Flydende mekanik

Væskemekanik , væskemekanik eller væskemekanik er videnskaben om væskers fysiske adfærd. Den viden, der er opnået inden for væskemekanik, er loven om flowprocesser og bruges til at løse strømningsproblemer i design af komponenter gennem eller omkring flow samt overvågning af strømme . Det bruges blandt andet inden for maskinteknik , kemiteknik , vand- og energiledelse , meteorologi , astrofysik og medicin . Den finder sit grundlag i kontinuummekanik og termodynamik , dvs. klassisk fysik .

Historisk udvikling

Væskemekanik er baseret på kontinuummekanik , fysik og differentialregning , hvis historiske udvikling kan ses deroppe. På dette tidspunkt skal den specifikke væskemekaniske udvikling skitseres.

Archimedes (287–212 f.Kr.) beskæftigede sig med væskemekaniske spørgsmål ( Archimedes princip , Archimedes skrue ). Sextus Iulius Frontinus (ca. 35-103 e.Kr.) dokumenterede sin viden om vandforsyning i antikken, mere end tusind år før Leonardo da Vinci (1452-1519) behandlede strømningsprocesser.

Galileo Galilei (1564–1642) gav impuls til eksperimentel hydrodynamik og reviderede begrebet vakuum indført af Aristoteles . Evangelista Torricelli (1608–1647) genkendte årsagen til lufttrykket i vægten af jordens atmosfære og forbandt den vandret udstødte væskestråle med lovene om frit fald ( Torricellis lov om udledning ). Blaise Pascal (1623-1662) behandlet, bl.a. med hydrostatik og formulerede princippet af all-round tryk formering. Edme Mariotte (1620–1684) bidrog til problemer med væsker og gasser og oprettede de første konstituerende love. Henri de Pitot (1695–1771) studerede dynamisk tryk i strømme.

Isaac Newton udgav sin Principia med tre bind med bevægelseslove i 1686 og definerede også viskositeten af en ideel ( newtonsk ) væske i den anden bog. Daniel Bernoulli (1700–1782) grundlagde hydromekanik ved at kombinere tryk og hastighed i energiligningen opkaldt efter ham, og Leonhard Euler (1707–1783) formuleredebevægelsesligningerne for ideelle væsker . Fra nu af kunne viden også opnås ved at undersøge de matematiske ligninger. Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717–1783) introducerede Eulers tilgang og komplekse tal i potentiel teori , udledte den lokale massebalance og formulerede d'Alemberts paradoks , hvorfor ingen af strømmen af ideelle væsker på en kropskraft udøves i strømningsretningen (som Euler tidligere beviste). På grund af dette og andre paradokser af friktionsløse strømme var det klart, at Eulers bevægelsesligninger skulle suppleres.

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836) og George Gabriel Stokes (1819-1903) udvidede Eulers bevægelsesligninger til også at omfatte viskøse udtryk til Navier-Stokes ligninger , som modellen flyder realistisk. Giovanni Battista Venturi (1746-1822), Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) og Jean Léonard Marie Poiseuille (1799-1869) udførte eksperimentelle undersøgelser af strømme. William Froude (1810–1879) bestemte skibenes svømningsmodstand, Ernst Mach (1838–1916) lavede banebrydende arbejde inden for supersonisk aerodynamik, Lord Rayleigh (1842–1919) undersøgte hydrodynamiske ustabilitet og Vincent Strouhal (1850–1922) undersøgte excitation af vibrationer ved at fælde hvirvler . Hermann von Helmholtz (1821-1894) formulerede de navngivne vortex-sætninger og blev etableret ved matematisk udarbejdede undersøgelser af orkaner og stormvidenskabelig meteorologi . Yderligere banebrydende arbejde blev præsenteret af Osborne Reynolds (1832–1912, Reynolds -ligninger , Reynolds -nummer ) og Ludwig Prandtl (1875–1953, herunder om det hydrodynamiske grænselag ).

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987) udvidede teorien om turbulent flow . Fra midten af det 20. århundrede har flowmålingsteknologi og numerisk væskemekanik udviklet sig så langt, at der kan findes løsninger på praktiske problemer med deres hjælp. ^[1]

metodik

Emnet for væskemekanik er bevægelse af væsker, statiske, flydende eller flydende medier. Søgningen efter bevægelseslove og løsninger på flowproblemer bruger tre metoder:

Analytiske metoder: Love er formuleret i form af ligninger, der kan behandles ved hjælp af anvendt matematik.
Eksperimentelle metoder: Fænomenologien i flowprocesserne udforskes med det formål at finde ud af regelmæssigheder.
numeriske metoder: Med en detaljeret indsigt i komplicerede og kortsigtede flowprocesser understøtter og supplerer beregningerne de analytiske og eksperimentelle metoder.

Emnets kompleksitet gør den kombinerede brug af alle tre metoder nødvendige for at løse praktiske flowproblemer.

Delområder

Væske statik

Hydrostatisk paradoks : væsketrykket i bunden (rødt) er identisk i alle tre beholdere.

Væskestatik ser på væsker i hvile , idet hydrostatik antager inkomprimerbarhed, hvilket er en god tilnærmelse til vand. Trykfordelingen i stationære væsker og de resulterende kræfter på beholdervægge er her interessante, se billede. Flydende kroppe oplever statisk opdrift og spørgsmålet om de betingelser, hvorunder kroppen er stabil i svømning, er af interesse. Termiske effekter er af sekundær betydning her.

Aerostatik overvejer lovene i en stationær atmosfære eller jordens atmosfære, og ændringer i tæthed og termiske effekter er afgørende her. F.eks. Overvejes lagdeling af atmosfæren og tryk- og temperaturfordelingen over højden af jordens atmosfære.

Lighedsteori

NASA vindtunnel med en model af en MD-11

Lighedsteorien handler om at drage konklusioner om et interessant, men eksperimentelt utilgængeligt (reelt) system fra et kendt og tilgængeligt (model) system. B. større eller mindre, hurtigere eller langsommere eller kun adskiller sig kvantitativt fra modelsystemet i andre dimensioner, se billede. To strømninger er kinematisk ens, hvis de udfører lignende rumlige bevægelser. Forudsætningen for dette er, at der er lignende randbetingelser ( geometrisk lighed ) og lignende kræfter virker på væskeelementerne, hvilket betyder dynamisk lighed . Overvejelserne om lighed finder også anvendelse på varmetransportproblemer med termisk lighed . Lighedsteorien blev grundlagt i 1883 af Osborne Reynolds i form af Reynolds lov om ligninger, der siger, at strømningerne på originalen og på modellen er mekanisk ens, hvis Reynolds -tallene matcher.

Stream filamentteori

Strømlineteorien betragter strømme langs et (uendeligt lille) tyndt strømrør dannet af strømlinjer , hvor tilstandsvariablerne hastighed, tryk, tæthed og temperatur kan antages at være konstante over strømlinjens tværsnit. De grundlæggende ligningers integrale former kan anvendes på disse mængder for at udvikle yderligere løsninger på flowproblemer. Et stationært strømningsområde består af strømfilamenter, således at strømningens globale egenskaber kan beskrives med strømmenes filamenters egenskaber. En fremtrædende anvendelse er strømmen gennem rør og dyser . Hele de endimensionelle vandstrømme er opsummeret under det samlede navn hydraulik . ^[2] Fluidteknologi og fluidik bruger hydraulik og pneumatik til at overføre energi eller behandle signaler.

Potentielle strømme

Effektiviserer omkring en vingeprofil

I potentielle strømninger er hastighedsfeltet resultatet af afledningen af et hastighedspotentiale , hvorfor sådanne strømme er grundlæggende fri for friktion og rotation . Et laminært flow ved lave Reynolds -tal følger en potentiel strømning som en god tilnærmelse, hvis det væskedynamiske grænselag ved kanterne af strømmen ikke spiller en væsentlig rolle. Potentialeteorien bruges i layout og design af fly. Potentielle strømme er relativt lette at beregne og tillader analytiske løsninger på mange flowproblemer.

En anden idealisering, som tillader rotation, men kun betragter inkomprimerbare medier, tillader introduktion af en stream -funktion . Dette kan dog kun bruges i plan eller som en Stokes-strømfunktion i tredimensionelle, aksialt symmetriske tilfælde. Strømfunktionernes konturlinjer er strømlinjer.

I niveau, densitetsstabile og rotationsfrie strømme kan hastighedsfeltet udtrykkes med komplekse funktioner og dermed kan deres vidtrækkende egenskaber bruges. Ved hjælp af denne teori kunne de første liftgenererende vingeprofiler udvikles i begyndelsen af det 20. århundrede, se billede.

Gas dynamik

Emnet for gasdynamik er den hurtige strøm af variabel væske, der findes i fly og i dyser . Disse strømme er kendetegnet ved Mach -nummer M. Kompressibilitet bliver kun signifikant fra Mach -tal større end 0,2, så høje Reynolds -tal derefter er til stede, og viskositetsbetingelser og tyngdekræfter er ubetydelige. Strømmene er også hurtigere end varmetransporten, hvorfor det kan antages adiabatiske tilstandsændringer . Lovene er afledt med strømfilamentet og lighedsteorien. Et særligt fænomen, der kan forekomme her, er stødbølgen og kompressionschoket , hvis mest berømte repræsentant er lydbarrieren .

Væskedynamik

Stokes vinker med orbitale linjer (turkis) af nogle vandpartikler

Væskedynamik er den gren, der beskæftiger sig med bevægelige væsker. Analytiske løsninger kan kun opnås her ved at begrænse dem til en eller to dimensioner, til inkomprimerbarhed, enkle randbetingelser og til små Reynolds -tal, hvor accelerationsbetingelserne kan negligeres i forhold til viskositetsbetingelserne. Selvom sådanne løsninger er af ringe praktisk relevans, uddyber de ikke desto mindre forståelsen af flowprocesser.

Med små Reynolds-tal er væskens viskositet i stand til at dæmpe små udsving i strømningsvariablerne, så en laminær strømning, som også kan være tidsafhængig, derefter er stabil med hensyn til små forstyrrelser. Når Reynolds -tallet stiger, overvældes denne dæmpningsmekanisme, og den laminære strøm ændres til en uregelmæssig turbulent strømning . Turbulensforskning opnår indsigt i sådanne strømme gennem statistiske overvejelser.

Omvendt, med store Reynolds -tal, er viskositetsbetingelserne små sammenlignet med accelerationsbetingelserne, og grænsebetingelsernes indflydelse på strømmen er begrænset til områder tæt på væggen. Det grænselag teori grundlagt af Ludwig Prandtl beskæftiger sig med disse.

Aerodynamik undersøger kroppens adfærd i komprimerbare væsker (f.eks. Luft) og bestemmer kræfter og øjeblikke, der virker på kroppe i et flow. Aerodynamik omfatter forudsigelse af vindstyrker på bygninger, køretøjer og skibe.

Vidensfeltet om bølgebevægelserne i væsker omhandler tidsmæssige og rumlige bevægelser af en væske omkring en gennemsnitlig hvilestilling. Aeroakustik omhandler lovene for sådanne bølger - lydbølger - i luften. Hydromekanik adskiller blandt andet tyngdekraftsbølgerne , de højere Stokes -bølger, se billede, de små kapillarbølger og de aperiodiske solitoner . I væskedynamik undersøges årsagerne, egenskaberne og de grundlæggende ligninger for disse bølgebevægelser .

Flerfasestrømme med faste, flydende og / eller gasformige komponenter er de strømningsformer, der forekommer hyppigst inden for natur og teknologi og er derfor af særlig relevans. På den ene side kan blandingen allerede repræsenteres i kontinuummodellen, så blandingen er til stede i hvert flydende element, hvilket har fordele, når man overvejer store bevægelser. På den anden side kan strømmen af hver fase beskrives separat, og det samlede flow skyldes derefter interaktionen mellem faserne ved deres grænseflader. Små effekter er i forgrunden her.

Udvaskestrømme gennem porøse medier er af interesse for hydrogeologi og filterteknologi . Overfladespændingen , der ellers er af mindre betydning i strømme, er afgørende for bevægelsen her. Fordi den faste fases poreform er ukendt, bruges modeller, der fører til Richards -ligningen .

Lineær stabilitetsteori

Kelvin Helmholtz hvirvler i atmosfæren bag Monte Duval, Australien

Dette emne undersøger i hvilket omfang en væskes bevægelsestilstand er stabil med hensyn til små forstyrrelser. Strømmen betragtes ved et grænselag, som kan være med en væg ( hydrodynamisk grænselag ) eller med en væske med andre egenskaber. I tilfælde af ustabilitet kan udsving i dette grænselag føre til kvalitativt forskellige tilstande, som ofte har klare strukturer (se Kelvin-Helmholtz ustabilitet på billedet).

Flowmålingsteknologi

2D laserdoppleranemometer på en strømningskanal

Anvendelsesområder for flowmålingsteknologi er forskning og udvikling, hvor det er nødvendigt at undersøge eller optimere flowprocesser. Flowmålingsteknologi er imidlertid også en væsentlig komponent til processtyring i industrianlæg i den kemiske eller energiindustri. Pålidelig information om egenskaberne ved turbulente strømninger kan kun opnås ved hjælp af flowmålingsteknologi.

Af særlig interesse er de grundlæggende mængder hastighed, tryk og temperatur. Målinger kan foretages med målesonder placeret i flowet. Pitotrør måler det samlede tryk i væsken, hvorfra der indirekte kan drages konklusioner om hastigheden. Termisk anemometri er en anden indirekte hastighedsmålemetode Ulempen ved disse indirekte målemetoder er, at målesignalet ikke kun afhænger af hastigheden, men også af andre tilstandsvariabler, som derfor må kendes.

Metoder såsom partikelbillede -velocimetri og laserdoppleranemometri (se billede) tillader direkte og lokal hastighedsmåling uden sonder. Især inden for aeroakustik er det ikke gennemsnitsværdierne , der er interessante, men derimod trykets udsvingværdier, især spektraleffektdensiteten , som opnås ved yderligere signalbehandling .

Numerisk væskemekanik

Visualisering af en CFD-simulering af Boeing X-43 på Mach 7

Computerens ydeevne gør det muligt at løse de grundlæggende ligninger i realistiske grænseværdiproblemer, og de realistiske resultater, der er opnået, har gjort numerisk væskemekanik til et vigtigt værktøj inden for væskemekanik. De numeriske metoder har etableret sig i det aerodynamiske design og optimering, fordi de giver et detaljeret indblik i flowprocesserne, se billede og undersøgelse af modelvarianter.

Metoderne kendt fra anvendt matematik til løsning af almindelige differentialligninger giver strømningsområdet et "numerisk gitter" under forberedelse. Potentielle strømme kræver mindst mulig indsats, og Euler -ligningerne tillader også relativt grove net. Grænselagene og turbulensen, som er vigtige ved brug af Navier-Stokes-ligningerne, kræver en høj rumlig opløsning af nettet. I tre dimensioner øges antallet af frihedsgrader med dimensionens tredje magt, så selv i det 21. århundrede er indsatsen for direkte numerisk simulering i applikationer i køretøjsudvikling ikke forsvarlig. Derfor bruges turbulensmodeller, der gør det muligt at reducere den nødvendige opløsning. Ikke desto mindre skal systemer med titusinder af millioner af ligninger til flere tusinde iteration eller tidstrin løses, hvilket kræver et computernetværk og effektiv programmering .

Tværfaglige arbejdsområder

Reologi

Reologi eller flowvidenskab er en tværfaglig videnskab, der beskæftiger sig med materiens deformation og flowadfærd og derfor også påvirker væskemekanikken. Fænomenologisk reologi beskæftiger sig med formulering af materialemodeller, strukturel reologi søger at forklare den makroskopiske materialeadfærd fra stoffernes mikroskopiske struktur, og reometri giver målemetoder til bestemmelse af de reologiske egenskaber, f.eks. B. viskositeten , klar.

Flydende energimaskiner

En disciplin, der arbejder sammen med maskinteknik, søger at udlede makroskopiske værdier af strømningerne med integrerede former for de grundlæggende ligninger, såsom volumenstrømme, kræfter, arbejde og ydeevne. Disse mængder er af særlig interesse i ingeniørproblemer i maskiner med flydende kraft. Et af de første resultater på dette område blev formuleret af Leonhard Euler i Euler -mølle -ligningen opkaldt efter ham.

Mikrofluidik

En kemisk mikroreaktor

Mikrofluidik er delområdet inden for mikrosystemteknologi, der undersøger strømmen omkring objekter eller strømmer gennem kanaler med dimensioner mindre end en millimeter, se billede. Kontinuum mekanisk behandling af flow- og transportprocesser i denne længdeskala er ikke let mulig i mange tilfælde. Korrektioner til ligningerne eller endda molekylære dynamiksimuleringer er nødvendige for korrekt gengivelse af flowprocesserne. En fremtrædende applikation er printhovedet på en inkjetprinter . Men også opførelsen af et komplet analyselaboratorium på en chip ( engelsk lab-on-a-chip til "laboratorium på en chip" eller mikro-total-analysesystem til "mikro-komplet analysesystem") kræver viden om flowet og transportprocesser på mikroskala. ^[3]

Biovæske mekanik

Bio-flow mekanik beskæftiger sig med strømmen inden i og omkring levende kroppe, hvis karakteristiske træk blandt andet er, at de er omgivet af fleksible og strukturerede overflader. Lokomotionen af protozoer, haletudser og fisk op til hvaler i vandet undersøges. Når man bevæger sig gennem luften, udforskes især fuglens flyvning. Transport af varme og stoffer i levende væsener under vejrtrækning, i blod- og lymfesystemet og vandsystemet er også af interesse for medicin. ^[4]

Magnetohydrodynamik

Magnetohydrodynamik (MHD) tager højde for de elektriske og magnetiske egenskaber af væsker, gasser og plasmaer og undersøger også bevægelsen under virkningen af felterne genereret af selve mediet og bevægelsen i eksterne felter. Bevægelsesligningerne er Euler -ligningerne udvidet af elektrodynamiske kræfter, hvis løsning kan være meget kompliceret. Dog kan yderligere antagelser forenkle ligningerne for at gøre dem lettere at løse. Antagelsen om, at plasmaets elektriske ledningsevne er uendeligt høj, derfor har det ingen elektrisk modstand, fører til den "ideelle MHD" i modsætning til "resistive MHD" med endelig ledningsevne. Typiske anvendelsesområder for magnetohydrodynamik er flowkontrol og flowmåling i metallurgi og halvleder enkelt krystalvækst samt beskrivelse af plasmaer i stjernestemning og fusionsreaktorer . ^[5]

Kontinuum mekaniske fundamentale

Fra statistisk mekaniks synspunkt kan strømninger ses som partikelstrømme eller som kontinuumstrømme . Sidstnævnte tilgang kommer fra kontinuummekanik , ^[6] , hvor væskernes molekylære struktur ses bort fra, og de tilnærmes som et kontinuum, hvor de fysiske egenskaber kontinuerligt udsmøres over rummet. Denne fænomenologiske tilgang gør det muligt at formulere realistiske forudsigelser effektivt. De kinematiske, fysiske og konstituerende kontinuum mekaniske ligninger, der er relevante for væskemekanik, er opsummeret nedenfor.

kinematik

Væskemekanik bruger Eulers tilgang , der undersøger de fysiske størrelser, der er til stede på et fast sted i rummet. Fordi fysikkens love refererer til materielle punkter (her: flydende elementer) og ikke til punkter i rummet, skal det væsentlige derivat bruges til tidsderivatet . Dette består af en lokal og en konvektiv del:

{\dot {f}}:={\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+\operatorname {grad} (f)\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )f\,.

{\ displaystyle {\ dot {f}}: = {\ frac {\ mathrm {D} f} {\ mathrm {D} t}}: = {\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} + \ operatorname {grad} (f) \ cdot {\ vec {v}} = {\ frac {\ partiel f} {\ delvis t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f \,.}

{\ displaystyle {\ dot {f}}: = {\ frac {\ mathrm {D} f} {\ mathrm {D} t}}: = {\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} + \ operatorname {grad} (f) \ cdot {\ vec {v}} = {\ frac {\ partiel f} {\ delvis t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f \,.}

Feltet f, der transporteres af væsken, kan værdiansættes på skalar eller vektor og afhænger ligesom hastigheden af placeringen og tiden. Det partielle derivat ${\tfrac {\partial f}{\partial t}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delvis f} {\ delvis t}}}$ $\ tfrac {\ delvis f} {\ delvis t}$ er det lokale derivat , dvs. ændringshastigheden observeret på et fast sted i rummet, og det andet udtryk med gradientgrad eller Nabla -operatoren $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ er den konvektive del . I tilfælde af en vektormængde ${\vec {f}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}}}$ ${\ vec {f}}$ er notationen med vektorgradienten i væskemekanik $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {f}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {f}}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {f}}}$ foretrukket.

I væskemekanik er hastigheden ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ den primære ukendte og dens gradient, hastighedsgradienten

\mathbf {l} :=\operatorname {grad} {\vec {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {l}: = \ operatorname {grad} {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis x}} & {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis y}} og {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis z}} \\ {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis x} } & {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis y}} & {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis z}} \\ {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis x}} & {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis y}} & {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis z}} \ slut {pmatrix}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {l}: = \ operatorname {grad} {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis x}} & {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis y}} og {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis z}} \\ {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis x} } & {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis y}} & {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis z}} \\ {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis x}} & {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis y}} & {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis z}} \ slut {pmatrix}}}}

er en vigtig parameter ved beskrivelse af flowprocesser. Hastighedskomponenterne $v_{x,y,z}$ ${\ displaystyle v_ {x, y, z}}$ $v_ {x, y, z}$ vedrører et kartesisk koordinatsystem med x-, y- og z -koordinater. For et flydende element med (uendeligt) lille volumen dv, resulterer ændringen i volumen

{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\mathrm {d} v)=\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )\,\mathrm {d} v\,.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} (\ mathrm {d} v) = \ operatorname {Sp} (\ mathbf {l}) \, \ mathrm {d} v \,.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} (\ mathrm {d} v) = \ operatorname {Sp} (\ mathbf {l}) \, \ mathrm {d} v \,.}

Spor Sp af hastighedsgradienten er således et mål for hastigheden af ændring i volumen, som er forbundet med en ændring i tæthed på grund af massebalancen nedenfor. Sporet er lig med hastighedsfeltets divergensdiv : $\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )=\operatorname {div} ({\vec {v}})\,.$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (\ mathbf {l}) = \ operatorname {div} ({\ vec {v}}) \,.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (\ mathbf {l}) = \ operatorname {div} ({\ vec {v}}) \,.}$ Hastighedsgradienten kan opdeles yderligere i en symmetrisk del d og en skæv-symmetrisk del w :

\mathbf {l} =\mathbf {d+w} \quad {\text{mit}}\quad \mathbf {d} :={\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })\quad {\text{und}}\quad \mathbf {w} :={\frac {1}{2}}(\mathbf {l-l} ^{\top })\,.

{\ displaystyle \ mathbf {l} = \ mathbf {d + w} \ quad {\ text {with}} \ quad \ mathbf {d}: = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {l + l} ^ {\ top}) \ quad {\ text {og}} \ quad \ mathbf {w}: = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {ll} ^ {\ top}) \, .}

\ mathbf {l} = \ mathbf {d + w} \ quad \ text {med} \ quad \ mathbf {d}: = \ frac {1} {2} (\ mathbf {l + l} ^ \ top) \ quad \ text {og} \ quad \ mathbf {w}: = \ frac {1} {2} (\ mathbf {ll} ^ \ top) \,.

Overskriften $\top$ ${\ displaystyle \ top}$ $\Top$ betegner transponering . Den symmetriske del d er distorsionshastighedens tensor, hvormed med

{\dot {\varepsilon }}_{1}:={\hat {e}}_{1}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}_{1}\quad {\text{und}}\quad {\dot {\gamma }}_{12}:=2{\hat {e}}_{1}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}_{2}

{\ displaystyle {\ dot {\ varepsilon}} _ {1}: = {\ hat {e}} _ {1} \ cdot \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {e}} _ {1} \ quad {\ text {og}} \ quad {\ dot {\ gamma}} _ {12}: = 2 {\ hat {e}} _ {1} \ cdot \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {e} } _ {2}}

\ dot {\ varepsilon} _ {1}: = \ hat {e} _1 \ cdot \ mathbf {d} \ cdot \ hat {e} _1 \ quad \ text {og} \ quad \ dot {\ gamma} _ { 12}: = 2 \ hat {e} _1 \ cdot \ mathbf {d} \ cdot \ hat {e} _2

strækningshastigheden ${\dot {\varepsilon }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ varepsilon}} _ {1}}$ $\ dot {\ varepsilon} _ {1}$ i ${\hat {e}}_{1}$ ${\hat {e}}_{1}$ $\hat{e}_1$ -Richtung und die Schergeschwindigkeit ${\dot {\gamma }}_{12}$ ${\dot {\gamma }}_{12}$ $\dot{\gamma}_{12}$ in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) ${\hat {e}}_{1,2}$ ${\hat {e}}_{1,2}$ ${\hat {e}}_{{1,2}}$ aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil w ist der Wirbeltensor , dem über

\mathbf {w} \cdot {\vec {u}}=:{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}\quad \forall {\vec {u}}

\mathbf {w} \cdot {\vec {u}}=:{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}\quad \forall {\vec {u}}

\mathbf{w}\cdot\vec u =: \vec\Omega\times\vec u \quad\forall\vec u

ein Vektor ${\vec {\Omega }}$ ${\vec {\Omega }}$ $\vec\Omega$ zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors Winkelgeschwindigkeit genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich

{\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}\,.

{\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}\,.

\vec\Omega=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v\,.

Die Rotation rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als Wirbelstärke oder Wirbelvektor bezeichnet:

{\vec {\omega }}:=\operatorname {rot} {\vec {v}}=2{\vec {\Omega }}\,.

{\vec {\omega }}:=\operatorname {rot} {\vec {v}}=2{\vec {\Omega }}\,.

\vec\omega:=\operatorname{rot}\vec v=2\vec\Omega\,.

Gelegentlich wird auch ${\vec {\omega }}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}$ ${\vec {\omega }}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}$ $\vec\omega=\tfrac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v$ definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.

Naturgesetze

Die Kontinuumsmechanik formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:

Massenbilanz: ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}+\rho \,\operatorname {div} ({\vec {v}})={\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}+\rho \,\operatorname {div} ({\vec {v}})={\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ $\frac{\partial}{\partial t}\rho +\operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot \vec{v} + \rho\,\operatorname{div}(\vec{v}) = \dot{\rho} + \rho \operatorname{div}(\vec{v}) =0$
Impulsbilanz: $\rho {\dot {\vec {v}}}=\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\right]=\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right]=\rho \,{\vec {k}}+\operatorname {div} ({\boldsymbol {\sigma }})\,,$ $\rho {\dot {\vec {v}}}=\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\right]=\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right]=\rho \,{\vec {k}}+\operatorname {div} ({\boldsymbol {\sigma }})\,,$ $\rho\dot{\vec v} =\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right] =\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right] =\rho\,\vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma}) \,,$ und
Energiebilanz: ${\dot {u}}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d} -{\frac {1}{\rho }}\operatorname {div} \;{\vec {q}}+r\,.$ ${\dot {u}}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d} -{\frac {1}{\rho }}\operatorname {div} \;{\vec {q}}+r\,.$ $\dot{u}=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} -\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\;\vec{q}+r\,.$

Darin sind ρ die Dichte , ${\vec {k}}$ ${\vec {k}}$ ${\vec {k}}$ eine Schwerebeschleunigung, ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ der Cauchy'sche Spannungstensor , u die innere Energie , ${\vec {q}}$ ${\vec {q}}$ ${\vec {q}}$ der Wärmestrom, $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ innere Wärmequellen z. B. aus Phasenübergängen, „ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ “ das Frobenius-Skalarprodukt von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors $({\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}^{\top })\,.$ $({\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}^{\top })\,.$ $(\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}^\top)\,.$

Materialmodelle

Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein Materialmodell des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder newtonsche Fluid

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} +2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {I}

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} +2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {I}

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} +2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {I}

ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten Lamé-Konstanten und I der Einheitstensor . Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die Navier-Stokes-Gleichungen . Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe Euklidische Transformation ), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einem Wechsel des Bezugssystems .

Im wichtigen Sonderfall der Inkompressibilität , die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {d}

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {d}

\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}

und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung, sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} \,.

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} \,.

{\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho )\mathbf {I} \,.

Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik . Wenn hier die Dichte eine eineindeutige Funktion des Drucks ist, dann ist das Fluid Cauchy-elastisch und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.

Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem Plasma , nicht-newtonsche Fluide oder duktile Materialien bei großen Verformungen, wo die elastische Deformation gegenüber der plastischen vernachlässigt werden kann.

Literatur

H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene . 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 .
F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik . Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0 .
G. Bollrich: Technische Hydromechanik 1. Grundlagen . Verlag Bauwesen, 2007, ISBN 3-345-00912-9 .
A. Dillmann, K. Wieghardt: Theoretische Strömungslehre . Universitätsverlag Göttingen, 2005, ISBN 3-938616-33-4 .
GK Batchelor : An Introduction to Fluid Dynamics . Cambridge University Press, 1967, ISBN 0-521-04118-X .
PK Kundu: Fluid Mechanics . Academic Press, 2015, ISBN 978-0-12-405935-1 .
Wolfgang Schröder : Fluidmechanik . Wissenschaftsverlag Mainz in Aachen, Aachen 2004, ISBN 3-86130-371-X .
Jann Strybny: Ohne Panik Strömungsmechanik . 2. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 3-528-13194-2 .

Weblinks

Commons : Strömungsmechanik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Strömung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mechanik flüssiger und gasförmiger Körper – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

↑ F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik . Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0 , S. 10–16 .
↑ H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene . 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 , S. 58 .
↑ Nam-Trung Nguyen: Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung . Vieweg+Teubner Verlag, 2004, ISBN 978-3-519-00466-0 .
↑ H. Oertel: Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene . 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-1765-5 .
↑ Peter A. Davidson: An introduction to magnetohydrodynamics . Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 978-0-521-79487-9 .
↑ Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials . Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X .

[1] F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik . Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0 , S. 10–16 .

[2] H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene . 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 , S. 58 .

[3] Nam-Trung Nguyen: Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung . Vieweg+Teubner Verlag, 2004, ISBN 978-3-519-00466-0 .

[4] H. Oertel: Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene . 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-1765-5 .

[5] Peter A. Davidson: An introduction to magnetohydrodynamics . Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 978-0-521-79487-9 .

[6] Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials . Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]