Trinrespons

Stepresponsen er udgangssignalet fra en lineær tidsinvariant systemet (LZI systemet), som trinfunktion er tilført ved indgangen. Det kaldes en overgangsfunktion , hvis indgangsspringens højde er 1 (enhedshoppefunktion) eller er blevet divideret med højden på inputspringet.

Eksempler på trinrespons af et 2. ordens LTI -system

Matematisk beskrivelse

Trinresponsen $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ kan også bruges som en foldning af springfunktionen $\sigma (t)$ ${\ displaystyle \ sigma (t)}$ $\ sigma (t)$ med impulsresponsen $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ Beregn:

h(t)=(g*\sigma )(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\sigma (t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau =\int \limits _{-\infty }^{t}{g(\tau )}\,\mathrm {d} \tau

{\ displaystyle h (t) = (g * \ sigma) (t) = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) \ sigma (t- \ tau)} \, \ mathrm {d} \ tau = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {t} {g (\ tau)} \, \ mathrm {d} \ tau}

h (t) = (g * \ sigma) (t) = \ int \ limit _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} {g (\ tau) \ sigma (t- \ tau)} \, { \ mathrm d} \ tau = \ int \ limit _ {{- \ infty}} ^ {t} {g (\ tau)} \, {\ mathrm d} \ tau

Trinresponsen er således tidsintegralet af impulsresponsen.

På det diskrete:

h[n]=(g*\sigma )[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }g[n-k]\sigma [k]=\sigma [n]\sum _{k=0}^{\infty }g[n-k]

{\ displaystyle h [n] = (g * \ sigma) [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} g [nk] \ sigma [k] = \ sigma [n] \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} g [nk]}

h [n] = (g * \ sigma) [n] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} g [nk] \ sigma [k] = \ sigma [n] \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} g [nk]

Da overførselsfunktionen repræsenterer Laplace -transformationen af impulsresponset , kan den også bestemmes ved Laplace -transformering af tidsderivatet af trinresponset:

G(s)={\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{{\frac {dh(t)}{dt}}\right\}=s{\mathcal {L}}\left\{h(t)\right\}

{\ displaystyle G (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {g (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {dh (t)} {dt }} \ højre \} = s {\ mathcal {L}} \ venstre \ {h (t) \ højre \}}

G (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {g (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {dh (t)} {dt}} \ højre \} = s {\ mathcal {L}} \ venstre \ {h (t) \ højre \}

Omvendt følger det heraf: $h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {G(s)}{s}}\right\}$ ${\ displaystyle h (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ frac {G (s)} {s}} \ right \}}$ $h (t) = {\ mathcal {L}} ^ {{- 1}} \ venstre \ {{\ frac {G (s)} {s}} \ højre \}$

I praksis kan hoppesignaler genereres meget mere præcist end Dirac -pulser (som er input -signalet for impulsresponsen ). Ovenstående forhold gør det også let at bestemme systemets overførselsfunktion ud fra trinresponsen. Således er trinresponsen en vigtig parameter for systemadfærden og af høj relevans for beskrivelsen af systemer.

eksempel

Trinrespons af et RC -system ( lavpas )

Trinfunktionen er velegnet til et system som testsignal. Hvis en trinfunktion med et niveau på 2 V anvendes på indgangen til et elektronisk kredsløb, kan en ændring i spænding også bestemmes ved udgangen af overføringselementet. Tidsforløbet for denne spænding kaldes trinresponsen, dvs. det er systemets respons på den anvendte trinfunktion. Billedet viser, hvordan udgangssignalet langsomt nærmer sig værdien ved indgangen. Hvis trinresponsen ligner billedet, kan det konkluderes, at det er et system med en hukommelse. I dette tilfælde er hukommelsen en kondensator . Dette oplades af 2 V ved indgangen via modstanden, indtil indgangsspændingen er nået. Systemet opfører sig som et PT1 -element .

Se også

Overskyd

litteratur

R. Parthier: Målteknologi- Grundlæggende og anvendelser af elektrisk måleteknologi til alle tekniske områder og industrielle ingeniører (4. udgave-vieweg Verlag), ISBN 978-3-8348-0336-8