Tonestruktur (matematisk beskrivelse)

En tonestruktur beskriver et tonesystem ved hjælp af toner og intervaller . Siden oldtiden har lydtilførslen til en musikalsk kultur været gengivet på den ene side ved at specificere tonehøjder og på den anden side ved begrebet interval. ^[1]

I dag beskrives højder og intervaller ved hjælp af frekvenser og frekvensforhold. Musikteorien om Pythagoras kendes ved hjælp af proportioner (= strengforhold på monokorden = reciprok af frekvensforholdene).

Den matematiske undervisning i toner og intervaller er imidlertid mulig uden disse fysiske termer (se beskrivelse af høringspsykologi ). De første kendte hørselspsykologiske beskrivelser af et lydsystem stammer fra Aristoxenus .

Den bestilte pladsplads

Hver tone kan tildeles en frekvens.

Eksempel: c ' (den stiplede c ) har frekvensen 264 Hz , e' frekvensen 330 Hz, g ' frekvensen 396 Hz og c' ' frekvensen 528 Hz. ^[2]

Toner kan skelnes i højden. Følgende gælder: Jo højere en tone lyder, jo højere er frekvensen. Fra et matematisk synspunkt er det en (transitiv og trikotomisk) streng totalorden.

Transitiv betyder: Fra en højere end b og b højere end c følger en højere end c .

Trichotomisch betyder: For toner a og b gælder følgende: Enten a = b eller en højere end b eller b højere end a .

Det bestilte additivintervallum

To toner hver $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (med frekvenserne $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ og $f_{2}$ ${\ displaystyle f_ {2}}$ $f_ {2}$ ) er klart et interval $x y$ ${\ displaystyle xy}$ $xy$ tildelt (med frekvensforholdet $q=f_{2}:f_{1}$ ${\ displaystyle q = f_ {2}: f_ {1}}$ ${\ displaystyle q = f_ {2}: f_ {1}}$ ).

Eksempel: oktav c'c '' har frekvensforholdet 528: 264 = 2, den rene femte c'g 'frekvensforholdet 396: 264 = 3: 2, den store tredje c'e' frekvensforholdet 330: 264 = 5: 4 og den mindre tredjedel e'g 'frekvensforholdet 396: 330 = 6: 5. ^[3]

Ved hver begyndende note $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ (med frekvensen $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ ) og ved hvert interval $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ (med frekvensforholdet $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ) er klart en slut tone $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (med frekvensen $f_{2}=f_{1}\cdot q$ ${\ displaystyle f_ {2} = f_ {1} \ cdot q}$ ${\ displaystyle f_ {2} = f_ {1} \ cdot q}$ ) af intervallet $i=xy$ ${\ displaystyle i = xy}$ ${\ displaystyle i = xy}$ tildelt.

Eksempel: Har en 'frekvensen

f_{1}=440\,\mathrm {Hz}

{\ displaystyle f_ {1} = 440 \, \ mathrm {Hz}}

{\ displaystyle f_ {1} = 440 \, \ mathrm {Hz}}

, så tonen har c '', hvilket er omkring en mindre tredjedel med frekvensforholdet

q=6:5

{\ displaystyle q = 6: 5}

{\ displaystyle q = 6: 5}

lyder højere, frekvensen

\textstyle f_{2}=440\,\mathrm {Hz} \cdot {\frac {6}{5}}=528\,\mathrm {Hz}

{\ displaystyle \ textstyle f_ {2} = 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot {\ frac {6} {5}} = 528 \, \ mathrm {Hz}}

{\ displaystyle \ textstyle f_ {2} = 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot {\ frac {6} {5}} = 528 \, \ mathrm {Hz}}

.

På musikernes sprog tilføjes intervaller, når de optræder efter hinanden. I denne forstand har intervalrummet en additiv struktur.

Eksempel: større tredjedel + mindre tredjedel = femte .

12 femtedele svarer nogenlunde til 7 oktaver . Forskellen er kendt som Pythagoras komma . Man skriver: Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver . Hvis du udfører tre rene større tredjedele efter hinanden (f.eks. Ce-gis-his ), får du et interval (fra c til hans ), der er lidt mindre end oktaven . Forskellen kaldes lille Diësis . Således: mindre Diësis = oktav - 3 større tredjedele .

Tilføjelsen af intervaller svarer til multiplikationen af frekvensforholdene og subtraktionen af intervaller svarer til opdelingen af frekvensforholdene.

Eksempel: Tilføjelsen af den mindre tredjedel + major tredjedel = femte svarer til multiplikationen

\textstyle {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {5}{4}}={\frac {3}{2}}

{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {5} {4}} = {\ frac {3} {2}}}

{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {5} {4}} = {\ frac {3} {2}}}

.

Frekvensforholdet for det pythagoranske komma beregnes som følger

\textstyle {\big (}{\frac {3}{2}}{\big )}^{12}:2^{7}=531441:524288

{\ displaystyle \ textstyle {\ big (} {\ frac {3} {2}} {\ big)} ^ {12}: 2 ^ {7} = 531441: 524288}

{\ displaystyle \ textstyle {\ big (} {\ frac {3} {2}} {\ big)} ^ {12}: 2 ^ {7} = 531441: 524288}

og den lille Diësis også

\textstyle 2:{\big (}{\frac {5}{4}}{\big )}^{3}=128:125

{\ displaystyle \ textstyle 2: {\ big (} {\ frac {5} {4}} {\ big)} ^ {3} = 128: 125}

{\ displaystyle \ textstyle 2: {\ big (} {\ frac {5} {4}} {\ big)} ^ {3} = 128: 125}

.

Intervaller kan sammenlignes med hensyn til størrelse. Følgende gælder: jo større intervallet er, desto større er dets frekvensforhold .

Frekvensforholdet stiger eksponentielt.

Eksempel:

interval	Frekvensforhold	interval	Frekvensforhold
1 oktav	2	1 femte	^_3/2
2 oktaver	4.	2 femtedele	^_9/4
3 oktaver	8.	3 femtedele	^_27/8
4 oktaver	16	4 femtedele	^_81/16
5 oktaver	32	5 femtedele	^_243/32
•••		•••

Fra et matematisk synspunkt er et intervalrum en arkimedisk ordnet kommutativ gruppe .

Intervaller og frekvensforhold

Strengt matematisk kan man formulere:

Der er en funktion $f\colon \,I\to Q$ ${\ displaystyle f \ colon \, I \ to Q}$ ${\ displaystyle f \ colon \, I \ to Q}$ fra den additive gruppe af intervaller $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ ind i den multiplikative gruppe af frekvensforhold $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ .

Kortlægningen er en homomorfisme , dvs. hvis to intervaller tilføjes, multipliceres deres frekvensforhold.

Eksempel : Fra

grosseTerz+kleineTerz=Quinte

{\ displaystyle major tredjedel + mindre tredjedel = femte}

{\ displaystyle major tredjedel + mindre tredjedel = femte}

følger:

f(grosseTerz)\cdot f(kleineTerz)=f(Quinte)

{\ displaystyle f (større tredjedel) \ cdot f (mindre tredjedel) = f (femte)}

{\ displaystyle f (større tredjedel) \ cdot f (mindre tredjedel) = f (femte)}

, Nemlig ^_5/4

\cdot

{\ displaystyle \ cdot}

\ cdot

^_6/5 = ^_3/2.

Sådanne funktioner vokser eksponentielt. For eksempel: Fra $f(Quinte)={\frac {3}{2}}$ ${\ displaystyle f (femte) = {\ frac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle f (femte) = {\ frac {3} {2}}}$ følger $f(12Quinten)=({\frac {3}{2}})^{12}$ ${\ displaystyle f (12Quinten) = ({\ frac {3} {2}}) ^ {12}}$ ${\ displaystyle f (12Quinten) = ({\ frac {3} {2}}) ^ {12}}$ .

Det omvendte af $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ er logaritmen til base 2. Det betyder, at størrelsen af et interval kan udtrykkes som et multiplum af enheden $O k t -en v e$ ${\ displaystyle octave}$ ${\ displaystyle octave}$ eller underenheden $C. e n t$ ${\ displaystyle cent}$ ${\ displaystyle cent}$ "måle" (hvor $1200Cent$ ${\ displaystyle 1200Cent}$ ${\ displaystyle 1200Cent}$ = $1Oktave$ ${\ displaystyle 1 oktav}$ ${\ displaystyle 1 oktav}$ ).

Eksempel : Der

f(Quinte)={\frac {3}{2}}

{\ displaystyle f (femte) = {\ frac {3} {2}}}

{\ displaystyle f (femte) = {\ frac {3} {2}}}

, følger

Quinte=\log _{2}({\frac {3}{2}})Oktave\approx 702Cent

{\ displaystyle femte = \ log _ {2} ({\ frac {3} {2}}) oktav \ ca. 702Cent}

{\ displaystyle femte = \ log _ {2} ({\ frac {3} {2}}) oktav \ ca. 702Cent}

. ^[4]

Mål størrelsen på intervaller

Intervaller kan angives som multipla af en oktav. Men subunit er cent ofte brugt.

Det er et logaritmisk mål for frekvensforholdene. Underenheden cent med definitionen 1200 cent = 1 oktav eller 1 halvtone på samme niveau = 100 cent muliggør på den ene side en klar idé om størrelsen på forskellige intervaller, hvilket også svarer til den musikalske fornemmelse. Det tillader dog ikke en nøjagtig gengivelse af alle de intervaller, der ikke kommer fra det lige så tempererede system , som f.eks B. alle intervaller for den rene eller mellemtonede tuning (undtagen trivialt, heltalets multipler af oktaven). Disse kan kun repræsenteres cirka, da deres centværdier er irrationelle ( sætning om Lindemann-Weierstrass ).

**eksempel**
interval	Frekvensforhold	størrelse
1 oktav	2	1200 øre
2 oktaver	4.	2400 øre
3 oktaver	8.	3600 øre
...
$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Oktaver	$2^{k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$	$1200\cdot k\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot k \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot k \, {\ text {Cent}}}$
$\log _{2}(q)$ ${\ displaystyle \ log _ {2} (q)}$ ${\ displaystyle \ log _ {2} (q)}$ Oktaver	$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$	$1200\cdot \log _{2}(q)\ {\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} (q) \ {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} (q) \ {\ text {Cent}}}$
lige halvtone = ¹ ⁄ ₁₂ oktav	${\sqrt[{12}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}}}$ $\ sqrt [12] {2}$	100 øre
ren mindre tredjedel	6: 5	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {6}{5}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 315{,}641\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {6} {5}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 315 {,} 641 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {6} {5}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 315 {,} 641 \, {\ text {Cent}}}$
ren større tredjedel	5: 4	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {5} {4}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 386 {,} 314 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {5} {4}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 386 {,} 314 \, {\ text {Cent}}}$
perfekt femte	3: 2	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {3} {2}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 701 {,} 955 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {3} {2}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 701 {,} 955 \, {\ text {Cent}}}$
Pythagoras komma	531441: 524288	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {531441}{524288}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 23{,}460\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {531441} {524288}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 23 {,} 460 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {531441} {524288}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 23 {,} 460 \, {\ text {Cent}}}$
lille Diësis	128: 125	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {128}{125}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 41{,}059\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {128} {125}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 41 {,} 059 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {128} {125}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 41 {,} 059 \, {\ text {Cent}}}$

\log _{2}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}2}}

{\ displaystyle \ log _ {2} x = {\ frac {\ log _ {b} x} {\ log _ {b} 2}}}

{\ displaystyle \ log _ {2} x = {\ frac {\ log _ {b} x} {\ log _ {b} 2}}}

(

\log _{b}

{\ displaystyle \ log _ {b}}

\ log _ {b}

= Logaritme til enhver base b> 0,

\log _{2}

{\ displaystyle \ log _ {2}}

{\ displaystyle \ log _ {2}}

= Logaritme til base 2).

Ved at bruge logaritmen ved beregning af centerne bliver multiplikationsstrukturen af frekvensforholdene intervallernes additive struktur igen.

Eksempel:

Quinte = mindre tredjedel + større tredjedel ≈ 315.641 cent + 386.314 cent = 701.955 cent.

Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver ≈ 12 701.955 cent - 7 1200 cent = 23.460 cent.

Lille diësis = oktav - 3 større tredjedele ≈ 1200 cent - 3 386,3137 cent ≈ 41,059 cent.

Beregning af intervallets størrelse og frekvensforholdet

er $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ intervallets frekvensforhold, derefter beregnes intervallets størrelse $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ til:

i=\log _{2}(q){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}(q){\text{ Cent}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} (q) {\ text {octave}} = 1200 \ cdot \ log _ {2} (q) {\ text {Cent}}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} (q) {\ text {octave}} = 1200 \ cdot \ log _ {2} (q) {\ text {Cent}}}

Eksempel: Den perfekte femte har frekvensforholdet på ${\tfrac {3}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2}}}$ ${\ tfrac {3} {2}}$ . Derefter beregnes deres størrelse

i=\log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}})\,{\text{Cent}}\approx 702\,{\text{Cent}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ text {octave}} = 1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2} }) \, {\ tekst {Cent}} \ ca. 702 \, {\ tekst {Cent}}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ text {octave}} = 1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2} }) \, {\ tekst {Cent}} \ ca. 702 \, {\ tekst {Cent}}}

På den anden side er $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ intervallet, beregnes frekvensforholdet $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ til:

q=2^{\frac {i}{\mathrm {Oktave} }}=2^{\frac {i}{1200\,\mathrm {Cent} }}

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {i} {\ mathrm {octave}}} = 2 ^ {\ frac {i} {1200 \, \ mathrm {cent}}}}

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {i} {\ mathrm {octave}}} = 2 ^ {\ frac {i} {1200 \, \ mathrm {cent}}}}

Eksempel 1: Størrelsesintervallet $3\,\mathrm {Oktaven} =3600\,\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle 3 \, \ mathrm {octaves} = 3600 \, \ mathrm {cents}}$ ${\ displaystyle 3 \, \ mathrm {octaves} = 3600 \, \ mathrm {cents}}$ har frekvensforholdet:

q=2^{\frac {3\,\mathrm {Oktaven} }{\mathrm {Oktave} }}=2^{\frac {3600\,\mathrm {Cent} }{1200\,\mathrm {Cent} }}=2^{3}=8

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {3 \, \ mathrm {octaves}} {\ mathrm {octave}}} = 2 ^ {\ frac {3600 \, \ mathrm {cents}} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = 2 ^ {3} = 8}

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {3 \, \ mathrm {octaves}} {\ mathrm {octave}}} = 2 ^ {\ frac {3600 \, \ mathrm {cents}} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = 2 ^ {3} = 8}

Eksempel 2: Den perfekte femte er cirka 702 cent, det er rigtigt $i=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ text {Cent}}}$ . Frekvensforholdet $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ beregnes derefter som:

q=2^{\frac {i}{1200\,\mathrm {Cent} }}=2^{\frac {1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}}{1200\,\mathrm {Cent} }}={\tfrac {3}{2}}

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {i} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = 2 ^ {\ frac {1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2} }) {\ text {Cent}}} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = {\ tfrac {3} {2}}}

{\ displaystyle q = 2 ^ {\ frac {i} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = 2 ^ {\ frac {1200 \ cdot \ log _ {2} ({\ tfrac {3} {2} }) {\ text {Cent}}} {1200 \, \ mathrm {Cent}}} = {\ tfrac {3} {2}}}

Eksempler på intervalrum

Et intervalrum består af sættet af alle intervaller i tonestrukturen, der skal overvejes kombineret med kombinationen af tilføjelsen af de tilhørende intervaller. Intervalstørrelserne på de enkelte stemninger er forskellige.

I følgende tabeller:

Ok = oktav (frekvensforhold $2\,\mathrel {\hat {=}} \,1200\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 2 \, \ mathrel {\ hat {=}} \, 1200 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 2 \, \ mathrel {\ hat {=}} \, 1200 \, {\ text {Cent}}}$ ),
H = halvtone (frekvensforhold ${\sqrt[{12}]{2}}\,\mathrel {\hat {=}} \,100\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} \, \ mathrel {\ hat {=}} \, 100 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} \, \ mathrel {\ hat {=}} \, 100 \, {\ text {Cent}}}$ ),
Q = femte (frekvensforhold ${\tfrac {3}{2}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,702\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 702 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 702 \, {\ text {Cent}}}$ ),
Q _m = ¼ decimalpunkt middelværdi femte (frekvensforhold ${\sqrt[{4}]{5}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,697\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {5}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 697 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {5}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 697 \, {\ text {Cent}}}$ ),
T = tredje oktav (frekvensforhold ${\tfrac {5}{4}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,386\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {5} {4}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 386 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {5} {4}} \, \ mathrel {\ hat {\ approx}} \, 386 \, {\ text {Cent}}}$ ).

Navnet på intervalrummet	Mellemrum
Systemet med fem Pythagoras indstillingsintervalrum	${\mathcal {Q}}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q} \mid x,y\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q} \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q} \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} \}}$
Det ¼ decimale punkt middel-tone femte system Mellemrum mellem middeltonestemning	${\mathcal {Q}}_{m}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q_{m}} \mid x,y\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {m} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q_ {m}} \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} \ }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {m} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q_ {m}} \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} \ }}$
Det femte-tredje system Intervalrum af rent humør	${\mathcal {QT}}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q} +z\cdot \mathrm {T} \mid x,y,z\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {QT}} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q} + z \ cdot \ mathrm {T} \ mid x, y, z \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {QT}} = \ {x \ cdot \ mathrm {Ok} + y \ cdot \ mathrm {Q} + z \ cdot \ mathrm {T} \ mid x, y, z \ in \ mathbb {Z} \}}$
Intervallet på tolv niveauer = intervallum med samme humør	${\mathcal {H}}=\{x\cdot \mathrm {H} \mid x\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {x \ cdot \ mathrm {H} \ mid x \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {x \ cdot \ mathrm {H} \ mid x \ in \ mathbb {Z} \}}$
Intervallet på 53 trin	$\textstyle {\mathcal {I}}_{53}=\{{\frac {n}{53}}\cdot \mathrm {Ok} \mid n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {I}} _ {53} = \ {{\ frac {n} {53}} \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {I}} _ {53} = \ {{\ frac {n} {53}} \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}$
Det altomfattende intervalrum (Alle intervaller kan opdeles efter behov.)	${\mathcal {A}}=\{r\cdot \mathrm {Ok} \mid r\in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {r \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid r \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {r \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid r \ in \ mathbb {R} \}}$

Delbarhed af intervaller

Generelt kan du ikke “opdele” intervaller ved at høre. Den "halve femtedel" (350 cent) skal være placeret mellem den mindre og den store tredjedel og er ikke et interval i tuningsystemet, hverken i Pythagoras eller i mellemtonen, ren eller lige tuning. Selv den halve oktav (600 cent) findes ikke i tuningsystemet i Pythagorean, middeltonen eller ren tuning. ^[5]

Høringen kan dog ganske sikkert skifte fra en nøgle til den "næste højere"; For eksempel i sangen " Tak for denne godmorgen ", hvor det nye vers ofte synges en stor 9/8 hel tone højere, mens der skiftes til en anden toneart. Sangernes sikkerhed er ganske vist ikke så stor, at de ikke ville blive væltet af et klaver, der var indstillet til den rigtige temperatur.

Pythagoras stemning

Grundlaget for den pythagoranske tuning er det femte system ${\mathcal {Q}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$ $\ mathcal Q$ med følgende intervaller:

interval	skildring	Frekvensforhold	Størrelse i øre
oktav	Ok (basisinterval)	2: 1	= 1200
Femte	Q (grundinterval)	3: 2	≈702
Hel tone	2 Q - Ok	9: 8	≈204
Pythagoras store tredjedel ( Ditonos )	2 hele toner = 4 Q - 2 OK	81:64	≈408
Fjerde	Ok - Q	4: 3	98498
Pythagoras halvtone ( Limma )	Quart -Ditonos = 3 Ok - 5 Sp	256: 243	≈90
pythagoras kromatisk halvtone ( apotom )	Hel tone Limma = 7Q - 4Ok	2187: 2048	≈114
Pythagoras komma	12 Q - 7 OK	531441: 524288	≈23
detaljeret tabel

Mellemtonet humør

Grundlaget for ¼-punkts middeltonetuning er fifth-punkt-middel-tone femte system med følgende intervaller:

interval	skildring	Frekvensforhold	Størrelse i øre
Oktav ok	Ok (basisinterval)	2: 1	= 1200
Femte Q _m	Q _m (grundinterval)		97697
Store tredjedel	4 Q _m - 2 OK = T	5: 4	6386
Fjerde	Ok - Q _m		3503
Lille sext	3 Ok - 4 Q _m = Ok - T	8: 5	14814
Mindre tredjedel	2 ok -. 3 sq _M		10310
Fantastisk sext	3 Q _m - Ok		90890
Hel tone	2 Q _m - Ok		≈193
Mindre syvende	2 ok - 2 kvm _M		71007
halvtone	3 ok -. 5 sq _M		≈117
Major syvende	5 sq _m - 2 ok		≈1083
detaljeret tabel

Navne på Eulers lernet

I den rene tuning er det ikke nok bare at angive tonebetegnelsen efter notebilledet. Der skal tilføjes en betegnelse, der viser, om de femtedele og tredjedele, der forekommer, er rene. Navnene på Eulers lernet er nyttige til dette:

Rene femtedele i femdelkredsen: ... es bfcgdae ...

Et syntonisk komma lavere ..., es, b, c, g, d, a, e ... (dybt komma før tonenavnet)

Et syntonisk komma højere ... 'es' b 'c' g 'd' a 'e ... (apostrof før tonenavnet)

Eksempel: ren major tredjedel: c, e og perfekt femte c g.

Eksempel: ren C -dur skala: cd, efg, a, h c.

Eksempel: ren A mindre skala :, a, hc, d, efg, a.

Hver hovednøgle har formen: 1 2, 3 4 5, 6, 7 8 eller '1' 2 3 '4' 5 6 7 '8 osv.

Hver mindre nøgle har formen: 1 2 '3 4 5' 6 '7 8 eller, 1, 2 3, 4, 5 6 7, 8 osv. Med "1" for den første tone og "2" for den anden tone osv. skalaen er oppe.

Ren stemning

Grundlaget for den rene tuning er det femte-tredje system ${\mathcal {QT}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {QT}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {QT}}}$ der består af formens intervaller

i=n\cdot {\text{Oktave}}+m\cdot {\text{Quinte}}+l\cdot {\text{große Terz}}

{\ displaystyle i = n \ cdot {\ text {octave}} + m \ cdot {\ text {5th}} + l \ cdot {\ text {major third}}}

{\ displaystyle i = n \ cdot {\ text {oktav}} + m \ cdot {\ tekst {femte}} + l \ cdot {\ tekst {større tredjedel}}}

med frekvensforholdene

q=2^{n}\cdot ({\frac {3}{2}})^{m}\cdot ({\frac {5}{4}})^{l}

{\ displaystyle q = 2 ^ {n} \ cdot ({\ frac {3} {2}}) ^ {m} \ cdot ({\ frac {5} {4}}) ^ {l}}

{\ displaystyle q = 2 ^ {n} \ cdot ({\ frac {3} {2}}) ^ {m} \ cdot ({\ frac {5} {4}}) ^ {l}}

består.

De vigtigste intervaller er:

Interval (eksempel)	skildring	Frekvensforhold	Størrelse i øre
Oktav c c '	Ok (basisinterval)	2: 1	= 1200
Femte cg	Q (grundinterval)	3: 2	≈702
Major tredje c, e	T (grundinterval)	5: 4	6386
Fjerde jf.	Ok - Sp	4: 3	98498
Lille sext c'as	Ok - T.	8: 5	14814
Mindre tredje c'er	Q - T	6: 5	16316
Major sjette c, a	Ok + T - Q	5: 3	≈884
Stor hel tone cd	2Q - Ok	9: 8	≈204
Lille hel tone d, e	T - (stor hel tone) = Ok + T - 2Q	10: 9	≈182
Mindre syvende gf (1. mulighed)	Ok - (stor hel tone) = 2Ok - 2Q	16: 9	≈996
Mindre syvende, ag (2. mulighed)	Ok - (lille hel tone) = 2Q - T	9: 5	181018
diatonisk halvtone, ef	Quart - T = Ok - Q - T	16:15	≈112
kromatisk halvton c, c skarp eller d ,, dis	stor hel tone - diatonisk halvtone = T + 3Q - 2Ok lille hel tone - diatonisk halvtone = 2T - Q	135: 128 25:24	≈92 ≈71
Major syvende kap	Ok - diatonisk halvtone = Q + T	15: 8	881088
Syntonisk komma , ee	2 (store hele toner) - T = 4Q - 2Ok - T	81:80	≈22
Lille Diësis ,, gis 'as	Ok - 3T	128: 125	≈41
store Diësis ,, fis '' tot	4 (mindre tredjedele) - Ok = 4Q - 4T - Ok	648: 625	≈63
detaljeret tabel

Superpartikelfraktioner eller overdimensionerede fraktioner har formen ${\frac {n+1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {n}}}$ (n = 1,2,3, ...). De enkelte intervaller med sådanne frekvensforhold er i femte-tredje system: oktav ^_(2/1), femte ^_(3/2), fjerde ^_(4/3), større tredjedel ^_(5/4), mindre tredjedel ^{_{(6/5 )}} , stor hel tone ^_(9/8), lille hel tone ^_(10/9), diatonisk halvtone ^_(16/15), kromatisk halvtone ^_(25/24) og syntonisk punkt ^_(81/80). ^[6] I det femte-tredje system er tæller og nævner af disse fraktioner kun produkter af 2, 3 og 5.

Det er vigtigt i denne sammenhæng: Intervaller, hvis frekvensforhold er superpartikelformede, kan ikke deles (især ikke halveret).

For at finde ud af et frekvensforhold for det femtedel-tredje system, hvis basisintervaller intervallet er sammensat, skal man beregne den tredobbelte logaritme.

Eksempel:

ligningen

{\frac {81}{80}}=2^{x}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{y}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{z},\quad x,y,z\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle {\ frac {81} {80}} = 2 ^ {x} \ cdot \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {y} \ cdot \ left ({\ frac { 5} {4}} \ højre) ^ {z}, \ quad x, y, z \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle {\ frac {81} {80}} = 2 ^ {x} \ cdot \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {y} \ cdot \ left ({\ frac { 5} {4}} \ højre) ^ {z}, \ quad x, y, z \ in \ mathbb {Z}}

har den unikke løsning, kaldet "tredobbelt logaritme": $x=-2,\ y=4$ ${\ displaystyle x = -2, \ y = 4}$ ${\ displaystyle x = -2, \ y = 4}$ og $z=-1$ ${\ displaystyle z = -1}$ ${\ displaystyle z = -1}$ .

Dette gælder intervallet $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ med frekvensforholdet 81:80 forholdet $i=-2\mathrm {Ok} +4\mathrm {Q} -\mathrm {T}$ ${\ displaystyle i = -2 \ mathrm {Ok} +4 \ mathrm {Q} - \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle i = -2 \ mathrm {Ok} +4 \ mathrm {Q} - \ mathrm {T}}$ (se syntonisk komma ).

Skalaerne for ren tuning i femtecirklen

Ved modulering til en nabotast ændres to toner, hvoraf den ene er genkendelig med et tegnændring, den anden lidt med et syntonisk komma . Dette kan bedst repræsenteres med navnene på Eulers tonenetværk : For tonen, der lyder et syntonisk komma lavere end x, bruges udtrykket x (dybt punkt x). Tilsvarende betegner 'x (apostrof x) den tone, der er et syntonisk komma højere end x. De femtedele i cirklen af femtedele ... som es bfcgda ... er alle rene (frekvensforhold 3: 2).

De rene skalaer i femdelkredsen har altid det samme udseende:

vægt	Skaler toner anført i en tabel
C -dur	ces	af	,det	fes	Total	, som	, b	ces	, A -moll	, som	, b	ces	,af	,det	fes	Total	, som
G -dur dur	Total	som	, b	ces	af	,det	, f	Total	, E -moll	,det	, f	Total	, som	, b	ces	af	,det
D -dur	af	det	, f	Total	som	, b	, c	af	, B -moll	, b	, c	af	,det	, f	Total	som	, b
En flad major	som	b	, c	af	det	, f	, G.	som	, F -moll	, f	, G.	som	, b	, c	af	det	, f
Es -dur	det	f	, G.	som	b	, c	, d	det	, C -moll	, c	, d	det	, f	, G.	som	b	, c
B -dur	b	c	, d	det	f	, G.	, a	b	, G -moll	, G.	, a	b	, c	, d	det	f	, G.
F -dur	f	G	, a	b	c	, d	, e	f	, D -moll	, d	, e	f	, G.	, a	b	c	, d
C -dur	c	d	, e	f	G	, a	, H.	c	, A -moll	, a	, H.	c	, d	, e	f	G	, a
G -dur	G	-en	, H.	c	d	, e	, fis	G	, E -moll	, e	, fis	G	, a	, H.	c	d	, e
D -dur	d	e	, fis	G	-en	, H.	, cis	d	, B -moll	, H.	, cis	d	, e	, fis	G	-en	, H.
En major	-en	H	, cis	d	e	, fis	, g skarp	-en	, Fis -moll	, fis	, g skarp	-en	, H.	, cis	d	e	, fis
E -dur	e	f skarp	, g skarp	-en	H	, cis	, dis	e	, c -moll	, cis	, dis	e	, fis	, g skarp	-en	H	, cis
B -dur	H	cis	, dis	e	f skarp	, g skarp	, ais	H	, Gis -moll	, g skarp	, ais	H	, cis	, dis	e	f skarp	, g skarp
F -dur	f skarp	g skarp	, ais	H	cis	, dis	,flødeis	f skarp	, D -moll	, dis	,flødeis	f skarp	, g skarp	, ais	H	cis	, dis
C -dur	cis	dis	,flødeis	f skarp	g skarp	, ais	, hans	cis	, En skarp minor	, ais	, hans	cis	, dis	,flødeis	f skarp	g skarp	, ais

De angivne mindre taster er naturlige mindre. I den harmoniske minor skal 6. og 7. grader stadig overvejes:

For, e -moll ,, c og ,, d
på, b -moll ,, g og ,, a
kl, f -moll ,, d og ,, e
i, c -moll ,, a og ,, h
ved, g -moll ,, e og ,, f skarp
i, d -moll ,, B og ,, C skarp
ved, a -moll ,, f skarp og ,, g skarp
kl, e -moll ,, c skarp og ,, d flad
med, b -moll ,, G -skarp og ,, en skarp
med, F -moll ,, d flad og ,, is
i, cis -moll ,, en skarp og ,, hans
i, gis -moll ,, eis og ,, fisis
kl, D-moll ,, hans og ,, cisis
ved, en skarp minor ,, f skarp og, g skarp

Ved overgang til mollnøglen skal følgende toner tilføjes

i ces minor noterne 'eses /' asas / 'heses
i g -moll noterne 'heses /' eses / 'fes
i d -moll noterne 'fes /' heses / 'ces
i a -mol noterne 'ces /' fes / 'ges
i es -moll tonerne 'gt /' ces / 'des
i B -moll noterne 'des /' gt / 'a -lejlighed
i f -moll noterne 'a flat /' des / 'es
i c -mol er tonerne 'es /' a flat / 'b
i g -moll noterne 'b /' es / 'f
i d -mol noterne 'f /' b / 'c
i a -mol noterne 'c /' f / 'g
i e -mol noterne 'g /' c / 'd
i h -moll noterne 'd /' g / 'a
i f -moll noterne 'a /' d / 'e
i c -moll noterne 'e /' a / 'h

Centværdierne for tonerne beregnes som følger:

bind	Størrelse i øre	Ske
Tilstødende toner, der kun adskiller sig ved skismaet (≈2 cent) er markeret med *.
c	= 0 *	i C -dur
, hans	≈2 *	fra C -dur
'c	≈22	fra d -moll

,, cis	≈71	ab, e -moll
af	≈90 *	fra en flad dur
, cis	≈92 *	fra D -dur
'af	≈112 *	fra f -moll
cis	≈114 *	fra B -dur

,, d	≈161	fra, f -moll
, d	≈182	fra F -dur
'eses	≈202 *	i g -moll
d	≈204 *	i C -dur
'd	25225	fra e -moll

,det	≈273 *	fra G -dur
,, dis	≈275 *	fra, F -moll
det	≈294 *	fra B -dur
, dis	6296 *	fra E -dur
'det	≈316 *	i c -moll
dis	≈318 *	fra C -dur

,, e	≈365	fra, g -moll
fes	≈384 *	fra C -dur
, e	≈386 *	i C -dur
'fes	≈406 *	fra en flad minor
e	≈408 *	fra D -dur
'e	29429	fra f -moll

, f	≈477 *	fra en flad dur
,,flødeis	≈478 *	fra, gis -moll
f	≈498 *	i C -dur
,flødeis	≈500 *	fra F -dur
'f	20520	fra g -moll

,, f skarp	69569	fra, a -moll
Total	≈588 *	fra D -dur
, fis	≈590 *	fra G -dur
'Total	≈610 *	fra B -mol
f skarp	≈612 *	fra E -dur

,, G	9659	ab, B -moll
, G.	≈680 *	fra B -dur
,, fisis	≈682 *	ab, en skarp minor
G	≈702	i C -dur
'G	23723	fra a -moll

, som	≈771 *	fra C -dur
,, g skarp	≈773 *	fra, b -moll
som	92792 *	fra Es -dur
, g skarp	94794 *	fra A -dur
'som	14814 *	i c -moll
g skarp	16816 *	fra F -dur

,, a	63863	ab, c -moll
, a	≈884 *	i C -dur
,, gisis	≈886 *	ab, en skarp minor
'heses	≈904 *	fra d -moll
-en	≈906 *	fra G -dur
'en	27927	fra B -moll

, b	≈975 *	fra D -dur
,, ais	≈977 *	ab, c -moll
b	≈996 *	fra F -dur
, ais	≈998 *	fra B -dur
'b	1018	i c -moll

,, H	671067	ab, d -moll
ces	861086 *	fra G -dur
, H.	≈1088 *	i C -dur
'ces	≈1108 *	fra G -dur
H	≈1110 *	fra A -dur
'H.	311131	fra cis -moll

,, c	51157	fra, e -mol
, c	781178 *	fra Es -dur
,, hans	≈1180 *	ab, d -moll
c '	= 1200	i C -dur

Beregningen af centværdierne her kan udføres i henhold til følgende skema. Med p = 1/12 Pythagoras komma ≈ 2,0 cent resulterer den pythagoranske cirkel med femtedele i ... es = 300-3p b = 1000-2p f = 500-pc = 0 g = 700 + pd = 200 + 2p a = 900 + 3p ... arrangeret efter halvtoner:

Peer	Pythagorean	enharmonisk
0	c = 0	hans = 12p
100	cis = 100 + 7p	des = 100-5p
200	d = 200 + 2p	eses = 200-10p
300	dis = 300 + 9p	es = 300-3p
400	e = 400 + 4p	fes = 400-8p
500	f = 500-p	is = 500 + 11p
600	f skarp = 600 + 6p	tot = 600-6p
700	g = 700 + s	asas = 700-11p
800	g skarp = 800 + 8p	som = 800-4p
900	a = 900 + 3p	heses = 900-9p
1000	ais = 1000 + 10p	b = 1000-2p
1100	h = 1100 + 5p	ces = 1100-7p
1200	c = 1200	deses = 1200-12p

Med p = ¹ / _12th Pythagoras komma ≈ 2,0 cent og K = syntonisk punkt ≈ 21,5 cent beregnes som:

,, cis = (100 + 7p-2K) cents = 71 cents (= interval c ,, cis = interval fra c til ,, cis)
'as = 800-4p + K = 814 cent (= interval fra c' as )
Interval ,, cis 'as = (700-11p + 3K) cents = 743 cent.
Frekvensforhold 2 ^{(700-11p + 3K) / 1200} = ^{^_192/125} ^[7]

Lige stemning

Grundlaget for lige tuning er intervallet på 12 trin ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ $\ mathcal H$ med følgende intervaller:

interval	skildring	Størrelse i øre
halvtone	H	= 100
Hel tone	2H	= 200
mindre tredjedel	3H	= 300
større tredjedel	4H	= 400
...
detaljeret tabel

Oktavens opdeling i 53 pladser

Grundlaget for denne stemning er intervallet på 53 trin $\textstyle {\mathcal {I}}_{53}=\{{\frac {n}{53}}\cdot \mathrm {Ok} \mid n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {I}} _ {53} = \ {{\ frac {n} {53}} \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {I}} _ {53} = \ {{\ frac {n} {53}} \ cdot \ mathrm {Ok} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}$ . Oktaven er opdelt i 53 lige store dele.

På tidspunktet for Zarlinus (1517–1590) lærte man på musikskoler, at den største tredjedel kun kan være inton, og at der er afvigelser fra Pythagoras tuning. Det er blevet lært, at skalaen skal indformes på en sådan måde, at dele kan tildeles de følgende intervaller.

cd = fg = 9 dele (stor hel tone)
de = ga = 8 dele (lille hel tone)
ef = hc = 5 dele (diatonisk halvtone)

Hvis du noterer afstanden på skalaen fra C i parentes og afstanden mellem noterne skrevet lavere ned, lyder C -durskalaen:

 c (0) ₉ d (9) ₈ , e (17) ₅ f (22) ₉ g (31) ₈ , a (39) ₉ , h (48) ₅ c (53)

, e ("lavpunkt e") betyder her i en ændring af Eulers notation : ", e lyder 1/53 oktav lavere end e" osv. ^[8]

Så her er skalaen opdelt i 53 dele, hvor

 større tredjedel c, e = 17 dele
Femte = cg = 31 dele ^[9]

Skalaerne i cirkel af femtedele er noteret fra c. Niveauet på 53 -skalaen i parentes:

 C -dur: c (0) d (9), e (17) f (22) g (31), a (39), h (48) c (53)
G -dur: c (0) d (9), e (17), f skarp (26) g (31) a (40), b (48) c (53)
D -dur :, c skarp (4) d (9) e (18), f skarp (26) g (31) a (40), b (48), c skarp (57)
A -dur :, c skarp (4) d (9) e (18), f skarp (26), g skarp (35) a (40) h (49), c skarp (57)
E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57)
H-Dur: cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58)
Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58)
Cis-Dur: cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58)

C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53)
F-Dur: c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53)
B-Dur: c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53)
Es-dur: ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52)
As-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52)
Des-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52)
Ges-dur: ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48)
Ces-dur: ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48)

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“ ^[10]

Die 53-stufige gleichförmige Stimmung

Stufe	Abstand von c in Cent	reine Stimmung in Cent
00	0	c=0 ,his=2
01	23	'c=22 his=23
02	45	...cis=49
03	68	,,cis=71
04	91	des=90 ,cis=92
05	113	'des=112 cis=114
06	136	''des=133
07	158	,,d=161
08	181	,d=182 ,,cisis=184
09	204	'eses=202 d=204 ,cisis=206
10	226	'd=225 cisis=227
11	249	,,,dis=253
12	272	,es=273 ,,dis=275
13	294	es=294 ,dis=296
14	317	'es=316 dis=318
15	340	''es=337
16	362	,,e=365
17	385	fes=384 ,e=386
18	408	'fes=406 e=408
19	430	'e=429
20	453	,,,eis=257 '''fes=449
21	475	,f=477 ,,eis=478
22	498	f=498 ,eis=500
23	521	'f=520 eis=522
24	543	,,,fis=547
25	566	,,fis=569
26	589	ges=588 ,fis=590
27	611	'ges=610 fis=612
28	634	"ges=631
29	657	,,g=659
30	679	,g=680 ,,fisis=682
31	702	g=702 ,fisis=704
32	725	'g=723 fisis=725
33	747	,,,gis=751
34	770	,as=771 ,,gis=772
35	792	as=792 ,gis=794
36	815	'as=814 gis=816
37	838	"as =835
38	860	,,a=863
39	883	,a=884 ,,gisis=886
40	906	'heses=904 a=906
41	928	'a=927 gisis=929
42	951	,,,ais=955
43	974	,b=975 ,,ais=977
44	996	b=996 ,ais=998
45	1019	'b=1018 ais=1020
46	1042	"b=1039
47	1064	,,h=1067
48	1087	ces=1086 ,h=1088
49	1109	'ces=1108 h=1110
50	1132	'h=1131
51	1155	,,c=1157
52	1177	,c=1178 ,,his1180
53	1200	c=1200

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

Intervall	Größe in Cent	Stufe im 53-System	Größe in Cent	Unterschied genau
diat. Halbton	112	05	113	−1,48
kleiner Ganzton	182	08	181	+1,29
großer Ganzton	204	09	204	+0,13
kleine Terz	316	14	317	−1,34
große Terz	386	17	385	+1,40
Quarte	498	22	498	−0,07
Tritonus	590	26	589	+0,07
Quinte	702	31	702	−1,41
kleine Sext	814	36	815	−1,01
große Sext	884	39	883	+1,34
Kleine Septime I	996	44	996	−0,14
Kleine Septime II	1018	45	1019	−1,27
große Septime	1088	48	1087	+1,47
Oktave	1200	53	1200	0,00

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his / des und ,cis / 'es und dis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Die 53stufige Skala in reiner Stimmung nach Tanaka

Tanaka Shōhei betrachtet in seiner Dissertation 1890 die folgende 53-Skala in reiner Stimmung . Er verwendet dabei die Eulerschreibweise (mit Unter- und Oberstrich statt Tief- und Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

Waagrechte Tonfolgen sind reine Quinten mit dem Frequenzverhältnis ³ / ₂ ; zum Beispiel cgd ...
Tonfolgen schräg nach links unten sind reine Großterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁵ / ₄ ; zum Beispiel c 'as ''fes ...
Tonfolgen schräg nach rechts unten sind reine Kleinterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁶ / ₅ ; zum Beispiel c 'es ''ges ...

 ,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis
     / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
    / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
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  ,,d ,,a ,,e ,,h ,,fis ,,cis ,,gis ,,dis ,,ais
   \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
    \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
     \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
     ,f ,c ,g ,d ,a ,e ,h ,fis ,cis
       \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
        \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
         \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
          as es bfcgdae
           \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
            \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
             \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
            'ces 'ges 'des 'as 'es 'b 'f 'c 'g
               \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
                \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
                 \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
                ''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b

Erweitert man diese waagrechten und schrägen Tonfolgen, kann man auf den Tonvorrat der 53-Skala zurückgreifen, wenn man Töne - obgleich numerisch verschiedenartig - enharmonisch "schismatisch" (±S) bzw. "kleismatisch" (±K) verwechselt.

S : Schismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel ,his-c oder h-'ces usw. unterscheiden sich um ein Schisma = Pythagoreisches Komma - Syntonisches Komma ≈ 2 Cent.

K : Kleismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel '''des-,,,cis oder '''fes-,,,eis oder c-,,,,,,hisis usw. unterscheiden sich um ein Kleisma = 2Oktaven - 6(kleineTerzen) - Quarte = 6Großterzen - 5Quinten + Oktave ≈ 8 Cent. ^[11]

Zum Beispiel:

In der Quintenfolge cgdaeh kann man h durch 'ces ersetzten mit einer Ungenauigkeit von einem Schisma.
In der Großterzenfolge c 'as ''fes '''des kann man '''des ersetzten durch ,,,cis mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.
In der Kleinterzenfolge c 'es ''ges ''bb (Tanakas Schreibweise bb=heses) kann man das ''bb ersetzen durch ,,,,ais mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.

Erläuterung zur Originaltabelle von Tanaka: Setzt man das Parallelogramm nach allen Seiten fort, so erhält man:

oben je einen Ton zusätzlich rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darüber

 ,,,,dis ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
    / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
   / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis ,,,cisis

unten je einen Ton rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darunter

 ''asas ''eses ''bb ''fes ''ces 'ges ''des ''as ''es ''b ''f
        / \ /\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
       / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces '''ges '''des '''as

Die enharmonischen Verwechslungen sind hierbei oben

,,,h=''b+KS / ,,,cisis=,,d+S (K=Kleisma≈8 Cent, S=Schisma≈2 Cent)

,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K

,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

und unten

''asas='gS / ''f=,,,fis-K+S

'''feses=''es-S / '''ceses=''bS / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K

'bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

„Wenn man sich damit begnügt, in den äußersten Modulationsfällen, dh wenn die Töne außerhalb der Grenzen eines Parallelogramms zur Anwendung gebracht werden, die beiden Verwechslungen wirklich eintreten zu lassen, so gestattet die 53stufige Leiter absolute Freiheit der Modulation nach allen Richtungen.“

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos . ^[12] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert. ^[13]

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar $(x,y)$ ${\displaystyle (x,y)}$ $(x,y)$ wird ein eindeutiges Intervall $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ von $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ zu $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ und das Intervall $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ bekannt, so ist durch $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ der Endton $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ eindeutig bestimmt.

Die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition: Ist $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ $i={\overrightarrow {xy}}$ und $j={\overrightarrow {yz}}$ $j={\overrightarrow {yz}}$ $j={\overrightarrow {yz}}$ , dann ist $i+j={\overrightarrow {xz}}$ $i+j={\overrightarrow {xz}}$ $i+j={\overrightarrow {xz}}$ .

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben $i<j$ ${\displaystyle i<j}$ $i<j$ , wenn der Endton von $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ höher als der Endton von $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen . Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe . Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Zum Messen der Intervallgröße eignet sich als Maßeinheit die Oktave mit der Untereinheit Cent mit 1200 Cent = 1 Oktave.

Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr so groß wie sieben Oktaven. Daraus folgt: 12 Quinten ≈ 7 Oktaven, also Quinte ≈ ${\frac {7}{12}}$ ${\frac {7}{12}}$ ${\frac {7}{12}}$ Oktave = 700 Cent.

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = ⁷ ⁄ ₁₂ Oktave = 700 Cent . Entsprechend:
Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = ¹ ⁄ ₃ Oktave =400 Cent . ^[14] Hier kann man nun weiter rechnen :
Kleine Terz = Quinte − große Terz = ¹ ⁄ ₄ Oktave =300 Cent und
Halbton = Große Terz − kleine Terz = ¹ ⁄ ₁₂ Oktave =100 Cent .
So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen. ^[12]

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat eine Größe von 9 Teilen , der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen .

verminderte Terz B-Gis = 10 Teile

Hieraus folgt:

Oktave = 1200 Cent = 3 große Ganztöne + 2 kleine Ganztöne + 2 diatonische Halbtöne = 53 Teile
große Terz = großer Ganzton + kleiner Ganzton = 17 Teile = 385 Cent
kleine Terz = großer Ganzton + diatonischer Halbton = 14 Teile = 317 Cent
Quinte = große Terz + kleine Terz = 31 Teile = 702 Cent ^[15]

Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.

diatonischer Halbton = 5 Teile
kleiner Ganzton = 8 Teile
Großer Ganzton = 9 Teile
verminderte Terz (siehe nebenstehendes Beispiel B - Gis = BA (5Teile) + A-Gis (5 Teile) = 10 Teile

Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok =Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier ^[12] )

53 Q = 31 Ok (kein Unterschied zwischen Ausgangston und oktaviert nach 53 Quinten hörbar)
12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (kein Unterschied zwischen syntonischem Komma und pythagoreischem Komma hörbar). Umgeformt ergibt sich 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalische interpretiert: kein Unterschied zwischen gis und 'as. (Der genaue Unterschied zwischen gis und 'as ist ein Schisma = 2 Cent.).

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = ¹ / ₅₃ Ok:

Ok = 53k
Q = 31k
gT = 17k ^[16]

Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

Quarte = Ok - Q = 22k
kleine Terz = Q - gT = 14k
großer Ganzton = 2Q - Ok = 9k
kleiner Ganzton = gT - großer Ganzton = 8k
diatonischer Halbton = gT - kleine Terz = 5k

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

Axiom : Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt:

f(Ok) = 2
f(Q) = ³ / ₂ und
f(gT) = ⁵ / ₄

Homomorphismus besagt: f(i ₁ +i ₂ ) = f(i ₁ )•f(i ₂ ) und f(r•i) = f(i) ^r für Intervalle i ₁ , i ₂ und i sowie für eine reelle Zahl r ^[17] .

Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:

f(r•Ok) = 2 ^r = ³ / ₂ also Q = log ₂ ( ³ / ₂ )Ok = 701,955 Cent
f(s•Ok) = 2 ^s = ⁵ / ₄ also gT = log ₂ ( ⁵ / ₄ )Ok = 386,314 Cent.

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Die 12-stufige Tastatur

Frequenzverhältnis	Intervallgröße in Cent	Intervallbezeichnung
1	0	Prim
${\sqrt[{12}]{2^{1}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{1}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{1}}}$	100	gleichstufiger Halbton
${\sqrt[{12}]{2^{2}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{2}}}$ $\sqrt[12]{2^2}$	200	gleichstufiger Ganzton
${\sqrt[{12}]{2^{3}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{3}}}$ $\sqrt[12]{2^3}$	300	gleichstufige kleine Terz
${\sqrt[{12}]{2^{4}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{4}}}$ $\sqrt[12]{2^4}$	400	gleichstufige große Terz
${\sqrt[{12}]{2^{5}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{5}}}$ $\sqrt[12]{2^5}$	500	gleichstufige Quarte
${\sqrt[{12}]{2^{6}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{6}}}$ $\sqrt[12]{2^6}$	600	gleichstufiger Tritonus
${\sqrt[{12}]{2^{7}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{7}}}$ $\sqrt[12]{2^7}$	700	gleichstufige Quinte
${\sqrt[{12}]{2^{8}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{8}}}$ $\sqrt[12]{2^8}$	800	gleichstufige kleine Sexte
${\sqrt[{12}]{2^{9}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{9}}}$ $\sqrt[12]{2^9}$	900	gleichstufige große Sexte
${\sqrt[{12}]{2^{10}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{10}}}$ $\sqrt[12]{2^{10}}$	1000	gleichstufige kleine Septime
${\sqrt[{12}]{2^{11}}}$ ${\sqrt[{12}]{2^{11}}}$ $\sqrt[12]{2^{11}}$	1100	gleichstufige große Septime
2	1200	Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es usw

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C -Cis, C-Des*, CD, C-Dis*, C-Es, CE, …, Cis -Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des* -Es, Des*-E, …, D -Dis*, D-Es, DE, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-BFCGDAEH-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Cis-Des*	Deses	524288/531441	−23,460	−12Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sekunde = − Pythagoreisches Komma ^[18]
EF	Des	256/243	90,225	−5Q + 3Ok	pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis	Cis	2187/2048	113,685	7Q − 4Ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536/59049	180,450	−10Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Terz
CD	D	9/8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des-Dis	Cisis	4782969/4194304	227,370	14Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis-Ges	Feses	16777216/14348907	270,675	−15Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
DF	Es	32/27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683/16384	317,595	9Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192/6561	384,360	−8Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Quarte
CE	E	81/64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreische große Terz = Ditonos
Ges-Ais	Disis	43046721/33554432	431,280	16Q − 9Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges*	Geses	2097152/1594323	474,585	−13Q + 8Ok	pythagoreische doppeltverminderte Quinte
CF	F	4/3	498,045	−Q + Ok	Quarte
Es-Gis	Eis	177147/131072	521,505	11Q − 6Ok	pythagoreische übermäßige Terz
EB	Ges	1024/729	588,270	−6Q + 4Ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729/512	611,730	6Q − 3Ok	pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-es	Asas	262144/177147	678,495	−11Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sexte
CG	G	3/2	701,955	Q	Quinte
Es-Ais*	Fisis	1594323/1048576	725,415	13Q − 7Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais-ges	Heseses	67108864/43046721	768,720	−16Q + 10Ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
Ec	As	128/81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sext
C-Gis	Gis	6561/4096	815,640	8Q − 4Ok	pythagoreische übermäßige Quinte
Cis-B	Heses	32768/19683	882,405	−9Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Septime
CA	A	27/16	905,865	3Q − Ok	pythagoreische große Sexte
Des-Ais	Gisis	14348907/8388608	929,325	15Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis-des	ceses	8388608/4782969	972,630	−14Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
CB	B	16/9	996,090	−2Q + 2Ok	pythagoreische kleine Septime
Es-cis	Ais	59049/32768	1019,550	10Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sexte
Cis-c	ces	4096/2187	1086,315	−7Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Oktave
CH	H	243/128	1109,775	5Q − 2Ok	pythagoreische große Septime
Cis-des*	deses	1048576/531441	1176,540	−12Q + 8Ok	pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sekunde)
Cc	c	2/1	1200	Ok	Oktave

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung

Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C) -(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis) -(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*) -(Es), (Des*)-(E), …, (D) -(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.

w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.

w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

w={\sqrt[{4}]{5}},\ w^{2}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}{\text{ und }}w^{3}={\sqrt[{4}]{5^{3}}}.

w={\sqrt[{4}]{5}},\ w^{2}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}{\text{ und }}w^{3}={\sqrt[{4}]{5^{3}}}.

w={\sqrt[{4}]{5}},\ w^{2}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}{\text{ und }}w^{3}={\sqrt[{4}]{5^{3}}}.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

Ok = Oktave
Q _m = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Q _m − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*)	(Deses)	128:125	41,059	−12Q _m + 7Ok = −3T + Ok	(größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis
(C)-(Cis)	(Cis)	(5:16)w ³	76,049	7Q _m − 4Ok = 2T − Q _m	chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F)	(Des)	(8:25)w ³	117,108	−5Q _m + 3Ok = −T − Q _m + Ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des)-(Dis)	(Cisis)	(125:256)w ²	152,098	14Q _m − 8Ok = 4T − 2Q _m	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D)	(D)	(1:2)w ²	193,157	2Q _m − Ok	mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64:125)w ²	234,216	−10Q _m + 6Ok = −3T + 2Q _m	mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25:32)w	269,206	9Q _m − 5Ok = 2T + Q _m − Ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F)	(Es)	(4:5)w	310,265	−3Q _m + 2Ok = −T + Q _m	mitteltönige kleine Terz
(Ges)-(Ais)	(Disis)	625:512	345,255	16Q _m − 9Ok = 4T − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis)-(Ges)	(Feses)	(512:625)w	351,324	−15Q _m + 9Ok = −4T + Q _m + Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E)	(E)	5:4	386,314	4Q _m − 2Ok = T	große Terz
(Cis)-(F)	(Fes)	32:25	427,373	−8Q _m + 5Ok = −2T + Ok	verminderte Quarte
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25:64)w ³	462,363	11Q _m − 6Ok = 3T − Q _m	mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F)	(F)	(2:5)w ³	503,422	−Q _m + Ok	mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256:625)w ³	544,480	−13Q _m + 8Ok = −3T − Q _m + 2Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H)	(Fis)	(5:8)w ²	579,471	6Q _m − 3Ok = T + 2Q _m − Ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16:25)w ²	620,529	−6Q _m + 4Ok = −2T + 2Q _m	mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125:128)w	655,520	13Q _m − 7Ok = 3T + Q _m − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G)	(G)	w	696,578	Q _m	mitteltönige Quinte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128:125)w	737,637	−11Q _m + 7Ok = −3T + Q _m + Ok	mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis)	(Gis)	25:16	772,627	8Q _m − 4Ok = 2T	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c)	(As)	8:5	813,686	−4Q _m + 3Ok = −T + Ok	kleine Sexte
(Des)-(Ais)	(Gisis)	(125:256)w ³	848,676	15Q _m − 8Ok = 4T − Q _m	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais)-(ges)	(Beses)	1024:625	854,745	−16Q _m + 10Ok = 4T + 2Ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A)	(A)	(1:2)w ³	889,735	3Q _m − Ok = T − Q _m + Ok	mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64:125)w ³	930,794	−9Q _m + 6Ok = −2T − Q _m + 2Ok	mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis)	(Ais)	(25:32)w ²	965,784	10Q _m − 5Ok = 2T + 2Q _m − Ok	mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c)	(B)	(4:5)w ²	1006,843	−2Q _m + 2Ok	mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512:625)w ²	1047,902	−14Q _m + 9Ok = −4T + 2Q _m + Ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H)	(H)	(5:4)w	1082,892	5Q _m − 2Ok = T + Q _m	mitteltönige große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32:25)w	1123,951	−7Q _m + 5Ok = −2T + Q _m + Ok	mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*)	(his)	125:64	1158,941	12Q _m − 6Ok = 3T	übermäßige Septime
(C)-(c)	(c)	2:1	1200	Ok	Oktave

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C 'Des D 'Es,EF,Fis G 'As,A 'B,HC wird berechnet jedes der Intervalle: C -,Cis / C-'Des / CD / C-,,Dis / C-'Es / C-,E / … / ,Cis -,,Dis /,Cis-'Es /,Cis-,E /,Cis-F /,Cis-,Fis / … / D -,,Dis / D-'Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz : »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »'x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »CD,EFG,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »CD 'Es FG 'As 'B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,EG / C-'Es-G / F-,Ac / F-'As-c / G-,HD und G-'Bd / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-'Des /,Cis-D / ,,Dis-,E / F-'Ges /,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

Ok = Oktave
Q = Quinte und
T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Des-,Cis	,His	32805:32768	1,954	T + 8Q − 5Ok	kleine übermäßige Septime − Oktave, Schisma
,Cis-'Des	''Deses	2048:2025	19,553	−2T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-'Es	'''Deses	128:125	41,059	−3T + Ok	(größere) verminderte Sekunde, kleine Diësis
D-,,Dis	,,Cis	25:24	70,672	2T − Q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton , kleines Chroma
C-,Cis	,Cis	135:128	92,179	T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton , großes Chroma
,EF	'Des	16:15	111,731	−T − Q + Ok	kleine Sekunde , diatonischer Halbton
,A-'B	''Des	27:25	133,238	−2T + 3Q − Ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
'Des-,,Dis	,,,Cisis	1125:1024	162,851	3T + 2Q − 2Ok	doppelt übermäßige Prim
D-,E	,D	10:9	182,404	T − 2Q + Ok	kleiner Ganzton (kleinere Große Sekunde)
CD	D	9:8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreischer Ganzton (größere große Sekunde)
,E-'Ges	''Eses	256:225	223,463	−2T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Terz
,,Gis-'B	'''Eses	144:125	244,969	−3T + 2Q	(größere) verminderte Terz
C-,,Dis	,,Dis	75:64	274,582	2T + Q − Ok	übermäßige Sekunde
DF	Es	32:27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-'Es	'Es	6:5	315,641	−T + Q	kleine Terz
,,Dis-'Ges	'''Feses	4096:3375	335,194	−3T − 3Q + 3Ok	doppelt verminderte Quarte
'Ges-,,Ais	,,,Disis	10125:8192	366,761	3T + 4Q − 3Ok	doppelt übermäßige Sekunde
C-,E	,E	5:4	386,314	T	große Terz
D-'Ges	'Fes	512:405	405,866	−T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81:64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-'As	''Fes	32:25	427,373	−2T + Ok	verminderte Quarte
'Es-,,Gis	,,,Eis	125:96	456,986	3T − Q	(kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais	,,Eis	675:512	478,492	2T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Terz
CF	F	4:3	498,045	−Q + Ok	Quarte
,Cis-'Ges	''Geses	8192:6075	517,598	−2T − 5Q + 4Ok	doppelt verminderte Quinte
,Ad	'F	27:20	519,551	−T + 3Q − Ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe ad)
,,Dis-'As	'''Geses	512:375	539,104	−3T − Q + 2Ok	doppelt verminderte Quinte
D-,,Gis	,,Fis	25:18	568,717	2T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Quarte
'Ges-,cis	,,Fisis	6075:4096	682,402	2T + 5Q − 3Ok	doppelt verminderte Quarte
C-,Fis	,Fis	45:32	590,224	T + 2Q − Ok	Tritonus , übermäßige Quarte
,Fis-c	'Ges	64:45	609,776	−T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Quinte
,A-'es	''Ges	36:25	631,283	−2T + 2Q	(größere) verminderte Quinte
'Es-,,Ais	,,,Fisis	375:256	660,896	3T + Q − Ok	doppelt übermäßige Quarte
D-,A	,G	40:27	680,449	T − 3Q + 2Ok	unreine Quinte (In C-Dur da des Akkords der II.Stufe)
CG	G	3:2	701,955	Q	Quinte
,H-'ges	''Asas	1024:675	721,508	−2T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-'B	'''Asas	192:125	743,014	−3T + Q + Ok	(größere) verminderte Sexte
C-,,Gis	,,Gis	25:16	772,627	2T	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,A	As	128:81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sexte
F-,cis	,Gis	405:256	794,134	T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Quinte
,Ec	'As	8:5	813,686	−T + Ok	kleine Sexte
,,Ais-'ges	'''Beses	16384:10125	833,239	−3T − 4Q + 4Ok	doppelt verminderte Septime
'Des-,,Ais	,,,Gisis	3375:2048	864,806	3T + 3Q − 2Ok	doppelt übermäßige Quinte
C-,A	,A	5:3	884,359	T − Q + Ok	große Sexte
Fd	A	27:16	905,865	3Q − Ok	pyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-'des	''Bes	128:75	925,418	−2T − Q + 2Ok	(größere) verminderte Septime
'B-,,gis	,,,Ais	125:72	955,031	3T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais	,,Ais	225:128	976,537	2T + 2Q − Ok	(größere) übermäßige Sexte
Dc	B	16:9	996,090	−2Q + 2Ok	kleinere kleine Septime (= Oktave − großer Ganzton)
C-'B	'B	9:5	1017,596	−T + 2Q	größere kleine Septime (= Oktave − kleiner Ganzton)
,,Dis-'des	'''ceses	2048:1125	1037,149	−3T − 2Q + 3Ok	doppelt verminderte Oktave
'B-,,ais	,,,his	125:64	1158,941	3T	übermäßige Septime
'B-,a	,,H	50:27	1066,762	2T − 3Q + 2Ok	(kleinere) große Septime
C-,H	,H	15:8	1088,269	T + Q	große Septime
,Cis-c	'ces	256:135	1107,821	−T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d	''ces	48:25	1129,328	−2T + Q + Ok	(größere) verminderte Oktave
'Des-,cis	,,his	2025:1024	1180,447	2T + 4Q − 2Ok	(größere) überm. Septime
Cc	c	2:1	1200	Ok	Oktave

Intervalle nach Größe geordnet

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,6 Cent).

C-,Cis-'Des-D-,,Dis-'Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz : »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »'x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
Q _m = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis $w={\sqrt[{4}]{5}}{\mathrel {\hat {\approx }}}696{,}6\,{\text{Cent}}$ $w={\sqrt[{4}]{5}}{\mathrel {\hat {\approx }}}696{,}6\,{\text{Cent}}$ $w={\sqrt[{4}]{5}}{\mathrel {\hat {\approx }}}696{,}6\,{\text{Cent}}$ )
T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).

Intervalle	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
CC	C	1:1	0		Prim
	,His	32805:32768	1,954	8Q + T − 5Ok	Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
'''Fes-,,,Eis	,,,,,,Hisis	15625:15552	8,107	6T-5Q+Ok	Kleisma
,Cis-'Des	''Deses	2048:2025	19,553	−2T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
	'C	81:80	21,506	4Q − T − 2Ok	syntonisches Komma : Differenz d(C-dur) und,d(F-dur)
Des*-Cis	His	531441:524288	23,460	12Q − 7Ok	pythagoreisches Komma
(Dis)-(Es) =,,Dis-'Es	(Deses) ='''Deses	128:125	41,059	−12Q _m + 7Ok = −3T + Ok	(in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
	''''Deses	648:625	62,565	4Q − 4T − Ok	große Diësis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis	,,Cis	25:24	70,672	2T − Q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton , kleines Chroma
(C)-(Cis)	(Cis)	(5:16)w ³	76,049	7Q _m − 4Ok	chromatischer mitteltöniger Halbton
EF	Des	256:243	90,225	−5Q + 3Ok	pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis	,Cis	135:128	92,179	T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton , großes Chroma
			100	(1:12)Ok	kleine gleichstufige Sekunde
,EF	'Des	16:15	111,731	−T − Q + Ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-Cis	Cis	2187:2048	113,685	7Q − 4Ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F)	(Des)	(8:25)w ³	117,108	−5Q _m + 3Ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
,A-'B	''Des	27:25	133,238	−2T + 3Q − Ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des)-(Dis)	(Cisis)	(125:256)w ²	152,098	14Q _m − 8Ok	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
'Des-,,Dis	,,,Cisis	1125:1024	162,851	3T + 2Q − 2Ok	doppelt übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536:59049	180,450	−10Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Terz
D-,E	,D	10:9	182,404	T − 2Q + Ok	kleiner Ganzton
(C)-(D)	(D)	(1:2)w ²	193,157	2Q _m − Ok	mitteltöniger Ganzton
			200	(2:12)Ok	große gleichstufige Sekunde
CD	D	9:8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
,E-'Ges	''Eses	256:225	223,463	−2T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Terz
Des-Dis	Cisis	4782969:4194304	227,370	14Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64:125)w ²	234,216	−10Q _m + 6Ok	mitteltönig verminderte Terz
,,Gis-'B	'''Eses	144:125	244,969	−3T + 2Q	(größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25:32)w	269,206	9Q _m − 5Ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
Dis-Ges	Feses	16777216:14348907	270,675	−15Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis	,,Dis	75:64	274,582	2T + Q − Ok	übermäßige Sekunde
DF	Es	32:27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
			300	(3:12)Ok	kleine gleichstufige Terz
(D)-(F)	(Es)	(4:5)w	310,265	−3Q _m + 2Ok	mitteltönige kleine Terz
C-'Es	'Es	6:5	315,641	−T + Q	kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683:16384	317,595	9Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-'Ges	'''Feses	4096:3375	335,194	−3T − 3Q + 3Ok	doppelt verminderte Quarte
(Ges)-(Ais)	(Disis)	625:512	345,255	16Q _m − 9Ok = 4T − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis) = ,,,,Disis.
(Dis)-(Ges)	(Feses)	(512:625)w	351,324	−15Q _m + 9Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
'Ges-,,Ais	,,,Disis	10125:8192	366,761	3T + 4Q − 3Ok	doppelt übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192:6561	384,360	−8Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E) =C-,E	(E) =,E	5:4	386,314	4Q _m − 2Ok = T	große Terz
			400	(4:12)Ok	große gleichstufige Terz
D-'Ges	'Fes	512:405	405,866	−T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81:64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F) =,E-'As	(Fes) =''Fes	32:25	427,373	−8Q _m + 5Ok = Ok − 2T	verminderte Quarte
Ges-Ais	Disis	43046721:33554432	431,280	16Q − 9Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
'Es-,,Gis	,,,Eis	125:96	456,986	3T − Q	(kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25:64)w ³	462,363	11Q _m − 6Ok	mitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges*	Geses	2097152:1594323	474,585	−13Q + 8Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais	,,Eis	675:512	478,492	2T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Terz
CF	F	4:3	498,045	−Q + Ok	Quarte
			500	(5:12)Ok	gleichstufige Quarte
(C)-(F)	(F)	(2:5)w ³	503,422	−Q _m + Ok	mitteltönige Quarte
,Cis-'Ges	''Geses	8192:6075	517,598	−2T − 5Q + 4Ok	doppelt verminderte Quinte
,Ad	'F	27:20	519,551	−T + 3Q − Ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe ad)
Es-Gis	Eis	177147:131072	521,505	11Q − 6Ok	pythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-'As	'''Geses	512:375	539,104	−3T − Q + 2Ok	doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256:625)w ³	544,480	−13Q _m + 8Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
		11:8	551,318		Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis	,,Fis	25:18	568,717	2T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H)	(Fis)	(5:8)w ²	579,471	6Q _m − 3Ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltöniger Tritonus
EB	Ges	1024:729	588,270	−6Q + 4Ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis	,Fis	45:32	590,224	T + 2Q − Ok	Tritonus, übermäßige Quarte
			600	(6:12)Ok	gleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c	'Ges	64:45	609,776	−T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729:512	611,730	6Q − 3Ok	pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16:25)w ²	620,529	−6Q _m + 4Ok	mitteltönige verminderte Quinte
,A-'es	''Ges	36:25	631,283	−2T + 2Q	(größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125:128)w	655,520	13Q _m − 7Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quarte
'Es-,,Ais	,,,Fisis	375:256	660,896	3T + Q − Ok	doppelt übermäßige Quarte
Gis-es	Asas	262144:177147	678,495	−11Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sexte
D-,A	,G	40:27	680,449	T − 3Q + 2Ok	unreine Quinte (In C-Dur da des Akkords der II.Stufe)
'Ges-,cis	,,Fisis	6075:4096	682,402	2T + 5Q − 3Ok	doppelt verminderte Quarte
(C)-(G)	(G)	w	696,578	Q _m	mitteltönige Quinte
			700	(7:12)Ok	gleichstufige Quinte
CG	G	3:2	701,955	Q	Quinte
,H-'ges	''Asas	1024:675	721,508	−2T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais*	Fisis	1594323:1048576	725,415	13Q − 7Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128:125)w	737,637	−11Q _m + 7Ok	mitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-'B	'''Asas	192:125	743,014	−3T + Q + Ok	(größere) verminderte Sexte
Ais-ges	Beses	67108864:43046721	768,720	−16Q + 10Ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis) =C-,,Gis	(Gis) =,,Gis	25:16	772,627	8Q _m − 4Ok = 2T	(In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
Ec	As	128:81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sexte
F-,cis	,Gis	405:256	794,134	T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Quinte
			800	(8:12)Ok	kleine gleichstufige Sexte
,Ec	'As	8:5	813,686	−T + Ok	kleine Sexte
C-Gis	Gis	6561:4096	815,640	8Q − 4Ok	pythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-'ges	'''Beses	16384:10125	833,239	−3T − 4Q + 4Ok	doppelt verminderte Septime
(Des)-(Ais)	(Gisis)	(125:256)w ³	848,676	15Q _m − 8Ok	mitteltönige doppelt übermäßige Quinte
(Ais)-(ges)	(Beses)	1024:625	854,745	−16Q _m + 10Ok = −4T + 2Ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ''''Beses.
'Des-,,Ais	,,,Gisis	3375:2048	864,806	3T + 3Q − 2Ok	doppelt übermäßige Quinte
Cis-B	Bes	32768:19683	882,405	−9Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Septime
C-,A	,A	5:3	884,359	T − Q + Ok	große Sexte
(C)-(A)	(A)	(1:2)w ³	889,735	3Q _m − Ok	mitteltönige große Sexte
			900	(9:12)Ok	große gleichstufige Sexte
CA	A	27:16	905,865	3Q − Ok	pythagoreische große Sexte
,E-'des	''Bes	128:75	925,418	−2T − Q + 2Ok	(größere) verminderte Septime
Des-Ais	Gisis	14348907:8388608	929,325	15Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64:125)w ³	930,794	−9Q _m + 6Ok	mitteltönige verminderte Septime
'B-,,gis	,,,Ais	125:72	955,031	3T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis)	(Ais)	(25:32)w ²	965,784	10Q _m − 5Ok	mitteltönige übermäßige Sexte
		7:4	968,826	i	Nur zur Ergänzung: Die Naturseptime , der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis-des	Ceses	8388608:4782969	972,630	−14Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais	,,Ais	225:128	976,537	2T + 2Q − Ok	(größere) übermäßige Sexte
Dc	B	16:9	996,090	−2Q + 2Ok	pythagoreische kleine Septime
			1000	(10:12)Ok	kleine gleichstufige Septime
(D)-(c)	(B)	(4:5)w ²	1006,843	−2Q _m + 2Ok	mitteltönige kleine Septime
C-'B	'B	9:5	1017,596	−T + 2Q	kleine Septime
Es-cis	Ais	59049:32768	1019,550	10Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-'des	'''ceses	2048:1125	1037,149	−3T − 2Q + 3Ok	doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512:625)w ²	1047,902	−14Q _m + 9Ok	mitteltönige doppelt verminderte Oktave
'B-,a	,,H	50:27	1066,762	2T − 3Q + 2Ok	(kleinere) große Septime
(C)-(H)	(H)	(5:4)w	1082,892	5Q _m − 2Ok	mitteltönige große Septime
Cis-c	Ces	4096:2187	1086,315	−7Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-,H	,H	15:8	1088,269	T + Q	große Septime
			1100	(11:12)Ok	große gleichstufige Septime
,Cis-c	'ces	256:135	1107,821	−T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Oktave
CH	H	243:128	1109,775	5Q − 2Ok	pythagoreische große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32:25)w	1123,951	−7Q _m + 5Ok	mitteltönige verminderte Oktave
,,Dis-d	''ces	48:25	1129,328	−2T + Q + Ok	(größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*) ='B-,,ais	(his) =,,,his	125:64	1158,941	12Q _m − 6Ok = 3T	übermäßige Septime
Cis-des*	deses	1048576:531441	1176,540	−12Q + 8Ok	pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sek.)
'Des-,cis	,,his	2025:1024	1180,447	2T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Septime
Cc		2:1	1200	Ok	Oktave

Weblinks

Auflistung aller pythagoreischen, mitteltönigen und reinen Intervalle von C-Cis bis hc

Anmerkungen

↑ Quellen: Rudolf Wille : Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios,dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main ISBN 3-8204-9492-8 .
↑ Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung , bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
↑ Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
↑ Herleitung: Aus $Quinte=k\cdot Oktave$ $Quinte=k\cdot Oktave$ $Quinte=k\cdot Oktave$ folgt ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ und aus $2^{k}={\frac {3}{2}}$ $2^{k}={\frac {3}{2}}$ $2^{k}={\frac {3}{2}}$ folgt $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ .
↑ Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.
↑ eclass.uoa.gr
↑ Beachte: 700-11p hat das Frequenzverhältnis: (2/3) ¹¹ •2 ⁷ (11 Quinten abwärts oktaviert, siehe asas) ⇒ 2 ^{(700-11p+3K)/1200} = (2/3) ¹¹ •2 ⁷ •(81/80) ³ = ¹⁹² / ₁₂₅
↑ Bei der Eulerschen Schreibweise - eine Notation für die reine Stimmung bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um das syntonische Komma = 21,5 Cent. Hier bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um 1200/53 Cent = 22,6 Cent. Eine Abweichung von 1 Cent kann man nicht vom Hören her unterscheiden.
↑ Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen. Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der großen Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma. Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
↑ Hermann von Helmholtz : Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik . Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2 , ( Exzerpt ). Helmholtz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. RHM Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.
↑ Tanaka bemerkt dazu: Rameau berechnete das Intervall des Kleisma in der Tabelle auf S. 26 seines Buches "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726.
↑ ^a ^b ^c Winfried Neumaier S. 64ff. zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschrieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axioms, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 53 Quinten = 31 Oktaven (kein Hörunterschied mehr) und dies ergibt dann: Quinte= ³¹ ⁄ ₅₃ Oktave=702 Cent . Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.
↑ Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem. Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf den antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main ua 1986, ISBN 3-8204-9492-8 .
↑ Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = ⁹ ⁄ ₂₈ Oktave =386 Cent .
↑ Die genauen Werte der Intervalle in der reinen Stimmung , die mit Hilfe der Frequenzverhältnisse berechnet werden, unterscheiden sich von den hier ermittelten Werten nur noch ganz geringfügig:
- große Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁵ / ₄ ) = 386 Cent
- kleine Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁶ / ₅ ) = 316 Cent
- Quinte (rein) = 1200•log ₂ ( ³ / ₂ ) = 702 Cent
↑ Die Abweichung von der reinen Stimmung ist kleiner als ein Schisma (2 Cent ).
- Ok = 1200 Cent (Also k = ¹²⁰⁰ / ₅₃ Cent = 22,642 Cent)
- Q = 1200*log ₂ ( ³ / ₂ ) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent
- gT = 1200*log ₂ ( ⁵ / ₄ )) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent
↑ Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ vorausgesetzt wird, gilt die Definition $r$ $\cdot$ $O$ $k$ $=$ $sup$ ${$ $i$ $\in$ $I$ $∣$ $z$ $n$ $\leq$ $r$ $,$ $n$ $\cdot$ $i$ $\leq$ $z$ $\cdot$ $O$ $k$ $,$ $z$ $\in$ $Z$ $,$ $n$ $\in$ $N$ $}$ $r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}$ $r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}$ . Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Das Quint-Terz-System (der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT) enthält zum Beispiel nicht $1$ $2$ $O$ $k$ $=$ $600$ $C$ $e$ $n$ $t$ ${\frac {1}{2}}Ok=600Cent$ ${\frac {1}{2}}Ok=600Cent$ , da $sup$ ${$ $i$ $\in$ $I$ $∣$ $2$ $\cdot$ $i$ $\leq$ $O$ $k$ $}$ $\sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}$ $\sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}$ nicht existiert, nur beliebige Näherungen. Zum Beispiel
- 2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
- 6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent
- 706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent
↑ Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.

[1] Quellen: Rudolf Wille : Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios,dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main ISBN 3-8204-9492-8 .

[2] Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung , bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.

[3] Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.

[4] Herleitung: Aus $Quinte=k\cdot Oktave$ $Quinte=k\cdot Oktave$ $Quinte=k\cdot Oktave$ folgt ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ ${\frac {3}{2}}=f(Quinte)=f(k\cdot Oktave)=f(Oktave)^{k}=2^{k}$ und aus $2^{k}={\frac {3}{2}}$ $2^{k}={\frac {3}{2}}$ $2^{k}={\frac {3}{2}}$ folgt $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ $k=\log _{2}({\frac {3}{2}})$ .

[5] Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.

[6] ss.uoa.gr

[7] Beachte: 700-11p hat das Frequenzverhältnis: (2/3) ¹¹ •2 ⁷ (11 Quinten abwärts oktaviert, siehe asas) ⇒ 2 ^{(700-11p+3K)/1200} = (2/3) ¹¹ •2 ⁷ •(81/80) ³ = ¹⁹² / ₁₂₅

[8] Bei der Eulerschen Schreibweise - eine Notation für die reine Stimmung bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um das syntonische Komma = 21,5 Cent. Hier bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um 1200/53 Cent = 22,6 Cent. Eine Abweichung von 1 Cent kann man nicht vom Hören her unterscheiden.

[9] Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen. Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der großen Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma. Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.

[10] Hermann von Helmholtz : Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik . Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2 , ( Exzerpt ). Helmholtz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. RHM Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.

[11] Tanaka bemerkt dazu: Rameau berechnete das Intervall des Kleisma in der Tabelle auf S. 26 seines Buches "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726.

[Neumaier-12] Winfried Neumaier S. 64ff. zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschrieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axioms, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 53 Quinten = 31 Oktaven (kein Hörunterschied mehr) und dies ergibt dann: Quinte= ³¹ ⁄ ₅₃ Oktave=702 Cent . Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.

[13] Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem. Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf den antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main ua 1986, ISBN 3-8204-9492-8 .

[14] Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = ⁹ ⁄ ₂₈ Oktave =386 Cent .

[15] Die genauen Werte der Intervalle in der reinen Stimmung , die mit Hilfe der Frequenzverhältnisse berechnet werden, unterscheiden sich von den hier ermittelten Werten nur noch ganz geringfügig:
große Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁵ / ₄ ) = 386 Cent
kleine Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁶ / ₅ ) = 316 Cent
Quinte (rein) = 1200•log ₂ ( ³ / ₂ ) = 702 Cent

[16] roße Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁵ / ₄ ) = 386 Cent

[17] Terz (rein) = 1200•log ₂ ( ⁶ / ₅ ) = 316 Cent

[18] Quinte (rein) = 1200•log ₂ ( ³ / ₂ ) = 702 Cent

[16] Die Abweichung von der reinen Stimmung ist kleiner als ein Schisma (2 Cent ).
Ok = 1200 Cent (Also k = ¹²⁰⁰ / ₅₃ Cent = 22,642 Cent)
Q = 1200*log ₂ ( ³ / ₂ ) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent
gT = 1200*log ₂ ( ⁵ / ₄ )) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent

[20] Ok = 1200 Cent (Also k = ¹²⁰⁰ / ₅₃ Cent = 22,642 Cent)

[21] Q = 1200*log ₂ ( ³ / ₂ ) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent

[22] T = 1200*log ₂ ( ⁵ / ₄ )) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent

[17] Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ vorausgesetzt wird, gilt die Definition $r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}$ $r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}$ $r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}$ . Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Das Quint-Terz-System (der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT) enthält zum Beispiel nicht ${\frac {1}{2}}Ok=600Cent$ ${\frac {1}{2}}Ok=600Cent$ ${\frac {1}{2}}Ok=600Cent$ , da $\sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}$ $\sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}$ $\sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}$ nicht existiert, nur beliebige Näherungen. Zum Beispiel
2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent
706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent

[24] 2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)

[25] 6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent

[26] 706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent

[18] Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.

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