)$
$54^{\circ }$ $54^{\circ }$ $54^\circ$	${\tfrac {3\pi }{10}}$ ${\tfrac {3\pi }{10}}$ ${\tfrac {3\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ ${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ $\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ ${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ $\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}$
$67{,}5^{\circ }$ $67{,}5^{\circ }$ $67{,}5^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{8}}$ ${\tfrac {3\pi }{8}}$ ${\tfrac {3\pi }{8}}$	${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
$72^{\circ }$ $72^{\circ }$ $72^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{5}}$ ${\tfrac {2\pi }{5}}$ $\tfrac{2\pi}{5}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ ${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ $\tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $\tfrac{1}{4} \left (\sqrt{5}-1 \right)$
$75^{\circ }$ $75^{\circ }$ $75^\circ$	${\tfrac {5\pi }{12}}$ ${\tfrac {5\pi }{12}}$ $\tfrac{5\pi}{12}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$ ${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$ $\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ ${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ $\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$180^{\circ }$ $180^{\circ }$ $180^{\circ }$	$\pi$ $\pi$ $\pi$	$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$	$-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$
$270^{\circ }$ $270^{\circ }$ $270^\circ$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\frac {3\pi }{2}}$ $\frac{3\pi}{2}$	$-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$	$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$
$360^{\circ }$ $360^{\circ }$ $360^{\circ }$	$2\pi$ $2\pi$ $2\pi$	$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$	$1$ ${\displaystyle 1}$ $1$

Beweisskizzen:

$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt $x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ $x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ $x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ .
$\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ $\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ $\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
$\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen $\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ $\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ $\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ für den Cosinus nach Pythagoras gilt $x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ .
$\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$ $\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$ $\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$ , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
$\cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})$ $\cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})$ $\cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})$ , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
$\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ $\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ $\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ und $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$ $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$ $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$ lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich

\sin 18^{\circ }=\cos 72^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\sin 18^{\circ }=\cos 72^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\sin 18^{\circ }=\cos 72^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

.

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

\cos 54^{\circ }=\sin(2\cdot 18^{\circ })={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}

\cos 54^{\circ }=\sin(2\cdot 18^{\circ })={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}

\cos 54^{\circ }=\sin(2\cdot 18^{\circ })={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}

und $\sin 15^{\circ }$ $\sin 15^{\circ }$ $\sin 15^{\circ }$ , woraus folgt

{\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos 30^{\circ }=\cos ^{2}15^{\circ }-\sin ^{2}15^{\circ }=1-2\sin ^{2}15^{\circ }

{\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos 30^{\circ }=\cos ^{2}15^{\circ }-\sin ^{2}15^{\circ }=1-2\sin ^{2}15^{\circ }

{\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos 30^{\circ }=\cos ^{2}15^{\circ }-\sin ^{2}15^{\circ }=1-2\sin ^{2}15^{\circ }

.

Aus $\sin 18^{\circ }$ $\sin 18^{\circ }$ $\sin 18^{\circ }$ und $\sin 15^{\circ }$ $\sin 15^{\circ }$ $\sin 15^{\circ }$ lassen sich dann z. B. $\sin 3^{\circ }$ $\sin 3^{\circ }$ $\sin 3^{\circ }$ und dann rekursiv auch alle $\sin(k\cdot 3^{\circ })$ $\sin(k\cdot 3^{\circ })$ $\sin(k \cdot 3^\circ)$ , $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ ermitteln.

Generell gilt, dass $\sin \alpha$ $\sin \alpha$ $\sin\alpha$ und $\cos \alpha$ $\cos \alpha$ $\cos\alpha$ genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ von der Gestalt

\alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dotsm p_{r}}}

\alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dotsm p_{r}}}

\alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dotsm p_{r}}}

ist, wobei $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ , $n\in \mathbb {N} _{0}$ $n\in \mathbb {N} _{0}$ $n\in \mathbb {N} _{0}$ und die $p_{i}$ $p_{i}$ $p_{i}$ für $i=1,\dotsc ,r$ $i=1,\dotsc ,r$ $i=1,\dotsc ,r$ Fermatsche Primzahlen sind. ^[6] In obigem Beispiel von $\alpha =3^{\circ }$ $\alpha =3^{\circ }$ $\alpha=3^\circ$ ist $k=1$ ${\displaystyle k=1}$ $k=1$ und der Nenner gleich $120=2^{3}\cdot 3\cdot 5$ $120=2^{3}\cdot 3\cdot 5$ $120=2^{3}\cdot 3\cdot 5$ .

Multiplikationsformeln

Die folgenden Ausdrücke gelten für alle $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ und komplexen Argumente $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ :

\sin {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin {\frac {z+k\,\pi }{n}}

\sin {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin {\frac {z+k\,\pi }{n}}

\sin {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin {\frac {z+k\,\pi }{n}}

\cos {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi }{n}}

\cos {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi }{n}}

\cos {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi }{n}}

Fixpunkte

Fixpunkt der Kosinusfunktion

Die Fixpunktgleichung $\sin(x)=x$ $\sin(x)=x$ $\sin(x)=x$ besitzt

x=0

{\displaystyle x=0}

x=0

als einzige reelle Lösung.

Die Gleichung $\cos x=x$ $\cos x=x$ $\cos x=x$ hat als einzige reelle Lösung

x=0{,}73908513321516\ldots

x=0{,}73908513321516\ldots

x=0{,}73908513321516\ldots

(Folge A003957 in OEIS ).

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht. ^[7] Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt, das heißt die Fixpunktiteration $x_{n+1}=\cos x_{n}$ $x_{n+1}=\cos x_{n}$ $x_{n+1}=\cos x_{n}$ konvergiert für jeden Startwert $x_{0}$ $x_{0}$ $x_{0}$ gegen die Lösung. Mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա ( Ayb ) abgekürzt. ^[8]

Berechnung

Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel Mikrocontroller :

Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit Interpolationsverfahren
Berechnung mit dem CORDIC -Algorithmus
Verwendung der Taylor-Reihe
schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der Zwölftel-Regel

Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen , wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist id R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert .

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert $\sin \alpha \in [-1,1]$ $\sin \alpha \in [-1,1]$ $\sin\alpha\in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert $\cos \alpha \in [-1,1]$ $\cos \alpha \in [-1,1]$ $\cos\alpha\in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

{\begin{aligned}\sin \colon &[-90^{\circ },90^{\circ }]&\to [-1,1]\\\cos \colon &[0^{\circ },180^{\circ }]&\to [-1,1]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sin \colon &[-90^{\circ },90^{\circ }]&\to [-1,1]\\\cos \colon &[0^{\circ },180^{\circ }]&\to [-1,1]\end{aligned}}

\begin{align} \sin \colon &[-90^\circ, 90^\circ]&\to[-1,1]\\ \cos \colon &[0^\circ, 180^\circ]&\to[-1,1] \end{align}

Umkehrfunktionen besitzen. Die Umkehrfunktionen

{\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to [-90^{\circ },90^{\circ }]\\\arccos \colon [-1,1]&\to [0^{\circ },180^{\circ }]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to [-90^{\circ },90^{\circ }]\\\arccos \colon [-1,1]&\to [0^{\circ },180^{\circ }]\end{aligned}}

\begin{align} \arcsin\colon [-1,1] &\to [-90^\circ, 90^\circ] \\ \arccos\colon [-1,1] &\to [0^\circ, 180^\circ] \end{align}

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes erforderlich, da die Winkelfunktionen dort für das Bogenmaß definiert sind. Die Sinusfunktion

\sin \colon \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to [-1,1]

\sin \colon \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to [-1,1]

\sin \colon \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to [-1,1]

und die Kosinusfunktion

\cos \colon [0,\pi ]\to [-1,1]

\cos \colon [0,\pi ]\to [-1,1]

\cos\colon [0, \pi]\to[-1,1]

sind auf den angegebenen Definitionsbereichen streng monoton , surjektiv und daher invertierbar . Die Umkehrfunktionen sind

{\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\\\arccos \colon [-1,1]&\to \left[0,\pi \right]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\\\arccos \colon [-1,1]&\to \left[0,\pi \right]\end{aligned}}

\begin{align} \arcsin\colon [-1,1] &\to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2} \right] \\ \arccos\colon [-1,1] &\to \left[0, \pi \right] \end{align}

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Standardskalarprodukt zweier Vektoren ${\vec {a}}=\left(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\right)$ ${\vec {a}}=\left(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\right)$ ${\vec {a}}=\left(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\right)$ und ${\vec {b}}=\left(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\right)$ ${\vec {b}}=\left(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\right)$ ${\vec {b}}=\left(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\right)$ :

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})={a_{1}}{b_{1}}+{a_{2}}{b_{2}}+\dotsb +{a_{n}}{b_{n}}

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})={a_{1}}{b_{1}}+{a_{2}}{b_{2}}+\dotsb +{a_{n}}{b_{n}}

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})={a_{1}}{b_{1}}+{a_{2}}{b_{2}}+\dotsb +{a_{n}}{b_{n}}

das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem Kosinussatz ableiten. In abstrakten Skalarprodukträumen wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ${\vec {b}}$ $\vec{b}$ :

|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})

|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}| \, | \vec{b} | \, \sin \measuredangle (\vec{a},\vec{b})

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten

\sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \cos x\;\sin y

\sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \cos x\;\sin y

\sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y

\cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y

\cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y

\cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

\sin(2x)=2\sin x\;\cos x

\sin(2x)=2\sin x\;\cos x

\sin(2x)=2\sin x\;\cos x

\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1

\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1

\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1

Orthogonale Zerlegung

Die harmonische Schwingung

a(x)={\sqrt {2}}A\sin(x+\varphi _{a})

a(x)={\sqrt {2}}A\sin(x+\varphi _{a})

a(x)={\sqrt {2}}A\sin(x+\varphi _{a})

wird durch

a(x)={\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b(x)}}\cdot b(x)+{\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b'(x)}}\cdot b'(x)

a(x)={\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b(x)}}\cdot b(x)+{\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b'(x)}}\cdot b'(x)

a(x)={\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b(x)}}\cdot b(x)+{\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b'(x)}}\cdot b'(x)

in orthogonale Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung

b(x)={\sqrt {2}}B\sin(x+\varphi _{b})

b(x)={\sqrt {2}}B\sin(x+\varphi _{b})

b(x)={\sqrt {2}}B\sin(x+\varphi _{b})

zerlegt. $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ und $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ sind Effektivwerte , $\varphi _{a}$ $\varphi _{a}$ $\varphi _{a}$ und $\varphi _{b}$ $\varphi _{b}$ $\varphi _{b}$ Nullphasenwinkel . Ihre Differenz

\varphi =\varphi _{a}-\varphi _{b}

\varphi =\varphi _{a}-\varphi _{b}

\varphi =\varphi _{a}-\varphi _{b}

heißt Phasenverschiebungswinkel . Die Ableitung der Basisfunktion

b'(x)={\frac {{\text{d}}b(x)}{{\text{d}}x}}

b'(x)={\frac {{\text{d}}b(x)}{{\text{d}}x}}

b'(x)={\frac {{\text{d}}b(x)}{{\text{d}}x}}

läuft $b(x)$ ${\displaystyle b(x)}$ $b(x)$ um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen Gleichwerte folgen aus einer modifizierten Fourier-Analyse , bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern $b(x)$ ${\displaystyle b(x)}$ $b(x)$ und $b'(x)$ ${\displaystyle b'(x)}$ $b'(x)$ als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich

a(x)={\frac {A}{B}}\cos \varphi \cdot b(x)+{\frac {A}{B}}\sin \varphi \cdot b'(x)

a(x)={\frac {A}{B}}\cos \varphi \cdot b(x)+{\frac {A}{B}}\sin \varphi \cdot b'(x)

a(x)={\frac {A}{B}}\cos \varphi \cdot b(x)+{\frac {A}{B}}\sin \varphi \cdot b'(x)

.

Die Zerlegung gilt auch bei Ansatz von $a(x)$ ${\displaystyle a(x)}$ $a(x)$ und $b(x)$ ${\displaystyle b(x)}$ $b(x)$ mit der Kosinusfunktion.

Ableitung, Integration und Krümmung von Sinus und Kosinus

Ableitung

Wird $x\;$ $x\;$ $x\;$ im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion ^[9]

\sin ^{\prime }x=\cos x

\sin ^{\prime }x=\cos x

\sin^\prime x = \cos x

Aus $\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)$ $\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)$ $\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)$ und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

\cos ^{\prime }x=-\sin x

\cos ^{\prime }x=-\sin x

\cos ^{\prime }x=-\sin x

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

\sin ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\sin x,&{\text{wenn }}k=0\\\cos x,&{\text{wenn }}k=1\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=2\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

\sin ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\sin x,&{\text{wenn }}k=0\\\cos x,&{\text{wenn }}k=1\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=2\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

\sin ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\sin x,&{\text{wenn }}k=0\\\cos x,&{\text{wenn }}k=1\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=2\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

\cos ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\cos x,&{\text{wenn }}k=0\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=1\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=2\\\sin x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

\cos ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\cos x,&{\text{wenn }}k=0\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=1\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=2\\\sin x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

\cos ^{(4n+k)}x=\left\{{\begin{matrix}\cos x,&{\text{wenn }}k=0\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=1\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=2\\\sin x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.

Wird der Winkel $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein Faktor ${\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}$ ${\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}$ ${\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}$ dazu, also beispielsweise $\sin ^{\prime }\alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\cos \alpha$ $\sin ^{\prime }\alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\cos \alpha$ $\sin ^{\prime }\alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\cos \alpha$ . Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.

Stammfunktion

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

\int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C

\int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C

\int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C

\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C

\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C

\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C

Krümmung

Die Krümmung des Graphen wird mit Hilfe der Formel

\kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}

\kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}

\kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}

berechnet. Für $f(x)=\sin x$ $f(x)=\sin x$ $f(x)=\sin x$ erhält man damit die Krümmungsfunktion

\kappa (x)=-{\frac {\sin x}{\left(1+\cos ^{2}x\right)^{3/2}}}

\kappa (x)=-{\frac {\sin x}{\left(1+\cos ^{2}x\right)^{3/2}}}

\kappa (x)=-{\frac {\sin x}{\left(1+\cos ^{2}x\right)^{3/2}}}

.

und für $f(x)=\cos x$ $f(x)=\cos x$ $f(x)=\cos x$ entsprechend

\kappa (x)=-{\frac {\cos x}{\left(1+\sin ^{2}x\right)^{3/2}}}

\kappa (x)=-{\frac {\cos x}{\left(1+\sin ^{2}x\right)^{3/2}}}

\kappa (x)=-{\frac {\cos x}{\left(1+\sin ^{2}x\right)^{3/2}}}

.

An den Wendepunkten ist die Krümmung gleich null. Dort hat die Krümmungsfunktion einen Vorzeichenwechsel. An der Stelle des Maximums ist die Krümmung gleich −1 und an der Stelle des Minimums gleich 1. Der Krümmungskreis hat an den Extrempunktem also jeweils den Radius 1.

Anwendungen

Geometrie

Skizze zum Beispiel

Mit der Sinusfunktion können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von $h_{c}$ $h_{c}$ $h_{c}$ im Dreieck ABC bei gegebener Länge $a=5{,}4$ ${\displaystyle a=5{,}4}$ $a=5{,}4$ und Winkel $\beta =42^{\circ }$ $\beta =42^{\circ }$ $\beta=42^\circ$ :

{\begin{aligned}{\frac {h_{c}}{a}}&=\sin \beta \\h_{c}&=a\cdot \sin \beta \\h_{c}&=5{,}4\cdot \sin 42^{\circ }\approx 3{,}613\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {h_{c}}{a}}&=\sin \beta \\h_{c}&=a\cdot \sin \beta \\h_{c}&=5{,}4\cdot \sin 42^{\circ }\approx 3{,}613\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {h_{c}}{a}}&=\sin \beta \\h_{c}&=a\cdot \sin \beta \\h_{c}&=5{,}4\cdot \sin 42^{\circ }\approx 3{,}613\end{aligned}}

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz .

Fourierreihen

Im Hilbertraum $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ der auf dem Intervall $[-\pi ,\pi ]$ $[-\pi ,\pi ]$ $[-\pi,\pi]$ bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

1,\cos(nx),\sin(nx)\quad n=1,2,\dotsc

1,\cos(nx),\sin(nx)\quad n=1,2,\dotsc

1,\cos(nx),\sin(nx)\quad n=1,2,\dotsc

ein vollständiges Orthogonalsystem , das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]$ $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]$ $f\in L^2[-\pi,\pi]$ als Fourierreihe

S_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)

S_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)

S_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)

darstellen, wobei die Funktionenfolge $S_{n}(x)$ $S_{n}(x)$ $S_{n}(x)$ in der L ² -Norm gegen $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ konvergiert .

Informatik

In der Informatik wird zur Erstellung von Audiodateien (zum Beispiel im Audioformat MP3 ) ^[10] , digitalen Bildern im Grafikformat JPEG ^[11] , Videodateien (zum Beispiel im Containerformat MP4 oder WebM ) die diskrete Kosinustransformation oder die modifizierte diskrete Kosinustransformation verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die Umkehrfunktion verwendet. ^[12] Bei der digitalen Verarbeitung von akustischen und optischen Signalen wird unter anderem die Schnelle Fourier-Transformation verwendet. ^[13]

Physik

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse .

Elektrotechnik

Leistungszeigerdiagramm und Phasenverschiebungswinkel bei sinusförmigen Spannungen und Strömen in der komplexen Ebene

In der Elektrotechnik sind häufig elektrische Stromstärke $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ und Spannung $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ sinusförmig. Wenn sie sich um einen Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete Scheinleistung $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ von der Wirkleistung $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ .

S=U\cdot I\quad ;\quad P=U\cdot I\cdot \cos \varphi

S=U\cdot I\quad ;\quad P=U\cdot I\cdot \cos \varphi

S=U\cdot I\quad ;\quad P=U\cdot I\cdot \cos \varphi

Bei nicht sinusförmigen Größen (z. B. bei einem Netzteil mit herkömmlichem Brückengleichrichter am Eingang) entstehen Oberschwingungen , bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein Leistungsfaktor angeben

{\text{Leistungsfaktor }}\lambda ={\frac {|P|}{S}}\quad ,

{\text{Leistungsfaktor }}\lambda ={\frac {|P|}{S}}\quad ,

\text{Leistungsfaktor }\lambda = \frac{|P|}S\quad,

dieser Leistungsfaktor $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ darf aber mit $\cos(\varphi )$ $\cos(\varphi )$ $\cos(\varphi )$ nicht verwechselt werden.

Siehe auch

Literatur

IN Bronstein, KA Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 19. Auflage. BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989.
Harro Heuser : Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 6. Auflage. Teubner, 1989.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Differentiation der Sinusfunktion – Lern- und Lehrmaterialien

Wikiversity: Sinus und Kosinus – Kursmaterialien

Wiktionary: Kosinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Sinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.
↑ Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6 . S. 207.
↑ Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4 , ( 4.3.96 – 4.3.99 )
↑ Leopold Vietoris: Vom Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}$ $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}$ $\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}$ . In: Elemente der Mathematik. Band 12, 1957.
↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt . Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Emil Artin : Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8 , S. 85.
↑ Leonhard Euler : Introductio in analysin infinitorum . Band 2 . Marc Michel Bousquet, Lausanne 1748, S. 306–308 .
↑ Eric W. Weisstein : Dottie number . In: MathWorld (englisch).
↑ Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
↑ Joebert S. Jacaba: AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD
↑ International Telecommunication Union: INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES
↑ ITwissen, Klaus Lipinski: Videokompression
↑ Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: Digitale Signalverarbeitung

[1] J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.

[2] Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6 . S. 207.

[3] Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4 , ( 4.3.96 – 4.3.99 )

[Vietoris-4] Leopold Vietoris: Vom Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}$ $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}$ $\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}$ . In: Elemente der Mathematik. Band 12, 1957.

[5] Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt . Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[6] Emil Artin : Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8 , S. 85.

[7] Leonhard Euler : Introductio in analysin infinitorum . Band 2 . Marc Michel Bousquet, Lausanne 1748, S. 306–308 .

[8] Eric W. Weisstein : Dottie number . In: MathWorld (englisch).

[9] Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion

[10] Joebert S. Jacaba: AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD

[11] International Telecommunication Union: INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES

[12] ITwissen, Klaus Lipinski: Videokompression

[13] Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: Digitale Signalverarbeitung

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]