Tangent og cotangent

Graf over tangensfunktionen (argument x i radianer )

Diagram over cotangent -funktionen (argument x i radianer)

Tangent og cotangent er trigonometriske funktioner og spiller en fremtrædende rolle i matematik og dens anvendelsesområder. Tangens til vinklen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ vil med $\tan x$ ${\ displaystyle \ tan x}$ $\ tan x$ betegner vinklens cotangent $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ med $\cot x$ ${\ displaystyle \ barneseng x}$ $\ barneseng x$ . Stavemåden findes også i ældre litteratur $\operatorname {tg} x$ ${\ displaystyle \ operatorname {tg} x}$ $\ operatorname {tg} x$ for tangenten og $\operatorname {ctg} x$ ${\ displaystyle \ operatorname {ctg} x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ctg} x}$ for cotangenten.

definition

Historisk / geometrisk

Definition på enhedscirklen :

{\overline {DT}}=\tan b\ ;\ {\overline {EK}}=\cot b

{\ displaystyle {\ overline {DT}} = \ tan b \; \ {\ overline {EK}} = \ barneseng b}

\ overline {DT} = \ tan b \; \ \ overline {EK} = \ barneseng b

Udtrykket "tangent" kommer fra matematikeren Thomas Finck (1561–1656), der introducerede det i 1583. Udtrykket "cotangent" udviklede sig fra complementi tangens , dvs. tangenten af den komplementære vinkel . ^[1]

Valget af navnet tangent forklares direkte af definitionen i enhedscirklen. Funktionsværdierne svarer til længden af et tangentsnit:

{\overline {DT}}=\tan b\qquad \qquad {\overline {EK}}=\cot b

{\ displaystyle {\ overline {DT}} = \ tan b \ qquad \ qquad {\ overline {EK}} = \ barneseng b}

\ overline {DT} = \ tan b \ qquad \ qquad \ overline {EK} = \ barneseng b

En retvinklet trekant, med navnene på de tre sider relateret til en variabel vinkel α ved punkt A og en ret vinkel ved punkt C.

I en højre trekant er tangenten af en vinkel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ længdeforholdet mellem modsat katetus og tilstødende katetus og cotangenten længdeforholdet mellem tilstødende katetus og modsat katetus :

{\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\\\cot \alpha &={\frac {l_{\text{Ankathete}}}{l_{\text{Gegenkathete}}}}={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ alpha & = {\ frac {l _ {\ text {modsat side}}} {l _ {\ text {tilstødende}}}} = {\ frac {a} { b}} = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} \\\ barneseng \ alpha & = {\ frac {l _ {\ tekst {tilstødende side}}} {l _ {\ tekst { modsatte side}}}} = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} \ end {align}}}

{\ begin {align} \ tan \ alpha & = {\ frac {l _ {{\ text {modsat side}}}} {l _ {{\ text {tilstødende}}}}} = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} \\\ barneseng \ alpha & = {\ frac {l _ {{\ text {tilstødende}}}} {l _ {{ \ text {modsat side}}}}} = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} \ end {justeret}}

Det følger umiddelbart:

{\begin{aligned}\cot \alpha &={\frac {1}{\tan \alpha }}\\\tan \alpha &={\frac {1}{\cot \alpha }}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ cot \ alpha & = {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \\\ tan \ alpha & = {\ frac {1} {\ cot \ alpha}} \ slut {align}}}

\ begin {align} \ cot \ alpha & = \ frac {1} {\ tan \ alpha} \\ \ tan \ alpha & = \ frac {1} {\ cot \ alpha} \ end {align}

som

\tan \alpha =\cot \beta =\cot(90^{\circ }-\alpha ).

{\ displaystyle \ tan \ alpha = \ cot \ beta = \ cot (90 ^ {\ circ} - \ alpha).}

\ tan \ alpha = \ cot \ beta = \ cot (90 ^ \ circ- \ alpha).

Formel - med en række definitioner og værdier

Formelt kan tangentfunktionen gives ved hjælp af sinus- og cosinusfunktionerne

\tan \colon D_{\tan }\to W,

{\ displaystyle \ tan \ colon D _ {\ tan} \ til W,}

{\ displaystyle \ tan \ colon D _ {\ tan} \ til W,}

med

\tan x:={\frac {\sin x}{\cos x}}

{\ displaystyle \ tan x: = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}}}

\ tan x: = \ frac {\ sin x} {\ cos x}

kan defineres, ^[2] hvor værdiområdet $W.$ ${\ displaystyle W}$ $W.$ de rigtige afhængigt af applikationen $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ eller de komplekse tal $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ er. For at undgå nævneren $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ Bliver nul, bliver ved definitionsområdet $D_{\tan }$ ${\ displaystyle D _ {\ tan}}$ ${\ displaystyle D _ {\ tan}}$ nulerne i cosinusfunktionen udeladt :

D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}

{\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {R} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}

{\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {R} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}

i virkeligheden eller

D_{\tan }=\mathbb {C} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}

{\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}

{\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}

i komplekset.

Cotangenten kan analogt hermed

\cot \colon D_{\cot }\to W,

{\ displaystyle \ cot \ colon D _ {\ cot} \ til W,}

{\ displaystyle \ cot \ colon D _ {\ cot} \ til W,}

med

\cot x:={\frac {\cos x}{\sin x}}

{\ displaystyle \ cot x: = {\ frac {\ cos x} {\ sin x}}}

\ barneseng x: = \ frac {\ cos x} {\ sin x}

defineres, idet det er for sit definitionsdomæne

D_{\cot }=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}

{\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {R} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}

{\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {R} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}

i virkeligheden eller

D_{\cot }=\mathbb {C} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}

{\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {C} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}

{\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {C} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}

i de komplekse resultater, hvis det skal sikres, at nævneren $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$ er ikke lig med nul.

For det fælles domæne $\tan$ ${\ displaystyle \ tan}$ $\ tan$ og $\cot$ ${\ displaystyle \ barneseng}$ $\ barneseng$

\mathbb {C} \setminus {\Big \{}{\frac {k\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} {\ frac {k \ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \} }}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} {\ frac {k \ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \} }}

er gældende

\cot x={\frac {1}{\tan x}}.

{\ displaystyle \ cot x = {\ frac {1} {\ tan x}}.}

\ barneseng x = \ frac 1 {\ tan x}.

ejendomme

Tangentfunktionens oprindelse fra vinkelbevægelsen i enhedscirklen

periodicitet

Tangenten og cotangenten er periodiske funktioner med periode $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , så det er sandt $\tan(x+\pi )=\tan(x)$ ${\ displaystyle \ tan (x + \ pi) = \ tan (x)}$ $\ tan (x + \ pi) = \ tan (x)$ .

monotoni

Tangent: Stiger stramt monotont i det respektive interval.

Cotangent: faldende strengt monotont i det respektive interval.

Symmetrier

Punkt symmetrisk i forhold til koordinaternes oprindelse:

\tan(-x)=-\tan x\qquad \qquad \cot(-x)=-\cot x

{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x \ qquad \ qquad \ cot (-x) = - \ cot x}

\ tan (-x) = - \ tan x \ qquad \ qquad \ cot (-x) = - \ cot x

nulpunkt

Tangent:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$
Cotangent:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = \ venstre (\ frac {1} {2} + n \ højre) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$

Polakker

Tangent:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = \ venstre (\ frac {1} {2} + n \ højre) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$
Cotangent:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$

Vendepunkter

Tangent:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$
Cotangent:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$ $x = \ venstre (\ frac {1} {2} + n \ højre) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}$

Både tangentfunktionen og cotangentfunktionen har asymptoter, men ingen spring eller ekstremer.

Vigtige funktionelle værdier

tangent	cotangent	Udtryk	num. værdi
$\tan 0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 0 ^ {\ circ}}$ $\ tan0 ^ \ circ$	$\cot 90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ cot 90 ^ {\ circ}}$ $\ cot90 ^ \ circ$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	0
$\tan 15^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 15 ^ {\ circ}}$ $\ tan15 ^ \ circ$	$\cot 75^{\circ }$ ${\ displaystyle \ barneseng 75 ^ {\ circ}}$ $\ cot75 ^ \ circ$	$2-{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$ $2 - \ sqrt3$	0.2679491 ...
$\tan 18^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 18 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ tan 18 ^ {\ circ}}$	$\cot 72^{\circ }$ ${\ displaystyle \ cot 72 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ cot 72 ^ {\ circ}}$	${\sqrt {1-\textstyle {\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ textstyle {\ frac {2} {5}} {\ sqrt {5}}}}}}$ $\ sqrt {1- \ textstyle \ frac25 \ sqrt5}$	0.3249196 ...
$\tan 22{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$ $\ tan22 {,} 5 ^ \ cirk$	$\cot 67{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle \ cot 67 {,} 5 ^ {\ circ}}$ $\ cot67 {,} 5 ^ \ circ$	${\sqrt {2}}-1$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}$ $\ sqrt2-1$	0.4142135 ...
$\tan 30^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 30 ^ {\ circ}}$ $\ tan30 ^ \ circ$	$\cot 60^{\circ }$ ${\ displaystyle \ cot 60 ^ {\ circ}}$ $\ cot60 ^ \ circ$	$1/{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {3}}}$ $1 / \ sqrt3$	0.5773502 ...
$\tan 36^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 36 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ tan 36 ^ {\ circ}}$	$\cot 54^{\circ }$ ${\ displaystyle \ barneseng 54 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ barneseng 54 ^ {\ circ}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$ $\ sqrt {5-2 \ sqrt5}$	0.7265425 ...
$\tan 45^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 45 ^ {\ circ}}$ $\ tan45 ^ \ circ$	$\cot 45^{\circ }$ ${\ displaystyle \ barneseng 45 ^ {\ circ}}$ $\ cot45 ^ \ circ$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	1
$\tan 60^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 60 ^ {\ circ}}$ $\ tan60 ^ \ circ$	$\cot 30^{\circ }$ ${\ displaystyle \ cot 30 ^ {\ circ}}$ $\ cot30 ^ \ circ$	${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ $\ sqrt3$	1.7320508 ...
$\tan 67{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 67 {,} 5 ^ {\ circ}}$ $\ tan67 {,} 5 ^ \ circ$	$\cot 22{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle \ barneseng 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$ $\ cot22 {,} 5 ^ \ circ$	${\sqrt {2}}+1$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}$ $\ sqrt2 + 1$	2.4142135 ...
$\tan 75^{\circ }$ ${\ displaystyle \ tan 75 ^ {\ circ}}$ $\ tan75 ^ \ circ$	$\cot 15^{\circ }$ ${\ displaystyle \ barneseng 15 ^ {\ circ}}$ $\ cot15 ^ \ circ$	$2+{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$ $2 + \ sqrt3$	3.7320508 ...
$\lim _{\alpha \nearrow 90^{\circ }}\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ nearrow 90 ^ {\ circ}} \ tan \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ nearrow 90 ^ {\ circ}} \ tan \ alpha}$	$\lim _{\alpha \searrow 0^{\circ }}\cot \alpha$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ searrow 0 ^ {\ circ}} \ barneseng \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ searrow 0 ^ {\ circ}} \ barneseng \ alpha}$	$+\infty \,$ ${\ displaystyle + \ infty \,}$ ${\ displaystyle + \ infty \,}$	Førsteposition

^[3]

Omvendte funktioner

Bidragene opnås ved passende begrænsning af definitionens domæner:

tangent: $\tan \colon \;\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ tan \ colon \; \ venstre] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre [\ til \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ tan \ colon \; \ venstre] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre [\ til \ mathbb {R}}$ .

Din omvendte funktion

\operatorname {arctan} \colon \mathbb {R} \to \,\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[

{\ displaystyle \ operatorname {arctan} \ colon \ mathbb {R} \ to \, \ left] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right [}

{\ displaystyle \ operatorname {arctan} \ colon \ mathbb {R} \ to \, \ left] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right [}

kaldes arctangent og er derfor også bijektiv.

cotangent: $\cot \colon ]0,\,\pi [\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ cot \ colon] 0, \, \ pi [\ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ cot \ colon] 0, \, \ pi [\ to \ mathbb {R}}$ .

Din omvendte funktion

\operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \,]0,\,\pi [

{\ displaystyle \ operatorname {arccot} \ colon \ mathbb {R} \ to \,] 0, \, \ pi [}

{\ displaystyle \ operatorname {arccot} \ colon \ mathbb {R} \ to \,] 0, \, \ pi [}

kaldes arccotangent og er derfor også bijektiv.

Asymptoter

Fra de ensidige grænseværdier

\lim _{x\,\uparrow \,\pi /2}\tan x=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \, \ uparrow \, \ pi / 2} \ tan x = + \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \, \ uparrow \, \ pi / 2} \ tan x = + \ infty}

og

\lim _{x\,\downarrow \,-\pi /2}\tan x=-\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \, \ downarrow \, - \ pi / 2} \ tan x = - \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \, \ downarrow \, - \ pi / 2} \ tan x = - \ infty}

^[4]

hhv.

\lim _{x\downarrow 0}\cot x=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \ downarrow 0} \ cot x = + \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ downarrow 0} \ cot x = + \ infty}

og

\lim _{x\uparrow \pi }\cot x=-\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \ uparrow \ pi} \ cot x = - \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ uparrow \ pi} \ cot x = - \ infty}

^[5]

udlede grænseværdierne

\lim _{y\to +\infty }\operatorname {arctan} (y)={\tfrac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = {\ tfrac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = {\ tfrac {\ pi} {2}}}

og

\lim _{y\to -\infty }\operatorname {arctan} (y)=-{\tfrac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = - {\ tfrac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = - {\ tfrac {\ pi} {2}}}

^[4]

hhv.

\lim _{y\to +\infty }\operatorname {arccot} (y)=0

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = 0}

og

\lim _{y\to -\infty }\operatorname {arccot} (y)=\pi

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = \ pi}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = \ pi}

^[5]

her. Således kan man efter begrænsningen på intervallerne $\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[$ ${\ displaystyle \ venstre] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre [}$ ${\ displaystyle \ venstre] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre [}$ hhv. $]0,\,\pi [$ ${\ displaystyle] 0, \, \ pi [}$ ${\ displaystyle] 0, \, \ pi [}$ definitionens domæner i det mindste omkring slutpunkterne $-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ hhv. $0,\,\pi$ ${\ displaystyle 0, \, \ pi}$ ${\ displaystyle 0, \, \ pi}$ af intervallerne igen, og mens de værdiområder tilpasses, fortsætter de to funktioner kontinuerligt

{\widetilde {\tan }}\colon \,\left[-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to {\overline {\mathbb {R} }}

{\ displaystyle {\ widetilde {\ tan}} \ kolon \, \ venstre [- {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre] \ til { \ overline {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ widetilde {\ tan}} \ kolon \, \ venstre [- {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre] \ til { \ overline {\ mathbb {R}}}}

hhv.

{\widetilde {\cot }}\colon \,[0,\,\pi ]\to {\overline {\mathbb {R} }}

{\ displaystyle {\ widetilde {\ cot}} \ colon \, [0, \, \ pi] \ til {\ overline {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ widetilde {\ cot}} \ colon \, [0, \, \ pi] \ til {\ overline {\ mathbb {R}}}}

med ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$ end de udvidede reelle tal .

De udvidede funktioner på denne måde er også kontinuerligt reversible.

Serieudvikling

Tangent til | x | <½π (i radianer )

tangent: Taylor -serien med udviklingspunktet $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ( Maclaurin -serien ) læser for $|x|<{\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle | x | <{\ frac {\ pi} {2}}}$ $| x | <\ frac {\ pi} {2}$ ^[6]; ${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\cdot 2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)\cdot B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+{\frac {1382}{155925}}x^{11}+\dotsb \end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot \ venstre (2 ^ {2n} -1 \ højre) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n -1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n + 1}} {\ pi ^ {2n}}} \ cdot \ lambda (2n) \ cdot x ^ {2n-1} \\ & = x + {\ frac {1} {3} } x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + {\ frac {62} {2835}} x ^ {9} + {\ frac {1382} {155925}} x ^ {11} + \ dotsb \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot \ venstre (2 ^ {2n} -1 \ højre) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n -1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n + 1}} {\ pi ^ {2n}}} \ cdot \ lambda (2n) \ cdot x ^ {2n-1} \\ & = x + {\ frac {1} {3} } x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + {\ frac {62} {2835}} x ^ {9} + {\ frac {1382} {155925}} x ^ {11} + \ dotsb \ end {align}}}$

Er med $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ Bernoulli -tallene og λ (x) Dirichlet lambda -funktionen .

cotangent: Laurent -serien er til $0<|x|<\pi$ ${\ displaystyle 0 <| x | <\ pi}$ $0 <| x | <\ pi$ ^[7]; ${\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-{\frac {2}{93555}}x^{9}-\dotsb \end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n}} { (2n)!}} X ^ {2n -1} \\ & = {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {3}} x - {\ frac {1} {45}} x ^ {3} - {\ frac {2} {945}} x ^ {5} - {\ frac {1} {4725}} x ^ {7} - {\ frac {2} {93555}} x ^ {9} - \ dotsb \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n}} { (2n)!}} X ^ {2n -1} \\ & = {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {3}} x - {\ frac {1} {45}} x ^ {3} - {\ frac {2} {945}} x ^ {5} - {\ frac {1} {4725}} x ^ {7} - {\ frac {2} {93555}} x ^ {9} - \ dotsb \ end {align}}}$

Den delvise fraktion dekomponering af cotangene læser for $x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z}}$ $x \ in \ mathbb C \ setminus \ mathbb Z$

{\begin{aligned}\pi \cot \pi x&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+k}}+{\frac {1}{x-k}}\right)\\&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-k^{2}}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi \ cot \ pi x & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ venstre ({\ frac {1 } {x + k}} + {\ frac {1} {xk}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} { \ frac {2x} {x ^ {2} -k ^ {2}}}. \ end {align}}}

\ begin {align} \ pi \ cot \ pi x & = \ frac1x + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ left (\ frac1 {x + k} + \ frac1 {xk} \ right) \\ & = \ frac1x + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {2x} {x ^ 2-k ^ 2}. \ end {align}

Afledning

Når tangenten og cotangenten er afledt, vises de ellers mindre almindelige trigonometriske funktioner secant og cotangent:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ tan x = 1 + \ tan ^ {2} x = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x }} = \ sec ^ {2} x}

\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ tan x = 1 + \ tan ^ 2 x = \ frac {1} {\ cos ^ 2 x} = \ sec ^ 2 x

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-1-\cot ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ cot x = -1- \ cot ^ {2} x = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } x}} = - \ csc ^ {2} x}

\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ cot x = -1 - \ cot ^ 2 x = - \ frac1 {\ sin ^ 2x} = - \ csc ^ 2 x

det $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th derivater kan udtrykkes med polygamma -funktionen :

{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\tan x={\frac {\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{n}\,\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ tan x = {\ frac {\ psi _ {n} ({\ tfrac {1 } {2}} + {\ tfrac {x} {\ pi}}) - ( - 1) ^ {n} \, \ psi _ {n} ({\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {x} {\ pi}})} {\ pi ^ {n + 1}}}}

\ frac {\ mathrm {d} ^ n} {\ mathrm {d} x ^ n} \ tan x = \ frac {\ psi_n (\ tfrac12 + \ tfrac {x} {\ pi}) - ( - 1) ^ n \, \ psi_n (\ tfrac12- \ tfrac {x} {\ pi})} {\ pi ^ {n + 1}}

{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\cot x={\frac {(-1)^{n}\,\psi _{n}(1-{\tfrac {x}{\pi }})-\psi _{n}({\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ cot x = {\ frac {(-1) ^ {n} \, \ psi _ {n} (1 - {\ tfrac {x} {\ pi}}) - \ psi _ {n} ({\ tfrac {x} {\ pi}})} {\ pi ^ {n + 1}} }}

\ frac {\ mathrm {d} ^ n} {\ mathrm {d} x ^ n} \ cot x = \ frac {(- 1) ^ n \, \ psi_n (1- \ tfrac {x} {\ pi} ) - \ psi_n (\ tfrac {x} {\ pi})} {\ pi ^ {n + 1}}

Antiderivativer

tangent: $\int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln |{\cos x}|+C$ ${\ displaystyle \ int \ tan x \, \ mathrm {d} x = - \ ln | {\ cos x} | + C}$ ${\ displaystyle \ int \ tan x \, \ mathrm {d} x = - \ ln | {\ cos x} | + C}$ med $x\neq (2k+1){\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle x \ neq (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ neq (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}}$ $(k\in \mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle (k \ in \ mathbb {Z})}$ $(k \ in \ mathbb {Z})$ .; Ved hjælp af de logaritmiske love, det antiderivative $-\ln |{\cos x}|$ ${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} |}$ ${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} |}$ repræsentere som følger:; $-\ln |{\cos x}|=\ln |(\cos x)^{-1}|=\ln \left|{\frac {1}{\cos x}}\right|=\ln |\sec x|$ ${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} | = \ ln | (\ cos x) ^ { - 1} | = \ ln \ venstre | {\ frac {1} {\ cos x}} \ right | = \ ln | \ sek x |}$ ${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} | = \ ln | (\ cos x) ^ { - 1} | = \ ln \ venstre | {\ frac {1} {\ cos x}} \ right | = \ ln | \ sek x |}$; Her udpeget $\sec x$ ${\ displaystyle \ sec x}$ ${\ displaystyle \ sec x}$ sekanerne.
cotangent: $\int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sin x}|+C$ ${\ displaystyle \ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = \ ln | {\ sin x} | + C}$ ${\ displaystyle \ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = \ ln | {\ sin x} | + C}$ med $x\neq k\pi$ ${\ displaystyle x \ neq k \ pi}$ ${\ displaystyle x \ neq k \ pi}$ $(k\in \mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle (k \ in \ mathbb {Z})}$ $(k \ in \ mathbb {Z})$ .

Kompleks argument

\tan(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}

{\ displaystyle \ tan (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = {\ frac {\ sin (2x)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}} + \ mathrm { i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}}}

\ tan (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = \ frac {\ sin (2x)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)} + \ mathrm {i} \; \ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}

med

x,y\in \mathbb {R}

{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}

x, y \ in \ mathbb {R}

\cot(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-\sin(2x)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}

{\ displaystyle \ cot (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = {\ frac { - \ sin (2x)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)}} + \ mathrm {i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)}}}

\ cot (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = \ frac { - \ sin (2x)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)} + \ mathrm {i} \; \ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)}

med

x,y\in \mathbb {R}

{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}

x, y \ in \ mathbb {R}

Tilføjelsessætninger

Tilføjelsessætningerne for tangent og cotangent er

\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\,,\qquad \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}

{\ displaystyle \ tan (x \ pm y) = {\ frac {\ tan x \ pm \ tan y} {1 \ mp \ tan x \ tan y}} \ ,, \ qquad \ cot (x \ pm y) = {\ frac {\ cot x \ cot y \ mp 1} {\ cot y \ pm \ cot x}}}

\ tan (x \ pm y) = \ frac {\ tan x \ pm \ tan y} {1 \ mp \ tan x \ tan y} \ ,, \ qquad \ cot (x \ pm y) = \ frac {\ barneseng x \ barneseng y \ mp 1} {\ barneseng y \ pm \ barneseng x}

Af tilføjelsessætningerne følger det især for dobbelte vinkler

\tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}\,,\qquad \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}

{\ displaystyle \ tan (2x) = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}} \ ,, \ qquad \ cot (2x) = {\ frac {\ cot ^ {2 } x-1} {2 \ barneseng x}}}

\ tan (2x) = \ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x} \ ,, \ qquad \ cot (2x) = \ frac {\ cot ^ {2} x-1} { 2 \ barneseng x}

Repræsentation af sinus og cosinus ved hjælp af (co) tangenten

Opløsningen af de identiteter, der allerede er kendt fra afledningsafsnittet ovenfor

{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=1+\cot ^{2}x

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin ^ {2} x}} = 1+ \ barneseng ^ {2} x}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin ^ {2} x}} = 1+ \ barneseng ^ {2} x}

{\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x}

til $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$ eller. $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ Når det er begrænset til den første kvadrant , er resultatet en enkel:

\sin x={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}}}

til

0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}}

{\ displaystyle 0 <x \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle 0 <x \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}

\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}}

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}}

til

0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}}

{\ displaystyle 0 \ leq x <{\ tfrac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle 0 \ leq x <{\ tfrac {\ pi} {2}}}

De lidt mere komplicerede udvidelser til helheden $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ kan enten indstilles kompakt som en grænseværdi ved hjælp af gulvfunktionen $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor}$ eller repræsentere elementære funktioner defineret i sektioner:

\sin x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}\;={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;2k\pi <x<(2k+1)\pi \\{\frac {-1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(2k-1)\pi <x<2k\pi \\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=k\pi \end{cases}}

{\ displaystyle \ sin x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}} \; = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}} og {\ text { hvis}} \ eksisterer k \ in \ mathbb {Z} \ colon \; 2k \ pi <x <(2k + 1) \ pi \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } x}}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; (2k-1) \ pi <x <2k \ pi \\ 0, og {\ text { hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; x = k \ pi \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ sin x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}} \; = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}} og {\ text { hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; 2k \ pi <x <(2k + 1) \ pi \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } x}}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; (2k-1) \ pi <x <2k \ pi \\ 0, og {\ text { hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; x = k \ pi \ end {cases}}}

\cos x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\tan ^{2}t}}}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k-1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+1){\frac {\pi }{2}}\\{\frac {-1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k+1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+3){\frac {\pi }{2}}\\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=(2k+1){\frac {\pi }{2}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ cos x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} + {\ frac {1} {2 }} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} t}}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x }}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; (4k-1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}, og {\ text {if}} \ findes k \ in \ mathbb {Z} \ colon \; (4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 3) {\ frac {\ pi} {2}} \\ 0, og { \ text {if}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; x = (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ cos x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} + {\ frac {1} {2 }} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} t}}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x }}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; (4k-1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ in \ mathbb {Z} \ colon \; (4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 3) {\ frac {\ pi} {2}} \\ 0, og { \ text {if}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; x = (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \ end {cases}}}

Rationel parameterisering

Tangenten for den halve vinkel kan bruges til at beskrive forskellige trigonometriske funktioner gennem rationelle udtryk: Is $t=\tan {\frac {\alpha }{2}}$ ${\ displaystyle t = \ tan {\ frac {\ alpha} {2}}}$ $t = \ tan \ frac \ alpha2$ , det er det også

\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}.

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, \ quad \ cos \ alpha = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ { 2}}}, \ quad \ tan \ alpha = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}

\ sin \ alpha = \ frac {2t} {1 + t ^ 2}, \ quad \ cos \ alpha = \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}, \ quad \ tan \ alpha = \ frac {2t} {1-t ^ 2}.

Især er

\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto \ venstre ({\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} , {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ højre)}

\ R \ til \ R ^ 2, \ quad t \ mapsto \ venstre (\ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}, \ frac {2t} {1 + t ^ 2} \ højre)

en parameterisering af enhedscirklen med undtagelse af punktet $(-1,0)$ ${\ displaystyle (-1,0)}$ $(-1,0)$ (som svarer til parameteren $t=\infty$ ${\ displaystyle t = \ infty}$ $t = \ infty$ svarer til). En parameterværdi $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ svarer til det andet skæringspunkt for den lige linje, der forbinder $(-1,0)$ ${\ displaystyle (-1,0)}$ $(-1,0)$ og $(1,2t)$ ${\ displaystyle (1.2t)}$ $(1.2t)$ med enhedscirklen (se også enhedscirkel # rationel parameterisering ).

Anvendelse: tangent og hældningsvinkel

Eksempel på en hældning

Tangenten giver en vigtig figur for lineære funktioner : Hver lineær funktion

f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto mx+c

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; x \ mapsto mx + c}

f \ kolon \ R \ til \ R, \; x \ mapsto mx + c

har en lige linje som en graf . Tangenten for den (orienterede) vinkel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ mellem den positive x-retning og den lige linje er hældningen $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ den lige linje, dvs. $m=\tan \,\alpha$ ${\ displaystyle m = \ tan \, \ alpha}$ $m = \ tan \, \ alfa$ . Det er ligegyldigt hvilken af de to halvlinjer du vælger som det andet ben.

En vejs hældning forstås også som tangenten af hældningsvinklen. Eksemplet på billedet til højre viser en hældning på 10% svarende til en hældningsvinkel på cirka 5,7 ° med en tangent på 0,1.

Ansøgning i fysik

Tangent og cotangent kan bruges til at beskrive tidsafhængigheden af hastigheden, når et legeme kastes opad, hvis der antages en turbulent strømning for luftens strømningsmodstand ( Newton -friktion ). Koordinatsystemet er placeret på en sådan måde, at placeringsaksen peger opad. En differentialligning af formularen gælder derefter for hastigheden ${\dot {v}}=-g-kv^{2}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} = - g -kv ^ {2}}$ $\ dot {v} = -g - k v ^ 2$ med tyngdeaccelerationen g og en konstant k > 0. Så får vi:

v(t)=v_{g}\cdot \cot({\sqrt {gk}}t+c)\quad {\text{mit}}\quad c=\operatorname {arccot} \left({\frac {v(0)}{v_{g}}}\right)>0

{\ displaystyle v (t) = v_ {g} \ cdot \ cot ({\ sqrt {gk}} t + c) \ quad {\ text {med}} \ quad c = \ operatorname {arccot} \ left ({ \ frac {v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0}

v (t) = v_ {g} \ cdot \ cot ({\ sqrt {gk}} t + c) \ quad {\ text {med}} \ quad c = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac { v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0

,

hvori $v_{g}={\sqrt {\frac {g}{k}}}$ ${\ displaystyle v_ {g} = {\ sqrt {\ frac {g} {k}}}}$ $v_g = \ sqrt {\ frac {g} {k}}$ er den grænsehastighed, der nås i tilfælde af luftmodstand . På grund af de nære relationer mellem cotangent og tangent givet ovenfor, kan denne tidsafhængighed lige så let udtrykkes ved hjælp af tangenten:

v(t)=-v_{g}\cdot \tan \left({\sqrt {gk}}t-c'\right)\quad {\text{mit}}\quad c'=\arctan \left({\frac {v(0)}{v_{g}}}\right)>0

{\ displaystyle v (t) = - v_ {g} \ cdot \ tan \ left ({\ sqrt {gk}} t -c '\ right) \ quad {\ text {with}} \ quad c' = \ arctan \ left ({\ frac {v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0}

v (t) = - v_ {g} \ cdot \ tan \ left ({\ sqrt {gk}} t -c '\ right) \ quad {\ text {med}} \ quad c' = \ arctan \ venstre ({\ frac {v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0

.

Denne løsning gælder, indtil kroppen har nået det højeste punkt i sin bane (dvs. når v = 0, det er for $t={\frac {\pi /2-c}{\sqrt {gk}}}={\frac {c'}{\sqrt {gk}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {\ pi / 2-c} {\ sqrt {gk}}} = {\ frac {c '} {\ sqrt {gk}}}}}$ $t = \ frac {\ pi / 2 - c} {\ sqrt {gk}} = \ frac {c '} {\ sqrt {gk}}$ ), så skal du bruge den hyperbolske tangens til at beskrive følgende tilfælde med luftmodstand .

Differentialligning

Tangenten er en løsning på Riccati -ligningen

w'=1+w^{2}

{\ displaystyle w '= 1 + w ^ {2}}

w '= 1 + w ^ 2

.

Factoring den højre side giver

w'=1+w^{2}=(w+\mathrm {i} )(w-\mathrm {i} )

{\ displaystyle w '= 1 + w ^ {2} = (w + \ mathrm {i}) (w- \ mathrm {i})}

w '= 1 + w ^ 2 = (w + \ mathrm i) (w- \ mathrm i)

med den imaginære enhed $\mathrm {i}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ $\ mathrm {i}$ . Tangenten (som en kompleks funktion) har undtagelsesværdierne $\mathrm {i}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ $\ mathrm {i}$ , $-\mathrm {i}$ ${\ displaystyle - \ mathrm {i}}$ $- \ mathrm i$ : Disse værdier antages aldrig, fordi de konstante funktioner $\mathrm {i}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ $\ mathrm {i}$ og $-\mathrm {i}$ ${\ displaystyle - \ mathrm {i}}$ $- \ mathrm i$ Er løsninger af differentialligningen og eksistens- og entydighedssætningen udelukket, at to forskellige løsninger har samme værdi samme sted.

Se også

Weblinks

Commons : Tangent -funktion - samling af billeder, videoer og lydfiler

Wiktionary: tan - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Wikiversity: Tangent and Cotangent Course Materials

Individuelle beviser

↑ Josef Laub (red.) Lærebog i matematik til gymnasieskolens øverste niveau. 2. bind . 2. udgave. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6 , s. 223.
↑ Brug af reglen om tre er sin / cos = tan / 1.
↑ For den største fælles faktor $1{,}5^{\circ }={\frac {\pi }{120}}$ ${\ displaystyle 1 {,} 5 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {120}}}$ ${\ displaystyle 1 {,} 5 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {120}}}$ denne vinkel er
${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$
↑ ^a ^b Die Geraden $x=-\pi /2$ $x=-\pi /2$ $x=-\pi /2$ und $x=\pi /2$ $x=\pi /2$ $x=\pi /2$ sind senkrechte Asymptoten der Tangensfunktion $y=\tan(x)$ $y=\tan(x)$ $y=\tan(x)$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion $x=\operatorname {arctan} (y).$ $x=\operatorname {arctan} (y).$ $x=\operatorname {arctan} (y).$
↑ ^a ^b Die Geraden $x=0$ ${\displaystyle x=0}$ $x=0$ und $x=\pi$ $x=\pi$ $x=\pi$ sind senkrechte Asymptoten der Kotangensfunktion $y=\cot(x)$ $y=\cot(x)$ $y=\cot(x)$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion $x=\operatorname {arccot} (y).$ $x=\operatorname {arccot} (y).$ $x=\operatorname {arccot} (y).$
↑ Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.67
↑ Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.70

[1] Josef Laub (red.) Lærebog i matematik til gymnasieskolens øverste niveau. 2. bind . 2. udgave. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6 , s. 223.

[2] Brug af reglen om tre er sin / cos = tan / 1.

[3] For den største fælles faktor $1{,}5^{\circ }={\frac {\pi }{120}}$ ${\ displaystyle 1 {,} 5 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {120}}}$ ${\ displaystyle 1 {,} 5 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {120}}}$ denne vinkel er
${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}$

[tan-4] Die Geraden $x=-\pi /2$ $x=-\pi /2$ $x=-\pi /2$ und $x=\pi /2$ $x=\pi /2$ $x=\pi /2$ sind senkrechte Asymptoten der Tangensfunktion $y=\tan(x)$ $y=\tan(x)$ $y=\tan(x)$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion $x=\operatorname {arctan} (y).$ $x=\operatorname {arctan} (y).$ $x=\operatorname {arctan} (y).$

[cot-5] Die Geraden $x=0$ ${\displaystyle x=0}$ $x=0$ und $x=\pi$ $x=\pi$ $x=\pi$ sind senkrechte Asymptoten der Kotangensfunktion $y=\cot(x)$ $y=\cot(x)$ $y=\cot(x)$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion $x=\operatorname {arccot} (y).$ $x=\operatorname {arccot} (y).$ $x=\operatorname {arccot} (y).$

[6] Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.67

[7] Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.70

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]