tonehøjde

Hældningen af en lineær funktion svarer til kvotienten

{\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}

{\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta y} {\ Delta x}}}

{\ tfrac {\ Delta y} {\ Delta x}}

I matematik , især i analyse , er hældningen (også kendt som hældning ) et mål for stejlheden af en lige linje eller en kurve .

Opgaven med at bestemme en gradient opstår ikke kun i tilfælde af geometriske spørgsmål, men også for eksempel i fysik , i vejbygning eller i økonomi . For eksempel svarer hældningen i et tidsafstandsdiagram til hastigheden, eller hældningen i et tidsladningsdiagram svarer til den aktuelle intensitet .

Hældning af en lige linje

Definition og beregning

Hældning af en lige linje

Hældningen af en lige linje er ofte angivet med bogstavet $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ udpeget. Hvis man bruger kartesiske koordinater , den lige linje, der passerer gennem to punkter $(x_{1}|y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1} | y_ {1})}}$ $(x_ {1} | y_ {1})$ og $(x_{2}|y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2} | y_ {2})}$ $(x_ {2} | y_ {2})$ er sat, hældningen

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

{\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}

m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.

$\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ (læs: Delta x) betyder forskellen mellem x -værdierne, $\Delta y$ ${\ displaystyle \ Delta y}$ $\ Delta y$ svarende til forskellen i de tildelte y-værdier.

For dem gennem punkterne $(1|2)$ ${\ displaystyle (1 | 2)}$ ${\ displaystyle (1 | 2)}$ og $(3|7)$ ${\ displaystyle (3 | 7)}$ ${\ displaystyle (3 | 7)}$ resultatet er f.eks. hældningen:

m={\frac {7-2}{3-1}}={\frac {5}{2}}=2{,}5

{\ displaystyle m = {\ frac {7-2} {3-1}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}

{\ displaystyle m = {\ frac {7-2} {3-1}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}

Det er ligegyldigt, fra hvilke punkter på den lige linje koordinaterne bruges i formlen. Tag for eksempel $(-1|-3)$ ${\ displaystyle (-1 | -3)}$ ${\ displaystyle (-1 | -3)}$ og $(1|2)$ ${\ displaystyle (1 | 2)}$ ${\ displaystyle (1 | 2)}$ , vi får:

m={\frac {2-(-3)}{1-(-1)}}={\frac {5}{2}}=2{,}5

{\ displaystyle m = {\ frac {2 - ( - 3)} {1 - ( - 1)}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}

{\ displaystyle m = {\ frac {2 - ( - 3)} {1 - ( - 1)}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}

Hvis den lige linje stiger (i positiv x-retning, dvs. set fra venstre mod højre), er dens hældning positiv. Hældningen er negativ for en faldende lige linje. Hældning 0 betyder, at den lige linje løber vandret, dvs. parallelt med x-aksen.

Har den lige linje hældningen $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ og det skærer y-aksen ved punktet $(0|c)$ ${\ displaystyle (0 | c)}$ $(0 | c)$ så hun har ligningen $y=mx+c$ ${\ displaystyle y = mx + c}$ $y = mx + c$

Bemærk: De lige linjer parallelt med y-aksen er ikke funktionsgrafer og har derfor ikke en hældningsværdi. Du kan tilskrive skråningen "uendelig" (∞) til dem.

Procentdel - især i trafikken

Den stejleste gade i verden med omkring 35% (19,3 °) er Baldwin Street i New Zealand.

Procentvis gradient på et vejskilt (nederste skilt) i St Mawes , Cornwall

Forløbet af en lige linje spiller også en rolle i vejtrafikken . Vejskiltet for en op- eller nedkøringsgradient på en gade er baseret på det samme udtryk for stigningen, men det udtrykkes normalt som en procentdel. En specifikation på 12% gradient betyder f.eks., At for hver 100 m i vandret retning øges højden med 12 m. Ifølge definitionen ovenfor skal man dividere 12 m med 100 m, hvilket fører til resultatet 0,12 (i procent notation 12%).

Den stejleste tyske vej: Ifølge virksomheden har Deesbach, Thüringen, den "stejleste vej i Tyskland" med en stigning på 25,30% og den anden stejleste "stejleste lokale vej" med en stigning på 22,65%. På Oberweißbacher Straße i Deesbach er der en årlig klapning af en cykelbakke på den stejleste gade. En hessisk radiostation fandt imidlertid ud af i 2017, at der er en gade i Ranstadt-Dauernheim i Hesse med en stigning på 29%, Hasenpfad. Den stejleste gade i Tyskland er ikke længere i Deesbach.

I Berchtesgaden er den stejleste tyske forbundsvej, B 319 op til Obersalzberg, med 26%.

Den stejleste gade i verden er Baldwin Street i New Zealand. Den næsten 350 meter lange vejs maksimale stigning er 1: 2,86 (19,3 ° eller ca. 35%). ^[1]

Forhold - z. B. på dæmninger

Et forhold som 1: 2,67 er en anden måde at definere skråninger eller stigninger på. Det giver, såvel som en procentdel, højdeforskellen pr. Vandret snit : 1 m højde over 2,67 m afstand = 1 / 2,67 ≈ 0,37453 ≈ 37,45% (= 37,45 m højde over 100 m afstand). Vold er også angivet på denne måde. Det ofte anvendte forhold mellem kunstige dæmninger på 1: 1,5 (afhængigt af materialet osv.) Resulterer i en højdeforskel på 1 meter over en vandret afstand på 1,5 meter. Det betyder en hældning på 66,7% og en hældningsvinkel på arctan (1 / 1,5) = 33,7 °.

Hældnings- eller hældningsvinkel

Fra skråningen $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ En lige linje kan bruges til at bestemme den tilhørende hældnings- eller hældningsvinkel ved hjælp af arctangent -funktionen $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ den lige linje relateret til den positive $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Beregne akse:

En forbindelse fra trigonometri siger, at tangenten for en af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er lig med kvotienten for den respektive modstående og tilstødende katet, hvilket gør det klart, at hældningen også er tangenten af hældningsvinklen ( i grader) sammenlignet med den positive $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ -Aksen er:

m=\tan(\alpha ).

{\ displaystyle m = \ tan (\ alpha).}

m = \ tan (\ alfa).

Ved angivelse i procent (%) skal det bemærkes, at gradienten og gradientvinklen ikke er proportional med hinanden, så det er heller ikke muligt at konvertere gradienten og gradientvinklen til hinanden med en simpel regel på tre . For eksempel svarer hældning 1 (= 100%) til en hældningsvinkel på 45 °, hældning 2 (= 200%) på den anden side kun svarer til en vinkel på omkring 63,4 ° og for en hældningsvinkel på 90 ° , skråningen skulle være uendelig vokse.

På den anden side er der en omtrentlig proportionalitet mellem pitch og pitchvinkel kun for små stigningsvinkler op til ca. 5 ° - en pitch på ± 0,01 eller ± 1% svarer til en pitchvinkel på ca. ± 0,57 ° og omvendt , en stigningsvinkel på ± 1 ° en hældning på ca. ± 0,0175 eller 1,75%. Matematisk kan dette forklares ved, at tangentens derivat i 0 er nøjagtigt 1, dvs. for værdier af $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i nærheden af 0 gælder $\tan(x)\approx x$ ${\ displaystyle \ tan (x) \ ca. x}$ $\ tan (x) \ ca. x$ .

For større hældningsvinkler derimod, eller hvis deres størrelse skal bestemmes nøjagtigt, har man brug for tangens inverse funktion , dvs.

\alpha =\arctan(m).

{\ displaystyle \ alpha = \ arctan (m).}

\ alfa = \ arctan (m).

I eksemplet ovenfor beregner man:

\alpha =\arctan(0{,}4)\approx 21{,}8^{\circ }.

{\ displaystyle \ alpha = \ arctan (0 {,} 4) \ ca. 21 {,} 8 ^ {\ circ}.}

\ alpha = \ arctan (0 {,} 4) \ ca. 21 {,} 8 ^ {\ circ}.

I tilfælde af negative gradienter skal det bemærkes, at - på grund af punktsymmetrien i arktangentfunktionen - så også gradientvinklen $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ blive negativ.

Skærevinkel

Begrebet hældning giver også en bekvem metode, skæringsvinklen $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ to lige linjer med givne skråninger $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ og $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ at bestemme:

\tan \varepsilon =\left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.

{\ displaystyle \ tan \ varepsilon = \ venstre | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ højre |.}

\ tan \ varepsilon = \ venstre | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ højre |.

\varepsilon =\arctan \left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.

{\ displaystyle \ varepsilon = \ arctan \ venstre | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ højre |.}

\ varepsilon = \ arctan \ venstre | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ højre |.

To linjer er parallelle, hvis og kun derefter ( $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ = 0 °), hvis deres skråninger matcher. De er derefter vinkelret på hinanden ( $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ = 90 °), hvis deres skråninger opfylder ortogonalitetstilstanden $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ · $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ = −1.

Trådhøjde

I tilfælde af metriske tråde karakteriserer stigningen stigningen , dvs. afstanden mellem to trådtrin langs trådaksen, med andre ord den aksiale vej, der er dækket af en omdrejning af tråden.

I tilfælde af kejserlige tråde er den angivne værdi på den anden side antallet af trådvendinger over afstanden på en tomme. Forkortelsen TPI ("tråde pr. Tomme") bruges ofte som en pseudoenhed .

Gradienter i farvande, i potentielt drevne processer og strømme

Især på vandkraftværker omtales den lokale vandstandsforskel mellem opstrøms og nedstrøms vand som gradienten (eller også arbejdshøjden). Det gælder møller, vandløbskraftværker, men også konstruktioner med tunneler, vandlåse og trykrør. Faldet i vandstanden mellem 2 fjerne punkter bestemt langs en flod omtales også som en gradient.

I termiske effektprocesser , for eksempel på varmemotorer eller køleenheder, taler vi om tryk- og temperaturgradienter, når der er diskrete forskelle mellem tilsvarende målbare variabler mellem 2 områder, der fører til selvløbende strømninger af væsker (gas, væske) eller termisk energi .

Statiske trykgradienter kan også eksistere mellem forskellige forsyningspunkter til trykluft eller postevand samt i ventilationssystemer (vigtigt for hygiejne, rene rum, lugtgener). (Et trykfald sker dynamisk langs en strømningsvej.)

Kemisk-fysiske processer er undertiden drevet af en rumligt eksisterende materialekoncentrationsgradient. Osmose , diffusion , kromatografi , krystallisation fra opløsning, fordampning er alle nævnt her.

I overført betydning, på samme måde inden for økonomi og sociologi, betegnes forskelle i lønniveauer , prisniveauer eller uddannelse , f.eks. Regionalt mellem by og land, socialt mellem mænd og kvinder som lønforskelle, prisforskelle, uddannelsesmæssige huller.

I alle disse tilfælde, i modsætning til det sædvanlige udtryk `` hældning '' (som en negativ hældning), er betydningen ikke en hældning i betydningen højdeforskel pr. Afstand (længde) og dermed måleenheden 1, men en højdeforskel (målt i måleenheden). Alle flowprocesser drevet af dette har til fælles (i sig selv) at køre kun i én retning - ned ad bakke. (Se potentiel forskel .)

Generalisering: hældning af en kurve

Et af de grundlæggende problemer ved beregning er at finde hældningen af en kurve på et givet punkt på kurven. Formlen diskuteret ovenfor kan ikke længere bruges, da der kun er givet et punkt. Hvis du vælger det andet punkt vilkårligt, får du ikke et klart resultat, eller hvis begge punkter vælges identisk, er resultatet ikke defineret, fordi det er divideret med 0.

Hældningen af grafen for en funktion på et punkt på grafen er derfor defineret som hældningen af kurvetangenten på dette punkt. Differentialeberegningen giver udtrykket afledning som et hjælpemiddel til at kunne beregne sådanne hældningsværdier.

Eksempel: Til grafen over funktionen $f:\;x\mapsto 2x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{3}$ ${\ displaystyle f: \; x \ mapsto 2x ^ {2} - {\ frac {1} {2}} x ^ {3}}$ $f: \; x \ mapsto 2x ^ {2} - {\ frac {1} {2}} x ^ {3}$ skal være hældningen ved kurvepunktet $(2|4)$ ${\ displaystyle (2 | 4)}$ $(2 | 4)$ og den tilhørende hældningsvinkel kan beregnes.

Først finder man ligningen for den afledte funktion $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ :

f'(x)=2\cdot 2x^{2-1}-{\frac {1}{2}}\cdot 3x^{3-1}=4x-{\frac {3}{2}}x^{2}

{\ displaystyle f '(x) = 2 \ cdot 2x ^ {2-1} - {\ frac {1} {2}} \ cdot 3x ^ {3-1} = 4x - {\ frac {3} {2 }} x ^ {2}}

f '(x) = 2 \ cdot 2x ^ {{2-1}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot 3x ^ {{3-1}} = 4x - {\ frac {3} { 2}} x ^ {2}

Nu indsættes x-koordinaten for det givne punkt:

f'(2)=4\cdot 2-{\frac {3}{2}}\cdot 2^{2}=8-{\frac {3}{2}}\cdot 4=8-6=2

{\ displaystyle f '(2) = 4 \ cdot 2 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 2 ^ {2} = 8 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 4 = 8- 6 = 2}

f '(2) = 4 \ cdot 2 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 2 ^ {2} = 8 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 4 = 8-6 = 2

Hældningsvinklen skyldes værdien af hældningen:

\tan \alpha =2

{\ displaystyle \ tan \ alpha = 2}

\ tan \ alpha = 2

\alpha =\arctan 2\approx 63{,}4^{\circ }

{\ displaystyle \ alpha = \ arctan 2 \ approx 63 {,} 4 ^ {\ circ}}

\ alpha = \ arctan 2 \ ca. 63 {,} 4 ^ {\ circ}

Se også

Opstigning , stejlhed

Weblinks

Wikibøger:

{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}

${\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}$ : Matematik til skolen

Wiktionary: hældning - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Hældningsberegner

Individuelle beviser

↑ Steven Morris: Walisisk gade mister verdens stejleste titel efter rivalen i New Zealand. theguardian.com, 8. april 2020; adgang til den 22. maj 2020 (engelsk).

[1] Steven Morris: Walisisk gade mister verdens stejleste titel efter rivalen i New Zealand. theguardian.com, 8. april 2020; adgang til den 22. maj 2020 (engelsk).

[1]