subtraktion

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Subtraktion 5 - 2 = 3 ved hjælp af eksemplet med fersken.

Subtraktion (fra latinsk subtraher, "at trække væk", "at fjerne"), også kendt i daglig tale som minus aritmetik , er en af ​​de fire grundlæggende aritmetiske operationer . Under subtraktion betyder fjernelse af et tal med et andet. Matematisk er subtraktionen en tocifret kombination . Subtraktionen er omvendt af tilføjelsen . Det aritmetiske symbol for subtraktionen er minustegnet "-".

Sprogforskrifter, grundlæggende egenskaber og notation

Følgende symboler og talemåder bruges til elementerne i en subtraktion:

  • Det aritmetiske symbol for subtraktionen er minustegnet "-". Det blev introduceret af Johannes Widmann i 1489.
  • Antallet, som noget trækkes fra, kaldes minuend (latin for "den, der skal reduceres").
  • Det tal, der trækkes fra, kaldes subtrahend (latin for "subtracter").
  • Det aritmetiske udtryk ( udtryk ), der inkluderer minuend, minustegn og subtrahend kaldes forskellen .
  • Resultatet af en subtraktion er værdien af ​​forskellen (også differensværdi eller bare forskel ).
  • Symbolet for forskelle som udtryk er det græske store bogstav delta "Δ", som også bruges som en operator til forskelsdannelse (se nedenfor). Ofte er forskellen - især i daglig brug - kun resultatet af denne "minusberegning" og oftere mængden af dette resultat. Eksempel: Forskellen mellem 7 og 9 og forskellen mellem 5 og 3 er 2 . I eksemplet understreges dette af verbet "beløb".

Mnemonic: minuend minus subtrahend lige værdi af forskellen ( Mnemonic : M inuend kommer i alfabetet før ubtrahend S)

Eksempler (under hensyntagen til skiltet!):

  • 4 minus 1 er (lig med) 3 eller skrevet forskelligt: .

4 er minuend, 1 er subtrahend, det aritmetiske udtryk (udtryk) er forskellen og resultatet 3 danner forskellen eller differensværdien.

Sættet med naturlige tal er ikke komplet med hensyn til subtraktion, det vil sige, med subtraktion opnår man muligvis et resultat, der overstiger rækkevidden af naturlige tal .

  • Eksempel:

Der er forkortede betegnelser for , for eksempel eller , især med udtryk som eller. Gælder.

Hvis der sker flere subtraktioner efter hinanden, behandles udtrykket fra venstre mod højre; subtraktionen er derfor venstreassociativ : [1] [2] [3] [4] [5]

  • .

Matematisk definition

Subtraktionen er omvendt af tilføjelsen . Grupper kan gives til alle og præcis en finde sådan at:

Bestemmelsen af kaldes subtraktion . kan bestemmes af fra fratrukket ("fradrag"):

er minuendens navn, subtrahenden . Resultatet af en subtraktion, her , kaldes differencens værdi . En subtraktion noteres med minustegnet:

Subtraktionen kan også bruges som en tilføjelse af det modsatte tal af subtrahend til minuend At blive defineret:

Grundlæggende procedure

Grafisk metode

Grafisk metode med vektorer

I den grafiske metode er de numeriske værdier repræsenteret som søjler, linjer, punkter eller andre abstrakte objekter. En anden mulighed er repræsentationen med vektorer , hvorved subtrahendvektorens retning vendes, og vektorerne derefter adderes.

eksempel
(13)
- (9)
= (4)

Subtraktion-subtraktionsmetode

Med subtraktions-subtraktionsmetoden fratrækkes en del af subtrahend fra subtrahend og minuend, indtil subtrahend er 0. En tiere vælges normalt som et mellemtrin.

eksempel

Subtraktion-additionsmetode

Med metoden til subtraktion-addition deles subtrahend og minuend ned i underkomponenter, trækkes fra disse, og derefter tilføjes sub-mængderne igen.

eksempel

Komplement metode

Med komplementmetoden beregnes det tilsvarende komplement ud fra subtrahend. Derefter tilføjes minuend og supplement til subtrahend. Metoden er især inden for teknisk datalogi , som inden for det mekaniske område Tarrant- Comptometer , den mekaniske Hoffritz-adder og elektroniske addere i moderne edb-systemer kan anvendes. [6]

eksempel

Startformel:

Dette matcher med:

Beregning af komplementet:

Beregning af komplementet
kirurgi Resultatværdi
Tiårene supplerer To komplement
Baseline
Inversion
med

Tilføjelse:

Skriftlig subtraktion

Ud over skriftlig tilføjelse er skriftlig subtraktion en af ​​de grundlæggende kulturelle teknikker , der læres i de første år af folkeskolen. At mestre den skriftlige subtraktion er en forudsætning for at lære den skriftlige division .

Lodret subtraktion med overførsel

I folkeskoler i dag undervises der for det meste i procedurer, hvor de tilsvarende positioner for minuend og subrahend ligger oven på hinanden . Positionerne behandles efter hinanden, mest fra højre til venstre.

For den skriftlige subtraktion skal minuend (nummer ovenfor) være større end eller lig med subtrahend (tal (er) nedenfor). Negative resultater er derfor ikke direkte mulige.

Hvis minuend er mindre end subtrahend, kan tegnene byttes til beregningen. Subrahend bliver til minuend (skrevet ovenfor) og minuend bliver til subtrahend (skrevet nedenfor). Proceduren beskrevet nedenfor kan derefter bruges til beregning. Resultatet skal gives et minus i slutningen, fordi det altid er negativt (ikke et naturligt tal). Dette vender ændringen i tegn, der tidligere blev udført til beregningen.

Hvis cifret i subtrahend er større end de samme steder, håndteres overførsler af minuend -behov. Det vil sige, at minuend øges med 10 for at muliggøre subtraktion; For at kompensere for dette skal enten minuend reduceres i kolonnen til venstre (adskillelsesproces; forberegning af overførsler) eller subrahend skal øges (supplerende proces; subtraktion fra højre til venstre). I det tysktalende område er sidstnævnte fremgangsmåde blevet etableret med den supplerende procedure. I 2000 trådte en ny læreplan i kraft i nogle forbundsstater , som nu foreskriver adskillelse som standarden i stedet for at supplere den.

Supplerende procedure

Med den supplerende metode , som også kaldes påfyldningsteknikken eller (i USA) den østrigske metode ("østrigsk metode"), udføres der ingen subtraktion, men subtrahenden øges op til minutens slutning. Hvis dette ikke er muligt, øges minuend med 10. De 10 er ikke "lånt", men tilføjet som 1 til subtraktionen af ​​den næste delberegning. I tysktalende lande undervises denne procedure som en standardmetode i folkeskoler. En af fordelene ved metoden er, at den forbereder håndteringen af ​​opgaver, hvor flere subtrahends skal fratrækkes en minuend.

eksempel
beskrivelse
1 +… = 3
Resultatet er skrevet under linjen.
9 +… = 5
Den målrettede sum (5) er for lille!
Det øges derfor med 10. Den 1 er skrevet under den næste subtrahend.
9 +… = 15
Beregningen kan nu udføres, resultatet er skrevet under linjen.
(4 + 1) +… = 7
Resultatet er skrevet under linjen.
Det samlede resultat.

Træk fra venstre mod højre

Subtraktionen kan også udføres fra venstre mod højre. I denne usædvanlige procedure, som er en variant af den supplerende procedure, behandles overførslerne, før forskellen præcist beregnes. Da overførsler hverken skal noteres eller huskes, er metoden ikke kun forholdsvis modstandsdygtig over for uforsigtige fejl, men også meget hurtig og endda velegnet til hovedregning.

eksempel

Hvis der er en kolonne eller en sekvens af flere kolonner, hvor to identiske cifre findes, og til højre for den en kolonne med en minuend, der er mindre end subtrahenden, gør rutinemæssigt "blikket", der bruges i denne proces, ikke skal kun have de samme to cifre, men også indeholde følgende kolonner. Hver kolonne med de samme cifre modtager derefter et ni i stedet for et nul som følge heraf.

Kigget fremad på tværs af flere kolonner i de ovenfor beskrevne tilfælde er et svagt punkt ved denne metode.

Adskillelsesprocedure

Tilbagetrækning med "adskillelse" betyder, at den for lille Minuend laver et "lån" med sin venstre nabo. Minuend øges med 10, og venstre nabo reduceres med 1. Processen bruges f.eks. I folkeskoler. B. undervist i USA som standardpraksis. Den rene beregningsindsats ligner den i den supplerende procedure; men hvis et nul skal "lånes", skal det "låne" fra sin egen venstre nabo - en teknik, der skal læres derudover (det er ikke nødvendigt i den supplerende procedure). Der skal også skrives mere ved adskillelse.

eksempel
beskrivelse
3 - 1 = ...
Resultatet er skrevet under linjen.
5-9 = ...
Minuen (5) er for lille!
Det øges derfor med 10. Denne 10 er "lånt" fra nummeret (7) til venstre; dette reduceres med 1.
15 - 9 = ...
Subtraktionen kan nu udføres. Resultatet er skrevet under linjen.
6 - 4 = ...
Resultatet er skrevet under linjen.
Det samlede resultat.

Pre-adskillelse

En variant af adskillelsesprocessen er, at alle punkter er fuldstændig adskilte i et første arbejdstrin, så der er tilstrækkeligt store minuender tilgængelige til det andet arbejdstrin, hvor der kun foretages subtraktion. [7]

eksempel
beskrivelse
3 - 1 = muligt.
Ingen grund til at "låne" nummeret til venstre.
5 - 9 = ikke muligt.
5 øges med 10. Da de 10 er "lånt" fra de 7 ved siden af ​​den til venstre, skal den reduceres med 1.
Behandling af stillingerne:
3 - 1 = 2
15 - 9 = 6
6 - 4 = 2

Lodret subtraktion uden overførsel

Delvise forskelle

Metoden Partial Differences adskiller sig fra andre vertikale subtraktionsmetoder ved, at den ikke bruger overførsler. De erstattes af delvise forskelle, som - afhængigt af om minuend eller subtrahend er større i en kolonne - får et plus- eller et minustegn. Summen af ​​de delvise forskelle resulterer i den samlede forskel. [8.]

eksempel
beskrivelse
Det mindre tal trækkes fra det større:
700 - 400 = 300
Fordi minuend er større end subtrahend, får forskellen et plustegn.
Det mindre tal trækkes fra det større:
90 - 50 = 40
Fordi subtrahend er større end minuend, får forskellen et minustegn.
Det mindre tal trækkes fra det større:
3 - 1 = 2
Fordi minuend er større end subtrahend, får forskellen et plustegn.
+ 300 - 40 + 2 = 262

Ikke-vertikale procedurer

Overdrivelse af forskellen

Beregningen af ​​en forskel skal ikke foretages ciffer for ciffer. For det meste besværligt, men det er også muligt at gå gennem talområdet mellem en subtrahend og en minuend. [9]

eksempel

1234 - 567 = kan beregnes ved hjælp af følgende trin:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

For at bestemme forskellen tilføjes værdierne for de enkelte trin: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Nedbrydning af subtrahenden

En anden tilgang, der er lige så velegnet til skriftlig subtraktion og hovedregning, er at nedbryde subtrahenden, som trækkes fra minuend i individuelle trin. [10]

eksempel

"1234 - 567 =" kan beregnes ved hjælp af følgende trin:

  • 1234 - 500 = 734
  • 734-60 = 674
  • 674 - 7 = 667

Samme ændring

Samme ændringssubtraktion er baseret på observationen af, at en subtraktion er let at udføre, hvis der er en eller flere nuller for enden af ​​subtrahenden. Med denne metode øges eller formindskes subtrahenden derfor til de nærmeste ti; da minuend øges eller formindskes med den samme forskel, har manipulationen ingen indflydelse på forskellen. Hvis opgaven stadig er for vanskelig efter det, kan operationen gentages. [11]

eksempel

"1234 - 567 =" kan beregnes ved hjælp af følgende trin:

  • 1234-567 = 1237-570 = 1267-600 = 667

Weblinks

Commons : Subtraktion - samling af billeder, videoer og lydfiler
Wiktionary: Subtraktion - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. ^ Rochester Institute of Technology : Operationens orden
  2. ^ Uddannelsessted: Operationens orden
  3. Khan Academy : Operationsordenen ( Video, fra 05:40 )
  4. ^ Virginia Department of Education : Using Operation of Operation and Exploring Properties , afsnit 9
  5. Chemnitz University of Technology : Prioritetsregler og associativitet
  6. ^ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms . 3. Udgave. Addison-Wesley, New York 1997, ISBN 978-0-201-89684-8 .
  7. ^ De mange måder at regne i UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Trade First
  8. Subtraktion af delvise forskelle ( erindring om originalen fra 23. juni 2014 i internetarkivet ) Info: Arkivlinket blev indsat automatisk og er endnu ikke kontrolleret. Kontroller det originale og arkivlink i henhold til instruktionerne, og fjern derefter denne meddelelse. @ 1 @ 2 Skabelon: Webachiv / IABot / ouronlineschools.org ; De mange måder at regne i UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Partial Differences
  9. De mange måder at Aritmetik i UCSMP Everyday Matematik Subtraktion: tælle op
  10. ^ De mange måder aritmetik i UCSMP Everyday Mathematics Subtraktion: Venstre til højre subtraktion
  11. ^ De mange måder aritmetik i UCSMP Everyday Mathematics Subtraktion: Samme ændringsregel