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syllogisme

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De syllogismer (fra oldgræsk συλλογισμός syllogismós "[den] tilføje op", "logisk konklusion") er et katalog af visse typer logiske konklusioner. De udgør kernen i den gamle logik i Aristoteles , der opstod i det fjerde århundrede f.Kr., og den traditionelle logik frem til det 19. århundrede. Som logikkens hovedteknik blev den syllogistiske tilgang kun erstattet af integration af logik i matematik i kølvandet på George Boole og Gottlob Freges arbejde i det 19. og begyndelsen af ​​det 20. århundrede.

Eksempel på en gyldig syllogisme

Undervisningen i syllogismer kaldes generelt syllogistik. Klassisk logik undersøgte især betingelserne, hvorunder syllogismer er gyldige . Syllogismer er altid bygget efter det samme mønster. To præmisser (forudsætninger), kaldet major og minor , fører til en konklusion ( konklusion ). Forudsætningerne og konklusionen er udsagn af en bestemt type, hvor et udtryk, det syllogistiske emne, tildeles eller nægtes på en bestemt måde, et andet udtryk, det syllogistiske prædikat (ikke synonymt med emne og prædikat i grammatik ). Afhængigt af det sted, hvor de vises i syllogismen, kaldes de udtryk, der forekommer, generisk udtryk, mellemterm og underordnet udtryk.

historie

Det latinske udtryk syllogisme går tilbage til det græske syllogismos (συλλογισμός). Med syllogismos beskriver Aristoteles et deduktivt argument , som han er den første til at definere som følger:

"Et fradrag ( syllogismos ) er derfor et argument, hvor noget andet end det, der stilles, nødvendigvis stammer fra det stillede, hvis noget er blevet stillet."

- Aristoteles : Emne I 1, 100a25-27 [1]

I denne bredere forstand, dvs. som et synonym for ordet "argument", blev ordet "syllogisme" brugt i dagligsproget langt ind i det 20. århundrede. [2] I moderne sprogbrug er denne brede anvendelse ikke længere almindelig og kan kun findes i udtryk som hypotetisk syllogisme (et samlebetegnelse for visse propositionelle konklusioner, der betragtes i traditionen).

Forvirrende nok beskriver syllogisme nu kun en særlig form for det deduktive argument ( syllogismos ), nemlig fradraget behandlet i Aristoteles First Analytic , som består af præcis to præmisser, en konklusion og tre termer. Da definitionen af ​​fradrag ikke har denne begrænsning, er hver syllogisme os en syllogisme os , men ikke hver syllogisme os er en syllogisme os .

Ifølge midtertermens position - det vil sige udtrykket, der kun forekommer i lokalerne - skelner Aristoteles mellem tre typer af slutninger, kaldet figurer (se afsnit Figurer ). Indførelsen af ​​en fjerde figur, hvis konklusioner Aristoteles allerede anerkender som gyldig, [3] tilskrives Avicenna og andre Galen , selvom der ikke er nogen direkte henvisning til denne tilskrivning i Galens traditionelle værk [4] og faktisk gør Galen det faktisk udtrykke det nægter. [5] Indtil introduktionen af ​​den fjerde figur er deres syllogismer ofte tildelt den første figur i traditionen Theophrastus fra Eresus .

I den latinske middelalder, der oprindeligt tog Aristoteles 'logiske værker fra oversættelser og kommentarer af Boëthius , kom de traditionelle latinske udtryk for mængden og kvaliteten af ​​domme (se afsnittet Udtalelser ) i brug af Petrus Hispanus . [6] I skolastikken fik syllogistikken den form, der blev videregivet i århundreder i lærebøger, selv om det autentiske indhold i den aristoteliske syllogistik var gået tabt siden antikken, og den blev udsat for stadig hårdere kritik siden renæssancen (f.eks. Kritik af René Descartes ). Det var kun Jan Łukasiewicz, der genopdagede Aristoteles logik i et banebrydende værk [7] og aksiomatisk rekonstruerede det fra moderne logiks synspunkt; På grund af det store antal aksiomer, der blandt andet anvendes, er det imidlertid i tvivl om, at denne rekonstruktion viste sig at være tilstrækkeligt passende til emnet. [8] Łukasiewicz efterfølges af nyere forskning, som fandt sit tyske standardarbejde i Günther Patzigs præsentation [9] (1959).

Siden da er der skelnet mellem den aristoteliske og traditionelle syllogistik. Den mest markante ydre forskel er, at Aristoteles ikke nedskriver syllogismer som en sekvens af tre sætninger, men som en sætning med formen "Hvis (forudsætning 1) og (forudsætning 2), så nødvendig (konklusion)"; der er uenighed om, hvorvidt denne formulering kan forklares som et metalsprogligt udsagn om en syllogisme i den traditionelle forståelse [10], eller om det syn på Łukasiewicz skal følges, om at Aristoteles betragter en syllogisme som en sammensat erklæring. De to aflæsninger kan let overføres til hinanden; Den foreliggende artikel giver konkrete syllogismer i betydningen af ​​den første behandling konsekvent som en række på tre sætninger. Bortset fra dette kontroversielle punkt er der adskillige forskelle i den logisk-semantiske opfattelse mellem den aristoteliske og traditionelle syllogistik, så man i dag ofte mener, at Aristoteles grundlæggende er meget tættere på moderne logik end på traditionel syllogistik. Opfattelsen af ​​aristotelisk syllogistik, udarbejdet af blandt andre Patzig, som en teori om visse tocifrede forhold mellem begreber og det relative produkt af sådanne relationer går tilbage til Augustus De Morgan . [11] En syllogisme er derefter et relationsprodukt, som i sig selv er et forhold i den særlige form, der udtrykkes i de fire sætningstyper A, E, I eller O (for A, E, I, O se typer udsagn ).

Aristoteles og den traditionelle syllogistiks ligning, der ikke kan skelnes mellem, i den ældre historiografi af logik ( Carl Prantl , Heinrich Maier ) har derimod frembragt talrige fejl - f.eks. Om de påståede metafysiske forudsætninger for Aristoteles 'logik - hvorfra Aristoteles -fortolkningen kun var i stand til at frigøre sig selv med besvær.

Generel repræsentation

Syllogistiske argumenter følger altid det samme mønster. Hver to præmisser (betingelser), kaldet major premise (latin propositio major) og piedestal (latin propositio minor), fører til en konklusion ( konklusion , latinsk conclusio). I den kategoriske syllogisme (også kaldet assertorisk syllogisme ) præsenteret her er præmisser og konklusioner kategoriske domme , dvs. udsagn, hvor et begreb (græsk ὅρος - horos , latinsk endestation ), emnet, et andet begreb, prædikatet, er tildelt i en bestemt måde. eller diskuteres. I den kategoriske dom "Alle mennesker er dødelige" tildeles emnet "menneske" f.eks. Prædikatet "dødeligt". Det skal bemærkes - og kan ses i dette eksempel - at ordene "emne" og "prædikat" bruges anderledes inden for syllogistik end i traditionel grammatik , hvor det grammatiske emne er udtrykket "alle mennesker" og det grammatiske prædikat - hver efter perspektiv - ville ordet "er" [12] eller udtrykket "er dødeligt" [13] være.

I alt tre forskellige udtryk bruges inden for en syllogisme:

  1. det generiske udtryk (latin terminus major ), som forekommer i hovedklausulen og på højre side af konklusionen, dvs. som dens prædikat (P);
  2. underudtrykket (Latin terminus minor ), der forekommer i underklausulen og på venstre side af konklusionen, dvs. som emne (S); og
  3. den midterste betegnelse (M) (Latin terminus medius ), som forekommer i større og mindre klausul, men ikke i konklusionen.

I Johannes Philoponus ' rækkefølge har udtrykkene "overordnet udtryk" og "underordnet udtryk" stort set ikke haft nogen indholdsmæssig betydning siden 1600 -tallet, og de forklares udelukkende fra deres optræden i dur eller minor og som prædikat eller konklusionens emne. [14] Lejlighedsvis omtales undertiden og det generiske udtryk også som emnet eller prædikatet for syllogismen.

Et eksempel på en gyldig syllogisme er:

Intet rektangel er en cirkel. Alle firkanter er rektangler. Så ingen firkant er en cirkel.

Mellemperioden for denne syllogisme er udtrykket "rektangel"; I hovedklausulen i denne syllogisme fremstår midterbegrebet som et emne, i dets mindre klausul som et prædikat. Underbegrebet i denne syllogisme er udtrykket "firkantet"; han optræder i undersætningen som et emne. Det generiske udtryk for denne syllogisme er udtrykket "cirkel"; det optræder i hovedklausulen som et prædikat.

Som et alternativ til formuleringer som “No S is P” eller “All S are P”, bruges udtryk med samme betydning som “P tilhører ikke noget S” og “P svarer til alle S”. I dette sprog lyder ovenstående syllogisme som følger:

Cirkel tilhører ikke et rektangel. Rektangel svarer til alle kvadrater. Så cirkel tilhører ikke en firkant.

De to stavemåder er synonyme og har samme værdi. Mens Aristoteles selv i sin analyse overvejende vælger varianter af den anden formulering, “kommer P til alle S” (for det meste “τὁ P κατηγορεῖται τοῦ S” - “P’et siges om S”), er varianter af den første notation blevet brugt siden skolastikken , "Alle S er P", givet præference. Forskellen mellem grammatisk og syllogistisk emne eller prædikat er mere tydelig i den aristoteliske formulering end i den traditionelle; så i formuleringen "P kommer til alle S" er det syllogistiske prædikat, "P", det grammatiske subjekts funktion og det syllogistiske subjekt, "S", det grammatiske prædikats funktion.

I opfølgningen af ​​Jan Łukasiewicz er der imidlertid den opfattelse, at de aristoteliske syllogismer, i modsætning til traditionerne baseret på ham, ikke er argumenter fra to præmisser og en konklusion, men derimod sammensatte individuelle sætninger. Fra dette synspunkt bør den aristoteliske variant af ovenstående eksempel lyde som følger:

Hvis intet rektangel er en cirkel, og alle firkanter er rektangler, så er ingen firkant en cirkel.

Den korrekte klassificering af de aristoteliske syllogismer er stadig et spørgsmål om tvist. Da konverteringen mellem de to aflæsninger er enkel, og da Aristoteles bruger sine syllogismer som konklusioner på trods af deres formulering i "hvis-da" -form, [15] præsenterer denne artikel konkrete syllogismer konsekvent i deres traditionelle formulering som argumenter sammensat af tre udsagn.

Som en videreudvikling af den kategoriske eller assertoriske syllogistik er der tilgange til en modal syllogistik allerede i Aristoteles, hvor modale udsagn som "Alle mennesker er muligvis dødelige" er tilladt i syllogismerne - bortset fra denne forskel, som er den samme .

Logiske systemer, der ligesom syllogistik arbejder med udsagn, hvor begreber er relateret til hinanden, kaldes generelt konceptuelle logikker.

Udtrykstyper

Et udsagn i en syllogisme, en kategorisk dom , relaterer altid to begreber. Kun fire typer domme vedrørende forholdet mellem et emne (S) og et prædikat (P) betragtes:

Type betegnelse Dommens formuleringer Stenografi
EN. generelt bekræftende dom
alle S er P (og der er faktisk S)
P tilhører alle S.
SaP
E. generelt negativ vurdering
ingen S er P (og der er faktisk S)
P tilhører ikke nogen S.
SeP
JEG. særlig bekræftende dom
nogle S er P
P tilhører nogle S.
Nippe til
O særlig negativ dom
nogle S er ikke P
P tilhører ikke nogle S.
SoP

Vokalerne stammer fra de latinske ord " a ff i rmo" (jeg bekræfter) og "n e g o " (jeg benægter), hvorved den første vokal står for en general, den anden for en bestemt dom.

Mængde og kvalitet

Egenskaben for en erklæring, hvor mange objekter den taler om, kaldes traditionelt mængden af denne erklæring. I denne forstand er der to størrelser i syllogismen, nemlig (a) særlig og (b) universel eller generel. Egenskaben for en erklæring til at tildele eller nægte et prædikat til et emne kaldes traditionelt kvaliteten af denne erklæring. Hvis en erklæring tildeler et emne et prædikat, kaldes det en bekræftende erklæring, hvis den benægter den, kaldes den en negativ erklæring. Oplysningstyperne er opdelt i følgende tabel i henhold til deres kvalitet og mængde:

bekræftende negativ
generelt En dom E dom
særlig Jeg dømmer O dom

Logisk firkant

Den logiske firkant

Forudsat at deres emner ikke er tomme begreber, er der forskellige forhold mellem de forskellige typer udsagn:

  • To udsagn danner en modstridende opposition, hvis og kun hvis begge hverken kan være sande eller falske på samme tid, med andre ord: hvis begge skal have forskellige sandhedsværdier. Dette er til gengæld netop tilfældet, når den ene erklæring er negationen af den anden (og omvendt). For de syllogistiske udsagnstyper gælder modsætningsforholdet parrene A - O og I - E.
  • To udsagn danner en modsat opposition, hvis og kun hvis de ikke begge kan være sande på samme tid, men begge kan være falske. I syllogisten står kun sætningspar A - E i modsat kontrast.
  • To udsagn danner en sub-kontrarisk opposition, hvis og kun hvis begge ikke kan være falske på samme tid (men begge kan være sande på samme tid). I syllogisten er kun udsagnsparet I-O i submodsigende opposition.
  • Mellem typerne af udsagn A og I på den ene side og E og O på den anden side er der en konsekvens (traditionelt kaldes denne følgesvend subalternation i den logiske firkant): Fra A følger I, det vil sige, hvis alle er SP, så er der faktisk S, der er P; og E følger O, det vil sige, hvis der ikke er nogen SP, så er der faktisk S, der ikke er P.

Disse forhold er ofte opsummeret i et skema kendt som "Logisk firkant" (se illustration). Den ældste kendte skrift på den logiske firkant stammer fra det andet århundrede e.Kr. og tilskrives Apuleius fra Madauros . [16]

Eksistentielle krav

Som det allerede kan ses på den logiske firkant, gælder mange af de traditionelle love inden for syllogistik kun, forudsat at emnet i de pågældende udsagn ikke er tomt. Generelt antages det derfor, at syllogistiske udsagn rent faktisk fremsætter eksistentielle udsagn om emnet, dvs. antager, at emnet ikke er et tomt begreb:

  • Udtalelsen "Alle S er P" betyder: "Der er S, og alle er P".
  • Udtalelsen "Ingen S er P" betyder: "Der er S, og ingen af ​​dem er P".
  • Udtalelsen "Nogle S er P" betyder: "Der er S, og nogle af dem er P."
  • Udtalelsen "Nogle S er ikke P" betyder: "Der er S, og nogle af dem er ikke P."

Eksistenserklæringen "Der er S" forstås normalt ikke som en del af den respektive syllogistiske dom, men som dens forudsætning , det vil sige som en forudsætning for, at den respektive dom overhovedet kan bruges til syllogistisk begrundelse. Det er muligt at gøre eksistenserklæringen til en del af den syllogistiske dom, men formelt er den relativt kompliceret og bedømmes forskelligt med hensyn til dens tilstrækkelighed. [17]

Afhængig af fortolkningen af ​​de syllogistiske udsagn og love er det også muligt at se, at syllogistisk slutning kun er mulig med ikke-tomme termer, dvs. at prædikaterne heller ikke må være tomme. [18] Spørgsmålet om hvilke forfattere af traditionen repræsenterede, hvilket synspunkt der bedømmes forskelligt og stadig er genstand for filosofiske og filologiske undersøgelser den dag i dag.

Selvom eksistentielle forudsætninger svarer til naturligt sprogbrug (normalt opfatter man kun generelle udsagn om faktisk eksisterende ting som meningsfulde), er det vigtigt at være opmærksom på dem, for der er også logiske systemer, der ikke stiller disse forudsætninger.

fordeling

I syllogistik taler man om fordelingen (fra latin distributio , distribution) af et udtryk inden for en erklæring. Et begreb distribueres inden for en erklæring, hvis og kun hvis hver anden sætning følger af denne erklæring, som er resultatet af den oprindelige erklæring ved at erstatte det originale koncept med et reelt underbegreb. [19] En ofte brugt og, hvis den er korrekt forstået, tilsvarende formulering lyder: Et udtryk distribueres inden for en syllogistisk sætning, hvis og kun hvis det refererer til alle objekter i udsagnet, som udtrykket gælder for.

For eksempel i den syllogistiske A-sætning "Alle filosoffer (emne) er mennesker (prædikat)" fordeles udtrykket "filosof": Fra det faktum, at alle filosoffer er mennesker, følger det, at alle sprogfilosoffer (et underudtryk af "filosof") Mennesker er, at alle eksistentielle filosoffer (et andet underudtryk af "filosof") er mennesker osv. I denne erklæring er begrebet "menneske" imidlertid ikke fordelt: Det faktum, at alle filosoffer er mennesker, betyder ikke for eksempel at alle filosoffer er europæere (et underbegreb om mennesker).

Følgende tabel giver en oversigt over, hvilket udtryk der er fordelt i hvilken type erklæring.

emne prædikat
En dom fordelt ikke distribueret
Jeg dømmer ikke distribueret ikke distribueret
E dom fordelt fordelt
O dom ikke distribueret fordelt

Syllogismer fra et moderne synspunkt

Der er forskellige tilgange til at aksiomatisere traditionel syllogistik eller til at bygge på klare regler.

De klassiske syllogismer kan repræsenteres på en moderne måde både som en anvendelse af et undersystem med prædikatlogik , nemlig den monadiske prædikatlogik, og som faste relationer. Fra dagens synspunkt er en væsentlig begrænsning, at syllogismerne kun kan beskæftige sig med kvantificatorer, der er forbundet med udsagnets emne (som i Alle mennesker er dødelige ), kvantificatorer i stedet for objektet (som i Sokrates kender alle athenere ) ikke kan behandles i dette system. Dette blev kun muliggjort ved Freges brug af matematiske funktioner i logik.

Når det præsenteres som faste relationer, fortolkes hvert udtryk som dets omfang ( udvidelse i tekniske termer), dvs. som det sæt objekter, der falder ind under dette udtryk. Udtrykket "menneske" tolkes for eksempel i sætteori som mængden af ​​alle mennesker.

I prædikatets logiske fortolkning er hvert udtryk repræsenteret som et encifret predikat i betydningen prædikatlogik, det vil sige som en etcifret funktion i matematisk forstand, der kan anvendes på konkrete individer, og som giver information til hvert individ om om det falder ind under dette udtryk eller ej. Eksempelvis ville udtrykket "menneske" tolkes som prædikatet "_ er et menneske". Hvis man anvender dette prædikat på en person, for eksempel til Sokrates, så leverer det sandhedsværdien "sand"; hvis du anvender det på et objekt, der ikke er et menneske - for eksempel et dyr, en planet eller et tal - så giver det sandhedsværdien "falsk".

Type dom Sætteori Forudsigelig logik
EN. Alle S er P.
, hvori
Den (ikke tomme) omkreds af S er en delmængde af omkredsen af ​​P.
, hvori
For hvert individ, hvis det er et S, så er det også et P (hvor S ikke er tomt).
E. Ingen S er P.
, hvori
Skæringspunktet mellem den (ikke-tomme) omkreds af S og omkredsen af ​​P er tom.
, hvori
For hvert individ, hvis det er et S, så er det ikke sådan, at det også er et P (hvor S ikke er tomt).
JEG. Nogle S er P.
Skæringspunktet mellem omkredsen af ​​S og omkredsen af ​​P er ikke tomt.
Der er mindst én person, der er S, og som også er P.
O Nogle S er ikke P.
Det (ikke-tomme) omfang af S er ikke en delmængde af omfanget af P. (Det faktum, at S ikke kan være tomt, er allerede implicit givet, da det tomme sæt er en delmængde af hvert sæt.)
Der er mindst én person, der er S, og som ikke er det, der også er P.

Denne formalisering er blevet kritiseret historisk og for nylig. Den traditionelle logik som konceptuel logik, for eksempel af Fritz Mauthner, stod i kontrast til moderne logik, som også blev nedsættende omtalt som logistik . Et af de centrale spørgsmål var, om formalisering ville føre til tab af eksistensforudsætninger, der blev taget for givet i den førmoderne lokale tradition. En direkte overførsel af den logiske firkant er heller ikke uden problemer, som Michael Wolff har vist i sit essay om Frege .

Walther Brüning klassificerede syllogistikken som en streng syllogistik som et specielt tilfælde af hans strenge logik og støder derved på problemerne med den klassiske formalisering af prædikatlogik. Han fortolker dommene som forkortelser af såkaldte validitetsværdiformler (se: Categorical Judgment - Treatment in Strict Logic ) og bruger et afledningsudtryk, der gør det muligt let at udlede alle syllogismer. En sammenlignelig tilgang er Albert Mennes differentielle syllogistik .

Regler for syllogismers gyldighed

Gyldige syllogismer har visse egenskaber med hensyn til kvalitet, mængde og fordeling af de udtryk, de indeholder; for eksempel kan en syllogisme aldrig være gyldig, hvis dens præmisser er bestemte udsagn, men dens konklusion er en generel erklæring.

Da forskellige syllogistiske tilstande er gyldige afhængigt af den specifikke fortolkning, er der også forskellige regelsæt i traditionen. De mest almindelige regler i dag præsenteres nedenfor. [20] De går tilbage i denne enkle form til senmiddelalderen og er ikke en del af den gamle, aristoteliske syllogistik. [21] Det nævnte regelsystem er for enkelthedens skyld overflødigt, dvs. nogle af reglerne kan udtrykkes af andre.

Regler for kvalitet

  1. Mindst en af ​​de to præmisser skal være en bekræftende erklæring ( latin ex mere negativis nihil sequitur , "intet følger af negative udsagn alene").
    For eksempel kan der ikke drages nogen syllogistiske konklusioner ud fra præmisserne "Ingen fisk er en lystfisker" og "Nogle lystfiskere er ikke fisk".
  2. Hvis begge præmisser er bekræftende, skal konklusionen også være bekræftende (latinsk ambae affirmantes nequeunt generare negantem , "to bekræftende udsagn kan ikke frembringe en negativ erklæring").
  3. Hvis en af ​​de to præmisser er negativ, skal konklusionen også være negativ.

Regler for mængde

  1. Mindst et af de to præmisser skal være en generel erklæring (latin nihil sequitur geminis ex particularibus unquam , "intet følger nogensinde af bestemte udsagn").
    Fra lokalerne "nogle pattedyr lever i vandet" og "nogle dyr, der lever på land, er pattedyr", er det heller ikke muligt at udlede syllogistisk.
  2. Hvis et af de to præmisser er et bestemt forslag, kan konklusionen ikke være et generelt forslag.

Distributionsregler

  1. Mellemperioden skal vises fordelt mindst én gang.
  2. Hvis et udtryk forekommer fordelt i konklusionen, skal det også fremstå distribueret i en præmis.

tegn

Hvilket af de tre udtryk S, P og M skal fremgå, i hvilket udsagn om syllogismen er fast: Hovedklausulen består af P og M, den mindre klausul af S og M, konklusionen af ​​S og P. Konklusionen har altid form S - P, ordningen af ​​vilkårene i lokalerne kan vælges frit. Rækkefølgen, hvor præmisserne er skrevet, er irrelevant for gyldigheden af ​​en syllogisme, men siden Aristoteles er hovedpræmissen først blevet nævnt, efterfulgt af den mindreårige.

Afhængigt af ordningen i lokalerne skelnes der mellem de fire mulige figurer (σχἠματα, skemata ):

1. figur 2. figur 3. figur 4. figur
første forudsætning M - P OM EFTERMIDDAGEN M - P OM EFTERMIDDAGEN
anden forudsætning S - M S - M FRK FRK
Konklusion S - P S - P S - P S - P

Eksempel:

Forudsætning 1 (eller større forslag ): Alle mennesker (M) er dødelige (P) .
Forudsætning 2 (eller mindre ): Alle grækere (S) er mennesker (M) .
Konklusion (eller konklusion ): Så alle grækere (S) er dødelige (P) .
På grund af placeringen af ​​udtrykkene M - P, S - M, S - P genkender man en syllogisme af den første figur.

Tilstande (kombinationer) og deres søgeord

Da hver af de tre udsagn i en syllogisme kan være af en af ​​de fire typer A, E, O, I, er der pr. Muligheder for at kombinere udsagn til en syllogisme af den respektive figur. Hver af disse muligheder kaldes en mode (flertal: modes) eller en kombination af den respektive figur. Med i alt fire forskellige figurer er der i alt fire Mulige kombinationer, dvs. 256 typer syllogismer. Blandt disse 256 tilstande er 24 gyldige og 232 ugyldige syllogismer.

En tilstand beskrives med tre bogstaver. De to første bogstaver står for lokaltyperne, det tredje bogstav for typen af ​​konklusion.

Eksempel:

Forudsætning 1 (eller større sætning ): Alle kriminalromaner (M) er spændende (P) .
Forudsætning 2 (eller mindre ): Nogle bøger (S) er kriminalromaner (M) .
Konklusion (eller sidste sætning ): Så nogle bøger (S) er spændende (P) .
Forudsætning 1 er af type A, forudsætning 2 af type I, konklusionen følgelig også af type I. Det er derfor en syllogisme af type A-I-I.

De 24 gyldige tilstande er traditionelt udpeget med følgende søgeord:

1. figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
2. Figur: Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro
3. Figur: Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison
4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop

In diesen Merkwörtern bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz–Untersatz–Konklusion; zum Beispiel bezeichnet Modus Darii einen Syllogismus der ersten Figur und vom Typ A–I–I. Die Konsonanten geben an, auf welchen Syllogismus der 1. Figur (erster Konsonant) der jeweilige Syllogismus zurückgeführt werden kann und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) diese Zurückführung möglich ist (siehe Abschnitt Reduktion auf die erste Figur ).

Zu beachten ist, dass in der Tradition unterschiedliche Versionen der Merkwörter kursieren. Die ältesten überlieferten Versionen dieser mnemotechnischen Syllogistik stammen von den scholastischen Logikern William of Sherwood [22] und Petrus Hispanus [23] um 1240/1250, wobei die Priorität unsicher ist.

Die fünf nicht fett gedruckten Modi sind jeweils „schwache“ Folgerungen eines fett gedruckten „starken“ Modus der jeweiligen Figur. „Stark“ bedeutet dabei, dass die Konklusion eine allgemeine Aussage (A oder E) ist; „schwach“ bedeutet, dass die Konklusion eine partikuläre Aussage (I oder O) ist, die eine direkte Folgerung der jeweiligen starken Aussage ist. Es wird davon ausgegangen, dass schwache Modi erstmals 50 v. Chr. von Ariston von Alexandria thematisiert wurden. [3]

Beispiele:

  • Modus Barbara (stark): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Alle Schwabinger sind Bayern.
  • Modus Barbari (schwach): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind Bayern.
  • Modus Celarent (stark): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Kein Schwabinger ist Passauer.
  • Modus Celaront (schwach): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind keine Passauer.

Die schwachen Schlussfolgerungen sind logisch gültig, sofern gewisse Zusatzbedingungen erfüllt sind: Jeweils bestimmte Begriffe (Subjekt, Prädikat oder Mittelbegriff) dürfen nicht leer sein (siehe auch Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen ).

Reduktion auf die erste Figur

Mit einigen einfachen Umformungen, die in den Konsonanten der traditionellen Merkwörter kodiert sind, lassen sich die Modi aller Figuren auf einen Modus der ersten Figur zurückführen („reduzieren“). Diese Tatsache war bereits Aristoteles bekannt, der auch entsprechende Umformungsregeln formuliert hat und der die erste Figur als die vollkommene, Syllogismen der ersten Figur als vollkommenen Syllogismus (τέλειος συλλογισμός – téleios syllogismós ) bezeichnete.

Der Anfangsbuchstabe des jeweiligen traditionellen Merkwortes gibt an, auf welchen Modus der ersten Figur der jeweilige Modus zurückgeführt werden kann: Modi, deren Name mit „B“ beginnt, lassen sich auf den Modus Barbara zurückführen; Modi, deren Name mit „C“ beginnt, lassen sich auf den Modus Celarent zurückführen; und ebenso lassen sich Modi, deren Name mit „D“ bzw. mit „F“ beginnt, auf den Modus Darii bzw. Ferio zurückführen.

Die Umformungen der Syllogistik sind Schlussregeln im formalen Sinn, dh, das Resultat jeder syllogistischen Umformung einer Aussage bzw. eines Syllogismus folgt aus der umgeformten Aussage bzw. aus dem umgeformten Syllogismus.

Die für die Reduktion erforderlichen Umformungen sind im Folgenden näher beschrieben; zusätzlich wird im Abschnitt Beispiele und Reduktion auf die erste Figur für jeden syllogistischen Modus ein Beispiel genannt und dessen Reduktion auf die erste Figur gezeigt.

Einfache Umwandlung

Bei der einfachen Umwandlung (lat. conversio simplex ) werden Subjekt und Prädikat der jeweiligen Aussage vertauscht; so wird aus der Aussage „Einige Philosophen sind Griechen“ nach der einfachen Umwandlung die Aussage „Einige Griechen sind Philosophen“. In den Merkwörtern wird die einfache Umwandlung einer Aussage durch den Buchstaben „s“ hinter dem der betroffenen Aussage zugeordneten Vokal angezeigt; zum Beispiel muss beim Reduzieren des Modus Ce s are die erste Prämisse, eine E-Aussage, einer einfachen Umwandlung unterzogen werden.

Einfache Umwandlung ist nur bei Aussagen der Typen E und I möglich: Wenn keine Schweine Schafe sind, dann sind auch keine Schafe Schweine (E-Aussage); und wenn einige Griechen Philosophen sind, dann sind auch einige Philosophen Griechen (I-Aussage). Für die A- und O-Aussage ist keine einfache Umwandlung möglich: Wenn alle Philosophen Menschen sind, heißt das nämlich noch lange nicht, dass alle Menschen Philosophen sind (A-Aussage); und wenn einige Menschen keine Politiker sind, heißt das noch lange nicht, dass einige Politiker keine Menschen sind (O-Aussage). Tatsächlich sind unter den traditionellen Merkwörtern nur solche, bei denen das „s“ auf ein „e“ oder „i“ folgt.

Normalerweise wird die einfache Umwandlung auf die jeweilige Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus angewendet. Steht das „s“ jedoch am Ende des Merkwortes, dann wird nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus der einfachen Umwandlung unterzogen, sondern die Konklusion jenes Syllogismus der ersten Figur, auf den reduziert werden soll. Ein Beispiel für diesen Sonderfall ist der Modus Dimati s : Er wird auf einen Modus Datisi zurückgeführt, in dessen Konklusion Subjekt und Prädikat vertauscht werden, also auf einen Syllogismus der Form „Alle P sind M. Einige M sind S. Also sind einige P S.“

Umwandlung durch Einschränkung

Bei der Umwandlung durch Einschränkung (lat. conversio per accidens ) wird zusätzlich zur Vertauschung von Subjekt und Prädikat der jeweiligen Aussage ihr Typ von A auf I bzw. von E auf O geändert. So wird zum Beispiel aus der A-Aussage „Alle Schweine sind rosa“ nach der Umwandlung durch Einschränkung die I-Aussage „Einige rosa (Dinge) sind Schweine“ und wird aus der E-Aussage „Keine Schweine sind Schafe“ die O-Aussage „Einige Schafe sind keine Schweine“. In den Merkwörtern wird die Umwandlung durch Einschränkung durch den Buchstaben „p“ hinter dem der betroffenen Aussage zugeordneten Vokal angezeigt.

Auch bei dieser Umwandlung liegt ein Sonderfall vor, wenn das „p“ im Merkwort nach dem dritten Vokal – also am Wortende – steht: In diesem Fall bezieht es sich wie bei der einfachen Umwandlung nicht auf die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus, sondern auf die Konklusion des resultierenden Syllogismus der ersten Figur.

Vertauschung der Prämissen

Vertauschung der Prämissen (lat. mutatio praemissarum ) ist für die Reduktion all jener Modi erforderlich, in deren Merkwörtern der Konsonant „m“ an beliebiger Stelle vorkommt. Unabhängig von der Position des Konsonanten „m“ im jeweiligen Merkwort darf die Vertauschung der Prämissen erst nach jeder allenfalls erforderlichen einfachen Umwandlung und nach jeder allenfalls erforderlichen Umwandlung durch Einschränkung ausgeführt werden.

Indirekter Beweis

Modi, in deren Merkwörtern der Konsonant „c“ vorkommt, aber nicht am Wortanfang steht, – also nur die Modi Baroco und Bocardo – lassen sich nur durch einen indirekten Beweis (lat. reductio ad absurdum ) [24] auf die erste Figur zurückführen. Zu diesem Behuf wird die Wahrheit der A-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus (im Fall von Baroco also die erste, im Fall von Bocardo die zweite Prämisse) sowie das kontradiktorische Gegenteil, dh die Negation der Konklusion angenommen. Auf diese Weise entsteht ein Modus Barbara, dessen Konklusion der O-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus widerspricht. Da die Annahme, die Konklusion treffe nicht zu, solcherart zu einem Widerspruch geführt hat, ist gezeigt, dass die Konklusion zutreffen muss.

Im Detail ausgeführt wird der indirekte Beweis in den Abschnitten AOO – Modus Baroco und OAO – Modus Bocardo .

Abweichende Darstellungen

Hinsichtlich der genauen Formulierung der Umwandlungsregeln gibt es bei den einzelnen Autoren Unterschiede; insbesondere ist es üblich, [25] auf den hier dargebrachten Sonderfall bei der einfachen Umwandlung und bei der Umwandlung durch Einschränkung zu verzichten und die Konsonanten „s“ und „p“ auch am Wortende auf den umzuwandelnden Syllogismus zu beziehen und nicht – wie hier dargestellt – auf den Ziel-Syllogismus. Diese Formulierung würde aber die Reduktion der beiden Modi „Bamalip“ und „Camestrop“ in der dargestellten Form unmöglich machen, weil weder für eine I-Aussage noch für eine O-Aussage eine Umwandlung durch Einschränkung möglich ist.

Beispiele und Reduktion auf die erste Figur

Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus

Die erste Figur hat folgende Form:

Obersatz: M – P
Untersatz: S – M
Es folgt: Konklusion: S – P

Ihre gültigen Modi sind Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari und Celaront.

AAA – Modus Barbara
Beispiel
Alle Rechtecke sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke
EAE – Modus Celarent
Beispiel
Kein Rechteck ist ein Kreis
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Kein Quadrat ist ein Kreis
AII – Modus Darii
Beispiel
Alle Quadrate sind Rechtecke
Einige Rhomben sind Quadrate
Es folgt: Einige Rhomben sind Rechtecke
EIO – Modus Ferio
Beispiel
Kein Säugetier atmet mit Kiemen
Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen
AAI – Modus Barbari
Beispiel
Alle Rechtecke sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Einige Quadrate sind Vierecke
Anmerkung
Barbari ist insofern ein abgeleiteter Modus, als seine Konklusion eine schwächere Folgerung der Konklusion von Modus Barbara ist: Wenn alle Quadrate Rechtecke sind, dann sind insbesondere auch einige Quadrate Rechtecke. Traditionell wird ein durch Abschwächung der Konklusion aus einem anderen Modus abgeleiteter Modus auch als schwacher Modus bezeichnet.
EAO – Modus Celaront
Beispiel
Kein Rechteck ist ein Kreis
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Einige Quadrate sind keine Kreise
Anmerkung
Die Konklusion von Celaront ist eine Abschwächung der Konklusion von Celarent: Wenn keine Quadrate Kreise sind, dann sind insbesondere auch einige Quadrate keine Kreise. Celaront wird daher traditionell als schwacher Modus bezeichnet.

Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die zweite Figur hat folgende Form:

Obersatz: P – M
Untersatz: S – M
Es folgt: Konklusion: S – P

Die gültigen Modi der zweiten Figur sind Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop und Cesaro.

AOO – Modus Baroco
Beispiel
Alle Professoren sind ernst
Einige Dozenten sind nicht ernst
Es folgt: Einige Dozenten sind nicht Professoren
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Der Modus Baroco ist einer von nur zwei Modi, in deren Merkwort der Konsonant „c“ vorkommt, aber nicht am Wortanfang steht. Diese Konstellation zeigt an, dass zur Rückführung auf die erste Figur ein indirekter Beweis erforderlich ist. Für diesen indirekten Beweis wird ein Syllogismus konstruiert, dessen erste Prämisse die A-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus ist – im Beispiel also die Aussage „Alle Professoren sind ernst.“ Als zweite Prämisse des zu konstruierenden Syllogismus wird die kontradiktorische Verneinung der Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus verwendet – im Beispiel also die Aussage „Alle Dozenten sind Professoren“ (dieses A-Urteil ist die Verneinung des O-Urteils „Einige Dozenten sind nicht Professoren“, vergleiche Logisches Quadrat ). Da das Merkwort „Baroco“ mit einem „B“ beginnt, werden die so aufgestellten Prämissen zu einem Syllogismus des Modus Barbara ergänzt, der dann vollständig lautet: „Alle Professoren sind ernst. Alle Dozenten sind Professoren. Also sind alle Dozenten ernst.“ Die Schlussfolgerung, dass alle Dozenten ernst sind, ist aber mit der O-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus unverträglich, die gerade lautete „Einige Dozenten sind nicht ernst“. Somit ist gezeigt, dass die Annahme, die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus treffe nicht zu, zu einem Widerspruch führt. Die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus muss daher zutreffen, der zu reduzierende Syllogismus also gültig sein.
EAE – Modus Cesare
Beispiel
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Alle Fische atmen durch Kiemen
Es folgt: Kein Fisch ist ein Säugetier
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Das Merkwort „Cesare“ beginnt mit einem „C“, der Syllogismus muss sich daher auf einen Modus Celarent zurückführen lassen. Im Merkwort „Cesare“ steht unmittelbar nach dem „e“, das den Typ der ersten Prämisse angibt, der Buchstabe „s“, der die einfache Umwandlung der betroffenen Aussage einfordert. Wandelt man die erste Prämisse einfach um, entsteht die Aussage „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier“. Weitere bedeutungstragende Konsonanten kommen im Merkwort „Cesare“ nicht vor, deshalb ist die Umwandlung damit abgeschlossen. Tatsächlich ist der so entstandene Syllogismus „Kein Kiemenatmer (M) ist ein Säugetier (P). Alle Fische (S) atmen durch Kiemen (M). Also ist kein Fisch (S) ein Säugetier (P).“ ein Syllogismus vom Typ Celarent.
AEE – Modus Camestres
Beispiel
Alle Fische atmen durch Kiemen
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Es folgt: Kein Säugetier ist ein Fisch
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Der Anfangsbuchstabe „C“ des Merkwortes „Camestres“ zeigt an, dass die Reduktion zu einem Modus Celarent führen muss. Das „s“ nach dem Vokal „e“ der zweiten Prämisse zeigt an, dass jene einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss; dabei entsteht die neue Aussage „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier“. Das „m“ zeigt – ungeachtet seiner konkreten Position – an, dass die Prämissen nach allen anderen allfälligen Umformungen ausgetauscht werden müssen: Es entsteht der Syllogismus „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier. Alle Fische atmen durch Kiemen. Also ist kein Säugetier ein Fisch.“ Am Wortende des Merkwortes Camestres steht ein weiteres „s“, das an dieser Stelle eine einfache Umwandlung der Konklusion des Zielmodus, also des Celarent erfordert – und tatsächlich ist der Syllogismus „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier. Alle Fische atmen durch Kiemen. Also ist kein Säugetier ein Fisch.“ ein Modus Celarent, in dessen Konklusion die Stellung von Subjekt und Prädikat vertauscht ist.
EIO – Modus Festino
Beispiel
Kein Tier, das mit Kiemen atmet, ist ein Säugetier
Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Der Anfangsbuchstabe „F“ zeigt an, dass der Syllogismus sich auf einen Modus Ferio zurückführen wird lassen. Der Buchstabe „s“ nach dem ersten Vokal im Merkwort „Festino“ weist darauf hin, dass die erste Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss; dabei entsteht die neue Aussage „Kein Säugetier atmet mit Kiemen“. Das Merkwort enthält keine weiteren bedeutungstragenden Konsonanten, und tatsächlich ist der durch diese eine Umwandlung entstandene Syllogismus „Kein Säugetier atmet mit Kiemen. Einige Wassertiere sind Säugetiere. Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen.“ vom erwarteten Typ Ferio; die Reduktion ist damit erfolgreich abgeschlossen.

Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die dritte Figur hat folgende Form:

Obersatz: M – P
Untersatz: M – S
Es folgt: Konklusion; S – P

Die gültigen Modi der dritten Figur sind Bocardo, Datisi, Disamis, Ferison, Darapti und Felapton.

OAO – Modus Bocardo
Beispiel
Einige Münchner sind nicht Politiker
Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt: Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Das Merkwort „Bocardo“ enthält im Wortinneren den Konsonanten „c“, der die Notwendigkeit eines indirekten Beweises anzeigt. Für diesen wird ein neuer Syllogismus gebildet, dessen Prämissen die A-Prämisse des Bocardo – im Beispiel also die Aussage „Alle Münchner sind Stadtbewohner“ – und die Verneinung der Konklusion des Bocardo ist: Verneint man die O-Aussage „Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker“, dann entsteht die A-Aussage „Alle Stadtbewohner sind Politiker“. Da das Merkwort „Bocardo“ mit einem „B“ beginnt, ordnet man diese beiden Prämissen so an und ergänzt sie so um eine Konklusion, dass ein Syllogismus der Form Barbara entsteht. Für das Beispiel lautet dieser Syllogismus „Alle Stadtbewohner sind Politiker. Alle Münchner sind Stadtbewohner. Also sind alle Münchner Politiker.“ Die Konklusion, „Alle Münchner sind Politiker“, widerspricht nun gerade der ersten Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus, der Aussage „Einige Münchner sind nicht Politiker“; es ist daher gezeigt, dass die Annahme, die Konklusion des Bocardo – also die Aussage „Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker“ – sei falsch, zu einem Widerspruch führt – sie muss daher richtig sein.
AII – Modus Datisi
Beispiel
Alle Rechtecke sind Vierecke
Einige Rechtecke sind Quadrate
Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Das Merkwort „Datisi“ enthält als einzigen bedeutungstragenden Konsonanten den Buchstaben „s“ unmittelbar nach dem Vokalzeichen für die zweite Prämisse; diese muss daher einer einfachen Umwandlung unterzogen werden, dh, ihr Subjekt und ihr Prädikat müssen ausgetauscht werden. Aus dieser Operation entsteht der Syllogismus „Alle Rechtecke sind Vierecke. Einige Quadrate sind Rechtecke. Also sind einige Vierecke Quadrate.“ Dieser Syllogismus ist von der Form Darii, die Reduktion damit abgeschlossen.
IAI – Modus Disamis
Beispiel
Einige Früchte sind Äpfel
Alle Früchte sind Pflanzen
Es folgt: Einige Pflanzen sind Äpfel
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Das Merkwort „Disamis“ zeigt an, dass für die Reduktion auf einen Modus Darii zwei einfache Umwandlungen (Buchstabe „s“ hinter dem die jeweilige Aussage bezeichnenden Vokal), dh eine Vertauschung von Subjekt und Prädikat, sowie eine Vertauschung der Prämissen (Buchstabe „m“ an beliebiger Stelle) erforderlich sein wird. Einfache Umwandlungen der Prämissen müssen immer vor einer allfälligen Vertauschung ausgeführt werden. „Disamis“ fordert die einfache Umwandlung der ersten Prämisse, dabei entsteht der Satz „Einige Äpfel sind Früchte“. Für die zweite Prämisse fordert das Merkwort „Disamis“ keine Aktion, sodass im nächsten Schritt schon die Vertauschung der Prämissen (Buchstabe „m“) ausgeführt werden kann. Der dabei entstehende Syllogismus lautet „Alle Früchte sind Pflanzen. Einige Äpfel sind Früchte. Also sind einige Pflanzen Äpfel.“ An letzter Stelle – unmittelbar nach dem Vokal, der die Konklusion bezeichnet – enthält das Merkwort „Disamis“ ein weiteres „s“. Die Umwandlung der Konklusion – egal ob einfach oder durch Einschränkung – ist ein Sonderfall, weil hier nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus gemeint ist, sondern die Konklusion des Modus, auf den reduziert werden soll. Das „s“ ist also an dieser Stelle die Anweisung, in der Konklusion von Modus Darii Subjekt und Prädikat auszutauschen, was zu einem Syllogismus der Gestalt „Alle M sind P. Einige S sind M. Also sind einige P S.“ führt. Dieses ist die Gestalt des reduzierten Disamis-Syllogismus: „Alle Früchte (M) sind Pflanzen (P). Einige Äpfel (S) sind Früchte (M). Also sind einige Pflanzen (P) Äpfel (S).“ Damit ist die Reduktion abgeschlossen.
EIO – Modus Ferison
Beispiel
Keine Münchner sind Passauer
Einige Münchner sind Studenten
Es folgt: Einige Studenten sind nicht Passauer
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Das Merkwort „Ferison“ enthält nur einen bedeutungstragenden Konsonanten, das „s“ unmittelbar nach dem Vokal für die zweite Prämisse. Dies zeigt an, dass die zweite Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss, dh einer Vertauschung ihres Subjekts und ihres Prädikats. Der so entstandene Syllogismus, „Keine Münchner sind Passauer. Einige Studenten sind Münchner. Also sind einige Studenten nicht Passauer.“, ist bereits ein Syllogismus der ersten Figur, und zwar – das Merkwort „Ferison“ beginnt mit einem „F“ – vom Typ Ferio.
AAI – Modus Darapti
Beispiel
Alle Quadrate sind Rechtecke
Alle Quadrate sind Vierecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke
Anmerkung
Der Modus Darapti setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Der Anfangsbuchstabe des Merkwortes „Darapti“ zeigt an, dass sich der Syllogismus auf den Modus Darii reduzieren lassen wird. An bedeutungstragenden Konsonanten enthält das Merkwort „Darapti“ nur das „p“, das eine Umwandlung durch Einschränkung bezeichnet. Das „p“ steht unmittelbar nach dem Vokal der zweiten Prämisse, also ist sie es, die durch Einschränkung umgewandelt werden muss. Bei der Umwandlung durch Einschränkung werden Subjekt und Prädikat des Satzes ausgetauscht und wird die Quantität der Aussage von allgemein auf partikulär geändert, entsteht also aus der Aussage „Alle Quadrate sind Vierecke“ die Aussage „Einige Vierecke sind Quadrate“. Da es keine weiteren bedeutungstragenden Konsonanten im Merkwort „Darapti“ gibt, ist die Reduktion an dieser Stelle abgeschlossen und ist der so entstandene Syllogismus „Alle Quadrate sind Rechtecke. Einige Vierecke sind Quadrate. Also sind einige Vierecke Rechtecke.“ ein Modus Darii.
EAO – Modus Felapton
Beispiel
Keine Münchner sind Passauer
Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt: Einige Stadtbewohner sind keine Passauer
Anmerkung
Der Modus Felapton setzt voraus, dass der Mittelbegriff nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Münchner gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Modus Felapton wird sich mit einer Umwandlung durch Einschränkung (Buchstabe „p“) auf einen Modus Ferio reduzieren lassen. Das „p“ steht im Merkwort „Felapton“ hinter dem Vokal, der die zweite Prämisse bezeichnet; daher ist sie es, die umgewandelt werden muss. Bei der Umwandlung durch Einschränkung werden Subjekt und Prädikat der betroffenen allgemeinen Aussage ausgetauscht und wird sie zu einer partikulären Aussage umgewandelt: Aus „Alle Münchner sind Stadtbewohner“ wird „Einige Stadtbewohner sind Münchner.“ Der so entstandene Syllogismus „Keine Münchner sind Passauer. Einige Stadtbewohner sind Münchner. Also sind einige Stadtbewohner keine Passauer.“ ist von der Gestalt des Modus Ferio – die Reduktion ist damit abgeschlossen.

Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die vierte Figur hat folgende Form:

Obersatz: P – M
Untersatz: M – S
Es folgt: Konklusion: S – P

Die gültigen Modi der vierten Figur sind Calemes, Dimatis, Fresison, Bamalip, Calemop und Fesapo.

AAI – Modus Bamalip
Beispiel
Alle Quadrate sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Vierecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate
Anmerkung
Der Modus Bamalip setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate und Rechtecke gibt (wobei die Existenz letzterer in diesem Fall aus der Existenz ersterer bereits folgt); vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Für die Prämissen hat das Merkwort „Bamalip“ lediglich die eine Handlungsanweisung parat, ihre Reihenfolge zu vertauschen (Konsonant „m“ an beliebiger Stelle). Der zweite bedeutungstragende Konsonant im Wortinneren ist das „p“, das zu einer Umwandlung durch Einschränkung – dh eine Vertauschung von Subjekt und Prädikat einer Aussage sowie ihre Veränderung ihrer Quantität von allgemein (A, E) zu partikulär (I, O) – auffordert. Nun steht das „p“ aber am Wortende – dies ist der Sonderfall, bei dem nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus umgewandelt werden muss, sondern die Konklusion des Syllogismus, auf den reduziert werden soll. Reduziert werden soll – das Merkwort „Bamalip“ beginnt mit „B“ – auf Barbara, und unterzieht man dessen Konklusion, „Alle S sind P“, einer Umwandlung durch Einschränkung, so lautet sie „Einige P sind S“. Dem solcherart aus Modus Barbara entstandenen Syllogismus „Alle M sind P. Alle S sind M. Also sind einige P S.“ entspricht nun aber genau der umgeformte Syllogismus Bamalip, „Alle Rechtecke (M) sind Vierecke (P). Alle Quadrate (S) sind Rechtecke (M). Also sind einige Vierecke (P) Quadrate (S).“ Bamalip ist damit auf die erste Figur zurückgeführt.
AEE – Modus Calemes
Beispiel
Alle Passauer sind Bayern
Keine Bayern sind Sachsen
Es folgt: Keine Sachsen sind Passauer
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Reduziert wird auf einen Modus Celarent, wie der Anfangsbuchstabe des Merkworts „Calemes“ anzeigt. Der letzte Vokal in „Calemes“ wird vom bedeutungstragenden Konsonanten „s“ gefolgt, der eine einfache Umwandlung der Konklusion in demjenigen Syllogismus anfordert, auf den reduziert werden soll. Wandelt man den Modus Celarent entsprechend um, dh, vertauscht man in seiner Konklusion Subjekt und Prädikat, entsteht der Modus „Keine M sind P. Alle S sind M. Also sind keine P S.“ Auf diesen lässt sich Modus Calemes reduzieren, und zwar – der einzige weitere bedeutungstragende Konsonant im Merkwort „Calemes“ ist das „m“ – durch eine Vertauschung seiner Prämissen. Der so entstehende Syllogismus ist von der gewünschten Gestalt: „Keine Bayern (M) sind Sachsen (P). Alle Passauer (S) sind Bayern (M). Also sind keine Sachsen (P) Passauer (S).“
IAI – Modus Dimatis
Beispiel
Einige Rauten sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Parallelogramme
Es folgt: Einige Parallelogramme sind Rauten
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Reduziert wird auf Darii, wie der Anfangsbuchstabe des Merkwortes „Dimatis“ anzeigt. Das „m“ fordert eine Vertauschung der Prämissen. Das „s“ am Wortende zeigt die Notwendigkeit einer einfachen Umwandlung – dh Vertauschung von Subjekt und Prädikat – der Konklusion des Ziel -Syllogismus, also des Darii an. Tatsächlich hat der entstandene Syllogismus die Gestalt eines Modus Darii mit derart umgewandelter Prämisse: „Alle Rechtecke (M) sind Parallelogramme (P). Einige Rauten (S) sind Rechtecke (M). Also sind Einige Parallelogramme (P) Rauten (S).“
EAO – Modus Fesapo
Beispiel
Keine Passauer sind Münchner
Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt: Einige Stadtbewohner sind keine Passauer
Anmerkung
Der Modus Fesapo setzt voraus, dass der Mittelbegriff nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Münchner gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Um den Syllogismus auf einen Modus Ferio zurückzuführen (das Merkwort „Fesapo“ beginnt mit einem „F“) muss die erste Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden (unmittelbar nach dem ersten Vokal im Merkwort „Fesapo“ steht ein „s“) und muss die zweite Prämisse einer Umwandlung durch Einschränkung unterzogen werden (unmittelbar nach dem zweiten Vokal im Merkwort „Fesapo“ steht ein „p“). Der solcherart entstehende Syllogismus ist tatsächlich vom Typ Ferio: „Keine Münchner (M) sind Passauer (P). Einige Stadtbewohner (S) sind Münchner (M). Also sind einige Stadtbewohner (S) keine Passauer (P).“
EIO – Modus Fresison
Beispiel
Keine Passauer sind Münchner
Einige Münchner sind Studenten
Es folgt: Einige Studenten sind keine Passauer
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur
Um einen Modus Fresison auf die erste Figur zu reduzieren, müssen beide Prämissen einer einfachen Umwandlung unterzogen werden, denn das Merkwort Fresison enthält sowohl unmittelbar nach dem ersten Vokal als auch unmittelbar nach dem zweiten Vokal den Konsonanten „s“. Weitere bedeutungstragende Konsonanten sind nicht enthalten, sodass der durch diese beiden Umwandlungen entstehende Syllogismus bereits die Form eines Modus Ferio (das Merkwort „Fresison“ beginnt mit einem „F“) der ersten Figur hat: „Keine Münchner (M) sind Passauer (P). Einige Studenten (S) sind Münchner (M). Also sind einige Studenten (S) keine Passauer (P).“

Wesentlich verschiedene Syllogismen

Die Equivalenzen "XeY genau dann falls YeX" und ebenso "XiY genau wenn YiX" erlauben es, Syllogismen in mehreren Paaren miteinander zu identifizieren, im EIO-Fall sogar vier, durch alle vier Figuren. Dann bleibt eine verkürzte Liste von nur acht Syllogismen übrig, falls noch Abschwächungen gestrichen werden: Barbara, Darii, Felapton, Ferio, Camestres, Celarent, Bocardo und Baroco.

Siehe auch

Literatur

  • Aristoteles: Erste Analytiken I . Aristoteles: Analytica Priora. Buch I. Übersetzt und erläutert von Theodor Ebert und Ulrich Nortmann. Berlin: Akademie Verlag, 2007 ISBN 978-3-05-004427-9 (mit umfangreichem Kommentar)
  • Aristoteles: Analytica Posteriora . Übersetzung und Kommentar von Wolfgang Detel . Berlin, Akademie-Verlag 1998. ISBN 3-05-001796-1 . (mit umfangreichem Kommentar)
  • Aristoteles: Organon . Griechisch-Deutsch. Übersetzung und Kommentar von HG Zekl. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3-7873-1596-9 . (die Übersetzung ist bei ihrem ersten Erscheinen äußerst scharf als unbrauchbar kritisiert worden; vgl. die Rezension von Hermann Weidemann in: Zeitschrift für philosophische Forschung 53, 1999, Seite 602–610)
  • Aristoteles: Topik . Ditzingen: Reclam 2004. (=Reclams Universal-Bibliothek 18337) ISBN 3-15-018337-5 , ISBN 978-3-15-018337-3 .
  • Helmut Gätje : Bemerkungen zum System der Syllogismen . Universität des Saarlandes , Fach Orientalistik, Saarbrücken 1978.
  • Bruno von Freytag-Löringhoff : Über das System der modi des Syllogismus . In: Zeitschrift für philosophische Forschung . Bd. 4, Nr. 2/1949, S. 235–256.
  • Günther Patzig : Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der „Ersten Analytik“ . 3. Aufl., Göttingen, 1969.
  • Albert Menne : Logik und Existenz . (Eine logistische Analyse der kategorischen Syllogismusfunktoren und das Problem der Nullklasse) Meisenheim 1954.
  • Michael Wolff : Abhandlung über die Prinzipien der Logik. Mit einer Rekonstruktion der aristotelischen Syllogistik . Zweite, verbesserte und erweiterte Auflage, Frankfurt am Main: Klostermann 2009. ISBN 978-3-465-03639-5 .
  • in englischer Sprache:
    • Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions , Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964. (einfache Darstellung)
    • William Kneale , Martha Kneale : The Development of Logic , Clarendon Press 1962. ISBN 0-19-824773-7 . (Standardwerk zur Geschichte der Logik)
    • Jan Łukasiewicz : Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic , Oxford: Clarendon Press 2 1957, danach Taylor & Francis 1987, ISBN 0-8240-6924-2 . und Oxford University Press 1998 (=Oxford University Press Academic Monograph Reprints), ISBN 0-19-824144-5 . (Standardwerk der modernen Syllogismusforschung)
    • Paul Thom: The Syllogism , München: Philosophia 1981, ISBN 3-88405-002-8 .

Weblinks

Commons : Syllogismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Syllogismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Übersetzung Wagner/Rapp
  2. So unterscheidet noch Meyers Großes Konversations-Lexikon von 1905 bis 1909 zwischen dem Syllogismus im weiteren Sinn („in der Logik im allgemeinen der Schluß überhaupt“ – Band 19, Seite 234) vom Syllogismus im engeren Sinn (dem „kategorischen S[chluss], dem Syllogismus des Aristoteles“ – Band 17, Seite 877).
  3. a b „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 263
  4. Albert Veraart: Galenische Figur, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 1. Band, Seite 699
  5. „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 265
  6. NI Kondakow: Wörterbuch der Logik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1. Aufl. 1978, Seite 410
  7. Jan Łukasiewicz : Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic , Oxford: Clarendon Press 2 1957.
  8. „The result [of Łukasiewicz's] is something of great interest, but very different from Aristotle's own conception of his work“ ( Kneale /Kneale: The Development of Logic, Seite 80)
  9. Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der „Ersten Analytik“ . 3. Aufl., Göttingen, 1969.
  10. Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 13, insbesondere das dort gebrachte Prior -Zitat „The Prior Analytics ... is not a book of syllogisms, but a book about syllogisms, and the statement ‚If B is predicable of every M, and M of every A, then B is predicable of every A' is a perfectly natural way of talking about syllogisms of the form ‚Every B is M, and every M is A, therefore etc.', and saying that all such syllogisms are valid.“
  11. Gereon Wolters: Syllogistik, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 4. Band, Seite 156–158, Seite 157, Spalte 2
  12. Als Beispiel für diese Sicht sei die Duden-Grammatik von 1966 genannt (Duden Band 4, 2. Auflage 1966, § 6020 c, Seite 540), die das Wort „sterblich“ in diesem Zusammenhang als eine Form von Umstandsergänzung betrachtet, genauer als Artergänzung (§ 5280, Seite 481): „Um eine Artergänzung handelt es sich aber auch dort, wo die Artangabe den ‚kopulativen' Verben folgt, weil wir ihr auch in diesen Fällen den Wert eines selbständigen Satzgliedes zusprechen[.]“ (§ 5285, Seite 481) bzw. „Neuere Auffassungen sprechen auch [den Kopulaverben] den gleichen Rang [eines Prädikats] zu“ (§ 5125, Seite 473)
  13. Ein Beispiel für diese Sicht ist die aktuelle Duden-Grammatik: „Prädikativverben verbinden sich mit einem Subjekts- oder Objektsprädikativ zu einem mehrteiligen Prädikat. Hierzu gehören die so genannten Kopulaverben [wie] sein “ (Duden Band 4, 7. Auflage 2005, § 577, Seite 421)
  14. „Since the seventeenth century most writers have adopted the suggestion of John Philoponus that the major term be defined as the predicate of the conclusion“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 71)
  15. „[I]t would probably be a mistake to lay much emphasis on the distinction. For in the detailed application of his theory Aristotle reasons as though his conditional statements were in effect rules of inference rather than theses.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 80)
  16. Christian Thiel: Logisches Quadrat , in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 1. Aufl. 1995, 2004, Band 3, Seite 423
  17. siehe z. B. Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 5f.
  18. „In order to justify Aristotle's doctrine as a whole it is necessary, then, that he assumed application for all the general terms with which he dealt.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 60, Hervorhebung im Original)
  19. Diese Variante der Definition entlehnt sich aus „Distribution“, in: Encyclopaedia Britannica , Band 4, 15. Aufl. 2003, Seite 129
  20. siehe Bird 1964, Seite 20–22
  21. „A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“ ( CL Hamblin : Fallacies. Methuen London 1970, ISBN 0-416-70070-5 , Seite 195)
  22. siehe CL Hamblin: Fallacies. Methuen London 1970. ISBN 0-416-70070-5 , Seite 117, wo allerdings in Fußnote 1 darauf hingewiesen wird, dass es Vorläufer gebe.
  23. Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 231–234
  24. Die Darstellung des indirekten Beweises im Syllogismus folgt sehr eng „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 262f.
  25. z. B. auch im Standardlehrbuch Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions , Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964, Seite 27ff.