Akse symmetri

Figurer med deres symmetriakser (stiplet). Figuren nederst til højre er ikke aksialt symmetrisk.

Aksial symmetri i arkitektur
( Castle Howard herregård )

Axial symmetri er spejlbilledarrangementet af tegn på begge sider af en imaginær linje. ^[1] I geometrien for aksial symmetri eller aksial symmetri er ækvivalente betegnelser for denne egenskab. En figur kaldes aksialt symmetrisk, hvis den er kortlagt på sig selv af den vinkelrette akse refleksion på sin symmetriakse .

I tilfælde af en todimensionel figur er aksial symmetri synonymt med spejlsymmetri . I tredimensionelle rum svarer den aksiale symmetri på den anden side til en rotationssymmetri omkring 180 ° (mens spejlsymmetrien i tredimensionelt rum er en symmetri til et symmetriplan ).

definition

En figur er aksialt symmetrisk, hvis der er en lige linje g, således at der for hvert punkt P i figuren er et andet punkt P 'i figuren (muligvis identisk med P), så forbindelseslinjen [PP'] bliver halveret ved rette vinkler ved denne lige linje.

En plan figur F kaldes aksialt eller aksialt symmetrisk, hvis der kan specificeres en lige linje g i dens plan, så F omdannes til sig selv ved reflektion ved g. ^[2]

Den lige linje g kaldes derefter symmetriaksen .

Eksempler

Som du kan se i den tilstødende figur, har firkanten præcis fire symmetriakser. Firkanter , der ikke er firkanter, har færre eller ingen symmetriakser. Et rektangel har for eksempel stadig to symmetriakser, nemlig de to vinkelretter på de modsatte sider og det ensartede trapez , dragefyrværket og antiparallelogrammet har stadig mindst en symmetriakse.
Cirklen har endda et uendeligt antal symmetriakser, da den er symmetrisk i forhold til hver diameter.
En anden figur med et uendeligt antal symmetriakser er den lige linje . Den er uendelig lang og derfor symmetrisk i forhold til hver akse vinkelret på den, samt aksen, der ligger på sig selv.
Ikke kun 2-dimensionelle figurer kan være aksialt symmetriske. Sfæren er aksialt symmetrisk i forhold til hver lige linje gennem midten. Dette skal ikke forveksles med flysymmetri. Kuglen er også plan symmetrisk. Det vil sige, at det er symmetrisk med hensyn til en refleksion om et plan, der indeholder kuglens centrum.
Kuboidet er også aksialt symmetrisk.
Kurven for cosinusfunktionen er også aksialt symmetrisk i forhold til y-aksen . Emnet axielt symmetriske funktioner undersøges mere detaljeret i det følgende afsnit.

Aksial symmetri af funktionsgrafer

oversigt

Funktion, hvis graf er aksialt symmetrisk med linjen x = a

En af de mest populære opgaver i skolen er at plotte grafen over en funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$ $f \ kolon D \ til \ mathbb {R}$ at bevise aksens symmetri. Hvis koordinatsystemets y-akse er symmetriaksen, skal det vises, at ligningen

f(-x)\,=\,f(x)

{\ displaystyle f (-x) \, = \, f (x)}

f (-x) \, = \, f (x)

for alle x af domænet $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ er tilfreds. Så siges grafen at være funktionen $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ er symmetrisk omkring y-aksen. Sådanne funktioner kaldes også lige funktioner . Denne betingelse siger, at funktionsværdierne for argumenterne $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-x$ skal matche.

Hvis man mere generelt gerne vil have en funktionsgrafs aksesymmetri i forhold til enhver lige linje parallelt med y-aksen med ligningen $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ undersøge, skal du teste, om funktionen $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ligningen

f(a-x)\,=\,f(a+x)

{\ displaystyle f (ax) \, = \, f (a + x)}

f (a-x) \, = \, f (a + x)

til en fest $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $en \ in \ mathbb {R}$ og for alle $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ opfyldt fra definitionens område. Ved at erstatte $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ med $x-a$ ${\ displaystyle xa}$ $x-a$ man opnår den tilsvarende betingelse

f(2a-x)\,=\,f(x).

{\ displaystyle f (2a-x) \, = \, f (x).}

f (2a-x) \, = \, f (x).

Eksempler

Den kvadratiske funktion fungerer som et eksempel

f(x)\,=\,x^{2}-1.

{\ displaystyle f (x) \, = \, x ^ {2} -1.}

f (x) \, = \, x ^ {2} -1.

Anvendelse af den nævnte betingelse for aksesymmetrien i forhold til y-aksens resultater

f(-x)\,=\,(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x).

{\ displaystyle f (-x) \, = \, ( -x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).}

f (-x) \, = \, ( -x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).

Grafen (en parabel) er derfor symmetrisk omkring y-aksen.

Der vil nu blive givet et eksempel på en funktion, hvis graf ikke er symmetrisk i forhold til y-aksen, men ikke desto mindre er aksialt symmetrisk. Funktionen

f(x)=x^{2}-4x+3

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -4x + 3}

f (x) = x ^ {2} -4x + 3

er et sådant eksempel. Påstanden er, at grafen over $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aksialt symmetrisk i forhold til lodret $x=2$ ${\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ er. Så det er sandt $a=2$ ${\ displaystyle a = 2}$ $a = 2$ og det følger

{\begin{aligned}f(2a-x)&=f(4-x)\\&=(4-x)^{2}-4(4-x)+3\\&=(16-8x+x^{2})-(16-4x)+3\\&=16-8x+x^{2}-16+4x+3\\&=x^{2}-4x+3\\&=f(x)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {justeret} f (2a-x) & = f (4-x) \\ & = (4-x) ^ {2} -4 (4-x) +3 \\ & = ( 16-8x + x ^ {2}) -(16-4x) +3 \\ & = 16-8x + x ^ {2} -16 + 4x + 3 \\ & = x ^ {2} -4x + 3 \\ & = f (x) \ end {align}}}

{\ begin {justeret} f (2a-x) & = f (4-x) \\ & = (4-x) ^ {2} -4 (4-x) +3 \\ & = (16-8x + x ^ {2}) -(16-4x) +3 \\ & = 16-8x + x ^ {2} -16 + 4x + 3 \\ & = x ^ {2} -4x + 3 \\ & = f (x) \ slut {justeret}}

Dette bekræfter antagelsen om aksial symmetri.

Generelt er grafen en kvadratisk funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ $f (x) = ax ^ {2} + bx + c$ aksialt symmetrisk i forhold til den lodrette lige linje gennem toppunktet $S=(x_{s},y_{s})$ ${\ displaystyle S = (x_ {s}, y_ {s})}$ $S = (x_ {s}, y_ {s})$ . Det er let at se, hvis du ser på funktionsudtrykket i toppunktsform $f(x)=a(x-x_{s})^{2}+y_{s}$ ${\ displaystyle f (x) = a (x-x_ {s}) ^ {2} + y_ {s}}$ $f (x) = a (x-x_ {s}) ^ {2} + y_ {s}$ omskriver.

Solid af revolution

En klasse af aksialt symmetriske legemer i det tredimensionale rum er rotationslegemerne. Et tredimensionelt objekt er et revolutionsfast, når en rotation gennem en hvilken som helst vinkel omkring en fast akse kortlægger objektet på sig selv. Denne akse er symmetriaksen. Det enkleste eksempel på et revolutionært faststof er cylinderen .

Plansymmetri

En anden generalisering af aksesymmetrien til det 3-dimensionelle rum er plan symmetri. En figur er præcist symmetrisk, hvis der er et plan, så figuren kortlægges på sig selv ved spejling af dette.

litteratur

↑ Aksial symmetri. I: Duden online. Hentet 21. november 2019 .
^ Arnfried Kemnitz: Matematik i begyndelsen af kurset . Grundlæggende viden til alle tekniske, matematiske, videnskabelige og økonomiske kurser. 9. reviderede og udvidede udgave. Springer-Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3 , s. 144 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning [adgang 21. november 2019]).

[1] Aksial symmetri. I: Duden online. Hentet 21. november 2019 .

[2] Arnfried Kemnitz: Matematik i begyndelsen af kurset . Grundlæggende viden til alle tekniske, matematiske, videnskabelige og økonomiske kurser. 9. reviderede og udvidede udgave. Springer-Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3 , s. 144 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning [adgang 21. november 2019]).

[1]

[2]