Stivhed

Stivhed er en parameter inden for teknisk mekanik . Det beskriver et legems modstand mod elastisk deformation forårsaget af en kraft eller et øjeblik ( bøjningsmoment eller torsionsmoment afhængigt af belastningen ). Derfor er der forskellige typer stivhed: træk, forskydning, bøjning og vridningsstivhed .

En komponents stivhed afhænger ikke kun af materialets elastiske egenskaber ( elasticitetsmodulet ), men også afgørende af komponentens geometri.

Stivheden gælder i det lineære-elastiske område , dvs. kun ved små deformationer, hvor disse stadig er proportionelle med de kræfter, der virker.

Stivheden skal ikke forveksles med styrken . Dette er et mål for den maksimale belastning, der kan modstå under plastisk deformation .

For slanke kroppe med et ensartet tværsnitsareal (i størrelse og form) over længden kan stivhed også betyde den relative stivhed relateret til længden. Det gensidige af stivhed kaldes compliance .

For mere komplicerede geometrier er det ofte ikke muligt at adskille stivhederne efter belastningstypen. En belastning på tog kan også føre til vridninger , f.eks. B. i en helix . Den (absolutte) stivhed er derefter en tensor .

Relativ stivhed

Trækstivhed

Trækstivheden er produktet af elasticitetsmodulet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ af materialet i belastningsretningen og tværsnitsarealet $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ vinkelret på belastningsretningen (uanset tværsnittets form):

{\text{Dehnsteifigkeit}}=E\cdot A,

{\ displaystyle {\ text {Stivhed}} = E \ cdot A,}

{\ text {Stivhed}} = E \ cdot A,

for eksempel i

\mathrm {N} .

{\ displaystyle \ mathrm {N}.}

{\ mathrm {N}}.

Denne formulering gælder for fri tværgående kontraktion af tværsnittet; i tilfælde af handicappet tværgående sammentrækning bruges modulet tværgående kontraktion i stedet for elasticitetsmodulet.

Den langsgående strækning $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ af kroppen er proportional med den virkende normale kraft $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ og omvendt proportional med forlængelsesstivheden i længderetningen (langsgående stivhed):

\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {F}{\text{Dehnsteifigkeit}}}={\frac {F}{E\cdot A}}\left(={\frac {\sigma }{E}}\right)

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta L} {L}} = {\ frac {F} {\ text {Stivhed}}} = {\ frac {F} {E \ cdot A}} \ venstre ( = {\ frac {\ sigma} {E}} \ højre)}

\ varepsilon = {\ frac {\ Delta L} {L}} = {\ frac {F} {{\ text {Stiffness}}}} = {\ frac {F} {E \ cdot A}} \ left (= {\ frac {\ sigma} {E}} \ højre)

med normal stress $\sigma ={\frac {F}{A}}.$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A}}.}$ $\ sigma = {\ frac {F} {A}}.$

Hvor meget den absolutte ændring i længden $\Delta L$ ${\ displaystyle \ Delta L}$ $\ Delta L$ af en komponent, der udsættes for bøjning under en given belastning (trækstyrke) afhænger af dens længde såvel som dens trækstivhed, se nedenfor absolutte stivheder.

Forskydningsstivhed

Forskydningsstivheden er produktet af forskydningsmodulet $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ materialet og tværsnitsarealet $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ :

{\text{Schubsteifigkeit}}=G\cdot A\cdot \kappa \left(=G\cdot A_{S}\right),

{\ displaystyle {\ text {forskydningsstivhed}} = G \ cdot A \ cdot \ kappa \ venstre (= G \ cdot A_ {S} \ højre),}

{\ text {forskydningsstivhed}} = G \ cdot A \ cdot \ kappa \ venstre (= G \ cdot A_ {S} \ højre),

for eksempel i

\mathrm {N}

{\ displaystyle \ mathrm {N}}

\ mathrm {N}

Den tværsnitsafhængige korrektionsfaktor $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ tager højde for den ikke-ensartede fordeling af forskydningsspændingen over tværsnittet $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\dug$ . Ofte bestemmes forskydningsstivheden også ved hjælp af forskydningsområdet $A_{S}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ $SOM}$ gav udtryk for.

Forskydningsforvrængningen $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ af kroppen er proportional med den virkende tværgående kraft $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ og omvendt proportional med forskydningsstivheden:

\gamma ={\frac {Q}{GA\kappa }}\left(={\frac {Q}{GA_{S}}}\right)

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {Q} {GA \ kappa}} \ venstre (= {\ frac {Q} {GA_ {S}}} \ højre)}

\ gamma = {\ frac {Q} {GA \ kappa}} \ venstre (= {\ frac {Q} {GA_ {S}}} \ højre)

Bøjningsstivhed

Bøjningsstivheden er produktet af materialets elastiske modul og træghedsområdet $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ af tværsnittet (som igen i høj grad afhænger af tværsnittets form):

{\text{Biegesteifigkeit}}=E\cdot I,

{\ displaystyle {\ text {Bøjningsstivhed}} = E \ cdot I,}

{\ text {Bøjningsstivhed}} = E \ cdot I,

for eksempel i

\mathrm {N\cdot mm^{2}} .

{\ displaystyle \ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}.}

{\ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}}.

Krumningen $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ af kroppen er proportional med det anvendte bøjningsmoment $M_{\mathrm {B} }$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {B}}}$ $M _ {{{\ mathrm {B}}}}$ og omvendt proportional med bøjningsstivheden:

\chi ={\frac {M_{\mathrm {B} }}{E\cdot I}}.

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {M _ {\ mathrm {B}}} {E \ cdot I}}.}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {M _ {\ mathrm {B}}} {E \ cdot I}}.}

Hvor stærk den absolutte nedbøjning eller sænkning af en komponent, der udsættes for bøjningsspænding er ved en given belastning (bøjningsmoment), afhænger ikke kun af bøjningsstivheden, men også af dens længde og opbevaringsforhold .

Torsionsstivhed

Torsionsstivheden (også kendt som torsionsstivhed) er produktet af forskydningsmodulet $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ materialet og torsionsmoment af inerti $I_{\mathrm {T} }$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {T}}}$ $I _ {{{\ mathrm {T}}}}$ :

{\text{Torsionssteifigkeit}}=G\cdot I_{\mathrm {T} },

{\ displaystyle {\ text {Torsionsstivhed}} = G \ cdot I _ {\ mathrm {T}},}

{\ text {torsionsstivhed}} = G \ cdot I _ {{{{\ mathrm {T}}}},

for eksempel i

\mathrm {N\cdot mm^{2}} .

{\ displaystyle \ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}.}

{\ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}}.

Torsionens inertimoment $I_{\mathrm {T} }$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {T}}}$ $I _ {{{\ mathrm {T}}}}$ er relateret til aksen, omkring hvilken kroppen er snoet. Det hævdes ofte fejlagtigt, at det svarer til inertimomentet i polarområdet $I_{\mathrm {p} }$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {p}}}$ $I _ {{{\ mathrm {p}}}}$ af et tværsnit. I virkeligheden gælder dette dog kun for cirkulære og lukkede cirkulære ringtværsnit. Ellers kan en lukket formel kun specificeres for torsions -inertimomentet i særlige tilfælde.

Torsionen eller vridningen $\vartheta '$ ${\ displaystyle \ vartheta '}$ $\ vartheta '$ af kroppen (twist pr. længdeenhed) er proportional med det påførte torsionsmoment $M_{\mathrm {T} }$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {T}}}$ $M _ {{{\ mathrm {T}}}}$ og omvendt proportional med torsionsstivheden:

\vartheta '={\frac {\vartheta }{L}}={\frac {M_{\mathrm {T} }}{G\cdot I_{\mathrm {T} }}}.

{\ displaystyle \ vartheta '= {\ frac {\ vartheta} {L}} = {\ frac {M _ {\ mathrm {T}}} {G \ cdot I _ {\ mathrm {T}}}}.}

\ vartheta '= {\ frac {\ vartheta} {L}} = {\ frac {M _ {{{\ mathrm {T}}}}}} G G cdot I _ {{{\ mathrm {T}}} }}}.

I hvilken absolut vinkel $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ et legeme er snoet under en bestemt belastning afhænger ikke kun af vridningsmomentets inertimoment, men også af dets længde og opbevaringsforhold.

Forårskonstant

I praksis er det ofte ikke strækningen $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ men den absolutte længdeændring $\Delta L$ ${\ displaystyle \ Delta L}$ $\ Delta L$ i forhold til den handlende interessekraft. Derfor med fjedre bestemmes fjederkonstanten af forholdet mellem den nødvendige kraft $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ for en vis nedbøjning $\Delta L$ ${\ displaystyle \ Delta L}$ $\ Delta L$ beskrevet:

c={\frac {F}{\Delta L}}.

{\ displaystyle c = {\ frac {F} {\ Delta L}}.}

c = {\ frac F {\ Delta L}}.

For et ensartet tværsnit er fjederkonstanten lig med fjedertværsnittets stivhed divideret med fjederens længde:

c={\frac {E\cdot A}{L}}.

{\ displaystyle c = {\ frac {E \ cdot A} {L}}.}

c = {\ frac {E \ cdot A} {L}}.

Det følger heraf, at fjederkonstanten halveres, når fjederens længde er fordoblet.

Eksempel: En spændestang med tværsnittet A = 100 mm² og et elasticitetsmodul på 210.000 N / mm² har en (forlængelse) stivhed på E · A = 2,1 · 10 ⁷ N. Hvis stangen er L = 100 mm lang , så er dens fjederkonstant E · A / L = 210.000 N / mm.

Se også

Specifik stivhed

litteratur

Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Plastic Practice. Konstruktion, bind 1 / del 5 / kap. 8.2: Design egnet til brug, stivhed . WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (fra marts 1999, løsbladudgave i 2 mapper + 1 cd-rom; Google Books )
Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, bind 2: Elastostatik , Springer Verlag, 10., revideret udgave, 2009, ISBN 978-3-642-00565-7
Karl-Eugen Kurrer : Historisk strukturanalyse. In Search of Balance , Ernst and Son, Berlin 2016, s. 102f, ISBN 978-3-433-03134-6 .