Snellius 'lov om brydning

Brydning og refleksion af en lysstråle, når den kommer ind i glas. Strålen reflekteret øverst til højre har den samme vinkel i forhold til vinkelret på overfladen som strålen, der rammer ovenfra til venstre (60 ° i hvert tilfælde). Strålens vinkel, der trænger ind i glasset (brydningsvinkel) i dette forsøg er 35 °. Glasset har et højere brydningsindeks end luft.

Brydningsloven , også Snellius 'lov om brydning , Snellius' lov eller Snellius 'lov beskriver ændringen i retningen i udbredelsesretningen for en planbølge under overgangen til et andet medium . Årsagen til ændringen i retning kaldet brydning er ændringen i den materialeafhængige fasehastighed , som er inkluderet i brydningsloven som et brydningsindeks . Det mest kendte fænomen, der er beskrevet ved lov om brydning, er retningsbøjningen af en lysstråle, når man passerer en mediegrænse. Loven er ikke begrænset til optiske fænomener, men gælder for alle bølger, især ultralydsbølger .

Brydningsloven er opkaldt efter den hollandske astronom og matematiker Willebrord van Roijen Snell , på nogle sprog efter den latiniserede form "Snellius", som ikke var den første til at finde den i 1621, men var den første til at udgive den.

Loven

Vinkelafhængighed under brydning for medieluft, vand og glas. Proportionalitet er en god tilnærmelse op til vinkler på omkring 50 °.

Indfaldsstrålens retning og vinkelret på grænsefladen bestemmer forekomstplanet . De brydte og reflekterede stråler ligger også i dette plan. Vinklerne måles mod vinkelret. Brydningsloven er følgende forhold mellem indfaldsvinklen $\delta _{1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta_1$ og vinklen $\delta _{2}$ ${\ displaystyle \ delta _ {2}}$ $\ delta_2$ af den ødelagte stråle:

n_{1}\sin \delta _{1}=n_{2}\sin \delta _{2}

{\ displaystyle n_ {1} \ sin \ delta _ {1} = n_ {2} \ sin \ delta _ {2}}

{\ displaystyle n_ {1} \ sin \ delta _ {1} = n_ {2} \ sin \ delta _ {2}}

.

Er i det $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ og $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ brydningsindekserne for de respektive medier. Luft har et brydningsindeks, der er meget tæt på $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ løgne. Ved overgangen fra luft til glas kan brydningsloven derfor tilnærmes som:

\sin \delta _{\mathrm {Luft} }=n_{\mathrm {Glas} }\sin \delta _{\mathrm {Glas} }

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {\ mathrm {air}} = n _ {\ mathrm {glas}} \ sin \ delta _ {\ mathrm {glas}}}

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {\ mathrm {air}} = n _ {\ mathrm {glas}} \ sin \ delta _ {\ mathrm {glas}}}

.

Brydningsindekset for et optisk medium er generelt afhængigt af bølgelængden. Denne spredning er inkluderet i refraktionsloven. Forskellige bølgelængder brydes i forskellige grader. Dispersionsprismer gør brug af dette for at adskille lyset i farver.

Brydningsloven gælder kun for svagt absorberende medier. ^[1]

historie

Brydning blev beskrevet af Ptolemaios i sit arbejde "Optik". Den lineære lov gælder dog kun for små vinkler. ^[2] Brydningsloven blev korrekt angivet for første gang i det 10. århundrede af Ibn Sahl ^[3] . Loven blev genopdaget, men ikke offentliggjort af Thomas Harriot i 1601 og af Willebrord van Roijen Snell omkring 1621. Mens Harriots opdagelse først blev offentliggjort 350 år senere, blev Snellius 'bidrag kendt af Jacob Golius i 1632. ^[4] ^[5] Næsten på samme tid og formodentlig uafhængigt af Snellius ^[5] udgav René Descartes en lignende forbindelse i sin Dioptrique i 1637. Hans afledning var imidlertid forkert, fordi han antog en højere lyshastighed i det optisk tættere medium ( Pierre de Fermat udledte det først korrekt). ^[6]

Afledning

En plan bølge, der formerer sig på tværs af en grænseflade. Bag grænsefladen har mediet et højere brydningsindeks, og bølgen har en kortere bølgelængde .

Brydningsindekset $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ af et medium angiver med, hvor meget fasehastigheden der $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ og bølgelængden $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ er mindre eller kortere end i et vakuum:

n={\frac {c}{c_{\rm {Medium}}}}={\frac {\lambda }{\lambda _{\rm {Medium}}}}\,.

{\ displaystyle n = {\ frac {c} {c _ {\ rm {Medium}}}} = {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {\ rm {Medium}}}} \,.}

n = \ frac {c} {c _ {\ rm Medium}} = \ frac {\ lambda} {\ lambda _ {\ rm Medium}} \,.

Fra et medium til et andet ændrer bølgelængden sig med faktoren $n_{1}/n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {1} / n_ {2}}$ $n_1 / n_2$ , ved overgangen til et optisk tættere medium vist til højre ( $n_{2}>n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {2}> n_ {1}}$ $n_2> n_1$ ) akslen er komprimeret. Denne komprimering fører til distraktion.

Skematisk fremstilling af afledningen af brydningsloven

På det andet billede er den samme proces vist skematisk. Mellem to parallelle stråler trækkes en bølgefront ind på to særlige steder: Bølgefronten har lige nået grænsefladen på den ene stråle (A) og skal dække afstanden L ₁ (= | BB '|) i medium 1 på den anden stråle indtil den rører grænsefladen (ved B '). Den anden stråle i medium 1 har brug for tiden hertil $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

t={\frac {L_{\mathrm {1} }}{c_{\mathrm {Medium,1} }}}=L_{\mathrm {1} }{\frac {n_{1}}{c}}\,.

{\ displaystyle t = {\ frac {L _ {\ mathrm {1}}} {c _ {\ mathrm {Medium, 1}}}} = L _ {\ mathrm {1}} {\ frac {n_ {1 }} {c}} \,.}

t = \ frac {L_ \ mathrm {1}} {c_ \ mathrm {Medium, 1}} = L_ \ mathrm {1} \ frac {n_1} {c} \,.

På samme måde passerer den første stråle i denne tid, afstanden L ₂ (= | AA '|) i mediet 2. Omarrangering giver og svarer til c , at afstanden $L_{2}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ $L_2$ ved ovenstående komprimeringsfaktor $n_{1}/n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {1} / n_ {2}}$ $n_1 / n_2$ er kortere end $L_{1}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ .

De samme vinkler opstår mellem grænsefladen og de to bølgefronter $\delta _{1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta_1$ og $\delta _{2}$ ${\ displaystyle \ delta _ {2}}$ $\ delta_2$ om hvordan mellem vinkelret og hændelsen eller brydte stråler. De modsatte kateter i disse vinkler er henholdsvis L ₁ og L ₂ , hypotenusen af længden | AB '| der ligger i grænsefladen de har tilfælles. Gælder derfor

\sin \delta _{1}={\frac {L_{1}}{|AB'|}}

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {1} = {\ frac {L_ {1}} {| AB '|}}}

\ sin \ delta_1 = \ frac {L_1} {| AB '|}

og

\sin \delta _{2}={\frac {L_{2}}{|AB'|}}

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {2} = {\ frac {L_ {2}} {| AB '|}}}

\ sin \ delta_2 = \ frac {L_2} {| AB '|}

.

Ved at konvertere og sidestille med | AB '| resultater deraf

{\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,,

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ delta _ {1}} {\ sin \ delta _ {2}}} = {\ frac {L_ {1}} {L_ {2}}} \ ,,}

\ frac {\ sin \ delta_1} {\ sin \ delta_2} = \ frac {L_1} {L_2} \ ,,

eller med det ovennævnte forhold mellem brydningsindekset og afstandene $L_{1}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ og $L_{2}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ $L_2$

{\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,,

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ delta _ {1}} {\ sin \ delta _ {2}}} = {\ frac {L_ {1}} {L_ {2}}} = {\ frac {n_ {2}} {n_ {1}}} \ ,,}

\ frac {\ sin \ delta_1} {\ sin \ delta_2} = \ frac {L_1} {L_2} = \ frac {n_2} {n_1} \ ,,

hvilket svarer til refraktionsloven. ^[7]

Forholdet til Fermats princip

Refraktionsloven kan også udledes af Fermats princip, der siger, at små ændringer i den vej, lyset tager mellem to punkter P og Q, ikke ændrer den optiske sti -længde . I tilfælde af brydning ville en systematisk variation være forskydningen af knækpunktet inden for grænsefladen, for eksempel fra A til B 'i figuren ovenfor. I tilfælde af skiftet, som er så lille i forhold til afstanden til punkterne P og Q, at vinklerne ikke ændrer sig, den geometriske vej i medium 1 stiger med L _1, mens i medium _sættes 2 _L2. På grund af de forskellige fasehastigheder ændres fasen ikke generelt.

Total refleksion

til $n_{1}>n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {1}> n_ {2}}$ $n_1> n_2$ og stort nok $\delta _{1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta_1$ er

\sin \delta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \delta _{1}>1

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {2} = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ delta _ {1}> 1}

\ sin \ delta_2 = \ frac {n_1} {n_2} \ sin \ delta_1> 1

og dermed ingen (reel) $\delta _{2}$ ${\ displaystyle \ delta _ {2}}$ $\ delta_2$ opnåelig. I disse tilfælde sker der total refleksion, hvor lyset reflekteres fuldstændigt.

Til den kritiske vinkel for total refleksion $\delta _{g}$ ${\ displaystyle \ delta _ {g}}$ $\ delta_g$ ligestilling gælder, så

\sin \delta _{g}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,.

{\ displaystyle \ sin \ delta _ {g} = {\ frac {n_ {2}} {n_ {1}}} \,.}

\ sin \ delta_g = \ frac {n_2} {n_1} \,.

Total refleksion bruges f.eks. I opstilling af prismer i kikkert .

Optisk forbedring

På grund af brydningen på overfladen ser objekter under vand forkortet ud i lodret retning. Lige genstande, der dypper ind i en vinkel, ser ud til at have et knæk på overfladen.

Hvis du ser på objekter, der er under vand udefra, ser de komprimeret i lodret retning. Fartøjets bund fremstår højere end på et billede af den samme scene uden vand. Dette fænomen kaldes derfor også optisk forbedring . På en lige stang, der dypper diagonalt i vandet, kan du se et knæk på overfladen af vandet. På grund af de forskellige brydningsindeks for vand og luft opstår en anden brydningsvinkel for lysstrålerne, der kommer fra stangen ind i øjet, over og under overfladen af vandet ved grænsefladen med glasset. Den menneskelige hjerne tager ikke højde for disse forskellige brydningsvinkler og strækker strålerne i en lige linje bagud, så stangen fremstår fladere under vand end stangen over vand.

Akustik

Mode konvertering af en ultralydsbølge. En hændelse langsgående bølge

P_{i}

{\ displaystyle P_ {i}}

Pi}

("P" for engelsk. Trykbølge, trykbølge ) er delvist som en forskydningsbølge (

PS_{r}

{\ displaystyle PS_ {r}}

PS_ {r}

) og trykbølge (

PP_{r}

{\ displaystyle PP_ {r}}

PP_ {r}

) reflekteret og transmitteret (

PS_{t}

{\ displaystyle PS_ {t}}

PS_ {t}

og

PP_{t}

{\ displaystyle PP_ {t}}

PP_ {t}

). Nomenklaturen er som følger: Det første bogstav står for bivirkningstypen af den forårsagende bølge (primærbølge) og det andet bogstav for den type sekundære bølger, der er opstået efter modeomdannelsen.

Refraktionsloven gælder også for mekaniske bølger , dvs. tryk eller forskydningsbølger . I forbindelse med akustik eller ultralydsteknologi er Snellius 'lov om brydning imidlertid formuleret uden brydningsindeks, men ved hjælp af bølgetallet $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Følgende gælder (se tilstødende billede for vinkelbetegnelserne):

k=k_{P1}\sin \theta _{P1}=k_{S1}\sin \theta _{S1}=k_{P2}\sin \theta _{P2}=k_{S2}\sin \theta _{S2}.

{\ displaystyle k = k_ {P1} \ sin \ theta _ {P1} = k_ {S1} \ sin \ theta _ {S1} = k_ {P2} \ sin \ theta _ {P2} = k_ {S2} \ sin \ theta _ {S2}.}

k = k_ {P1} \ sin \ theta_ {P1} = k_ {S1} \ sin \ theta_ {S1} = k_ {P2} \ sin \ theta_ {P2} = k_ {S2} \ sin \ theta_ {S2}.

Med definitionen $k_{i}={\frac {2\pi }{\lambda _{i}}}={\frac {2\pi f}{c_{i}}}$ ${\ displaystyle k_ {i} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda _ {i}}} = {\ frac {2 \ pi f} {c_ {i}}}}$ $k_i = \ frac {2 \ pi} {\ lambda_i} = \ frac {2 \ pi f} {c_i}$ med $i=\{S1,S2,P1,P2\}$ ${\ displaystyle i = \ {S1, S2, P1, P2 \}}$ $i = \ {S1, S2, P1, P2 \}$ man opnår brydningsloven i formuleringen med fasehastighederne for de relevante bølgetyper i det relevante medium og dermed den samme formulering som i optik (hvis man skulle afbryde lysets vakuumhastighed der). Loven i akustik er afledt af kravet om at opfylde kontinuitetsligningen for mekaniske spændinger og forskydninger ved mediegrænsen. ^[8] Det tilstødende billede viser en indfaldende langsgående bølge i et fast stof , som delvist reflekteres og transmitteres ved en grænseflade med et andet fast stof. Generelt opstår der nye bølgetyper ved grænsefladen fra den hændende langsgående bølge (P -bølge), så to forskellige bølgetyper reflekteres og transmitteres: P -bølger og S -bølger ( forskydningsbølge ). Begge typer bølger formerer sig i de to medier ved forskellige fasehastigheder, hvorfor de også brydes i forskellige vinkler. Disse vinkler kan beregnes med ovenstående lov, hvis de enkelte fasehastigheder $c_{P1},\,c_{S1},\,c_{P2},\,c_{S2}$ ${\ displaystyle c_ {P1}, \, c_ {S1}, \, c_ {P2}, \, c_ {S2}}$ $c_ {P1}, \, c_ {S1}, \, c_ {P2}, \, c_ {S2}$ samt indfaldsvinklen for den primære bølge $\theta _{P1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {P1}}$ $\ theta_ {P1}$ er kendt. I tilfælde af medier, der er fri for forskydningsspænding (væsker og gasser), sker der ingen forskydningsbølger, så den indfaldende P -bølge kun ville generere en reflekteret og en transmitteret P -bølge.

Se også

Huygens princip

litteratur

Eugene Hecht: optik . 4., reviderede udgave. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München et al. 2005, ISBN 3-486-27359-0 .
Klaus Hentschel : Lov om brydning i versionen af Snellius. Rekonstruktion af hans opdagelsessti og en oversættelse af hans latinske manuskript og supplerende dokumenter, Archive for History of Exact Sciences 55.4 (2001): 297-344.

Individuelle beviser

↑ Torsten Fließbach : Lærebog om teoretisk fysik. Bind 2: Elektrodynamik. 4. udgave. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg et al. 2004, ISBN 3-8274-1530-6 (kapitel 36).
↑ Lucio Russo: Den glemte revolution eller genfødsel af gammel viden . Springer-Verlag, 2005 ( begrænset forhåndsvisning i Google bogsøgning [åbnet 22. januar 2017]).
^ Jim Al-Khalili : Visdomshuset . S. Fischer, 2011, ISBN 978-3-10-000424-6 , s. 251 f .
↑ Harriot . I: Spectrum of Science (red.): Lexicon of Physics . 1998 ( Spektrum.de [åbnet den 22. januar 2017]).
↑ ^a ^b Klaus Hentschel: Loven om brydning i versionen af Snellius . I: Arch. Hist. Præcis Sci. tape 55 , nej. 4 , 2001, s. 297-344 , doi : 10.1007 / s004070000026 .
^ Constantin Carathéodory : Geometrisk optik . Julius Springer, 1937, s. 6. f . ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).
↑ se Wolfgang Demtröder : Experimentalphysik. Bind 1: Mekanik og varme. 5., reviderede og opdaterede udgave. Springer, Berlin et al.2008 , ISBN 978-3-540-79295-6 .
↑ Tribikram Kundu (red.): Ultralyd og elektromagnetisk NDE til struktur og materialekarakterisering . CRC Press, Boca Raton FL et al. 2012, ISBN 978-1-4398-3663-7 , s. 42–56 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[1] Torsten Fließbach : Lærebog om teoretisk fysik. Bind 2: Elektrodynamik. 4. udgave. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg et al. 2004, ISBN 3-8274-1530-6 (kapitel 36).

[2] Lucio Russo: Den glemte revolution eller genfødsel af gammel viden . Springer-Verlag, 2005 ( begrænset forhåndsvisning i Google bogsøgning [åbnet 22. januar 2017]).

[3] Jim Al-Khalili : Visdomshuset . S. Fischer, 2011, ISBN 978-3-10-000424-6 , s. 251 f .

[4] Harriot . I: Spectrum of Science (red.): Lexicon of Physics . 1998 ( Spektrum.de [åbnet den 22. januar 2017]).

[Hentschel-5] Klaus Hentschel: Loven om brydning i versionen af Snellius . I: Arch. Hist. Præcis Sci. tape 55 , nej. 4 , 2001, s. 297-344 , doi : 10.1007 / s004070000026 .

[6] Constantin Carathéodory : Geometrisk optik . Julius Springer, 1937, s. 6. f . ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[7] se Wolfgang Demtröder : Experimentalphysik. Bind 1: Mekanik og varme. 5., reviderede og opdaterede udgave. Springer, Berlin et al.2008 , ISBN 978-3-540-79295-6 .

[8] Tribikram Kundu (red.): Ultralyd og elektromagnetisk NDE til struktur og materialekarakterisering . CRC Press, Boca Raton FL et al. 2012, ISBN 978-1-4398-3663-7 , s. 42–56 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]