Torus

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Torus
Sættet med punkter med afstanden fra den cirkulære linje med radius danne en rotations torus.

En torus ( flertal tori, fra latinsk torus ) [1] [2] er et matematisk objekt fra geometri og topologi . Det er en perlelignende overflade med et hul, så den har form som en tennisring , også en redningskrans , dæk eller donuts .

Eksempler på tori indlejret i det tredimensionelle rum er rotationsportene. Rotationsporte er rotationsoverflader , der opnås ved at rotere en cirkel omkring en akse, der ligger i cirkelplanet og ikke skærer cirklen. Hvis du roterer ikke kun den cirkulære linje, men hele det cirkulære område , får du en fuld torus .

Med andre ord dannes en rotations -torus ud fra det sæt punkter, der er defineret af en cirkulær linje med en radius den faste afstand med at have.

Torus opnås ved at lime modstående sider af et parallelogram

En torus kan også konstrueres ved at identificere siderne af et parallelogram. Højre kant af parallelogrammet hæftes med venstre kant og overkant med underkant. Mange computerspil bruger også denne topologi : Hvis et spilobjekt forlader spillefeltet på den ene side, vises det igen på den modsatte side.

Begge konstruktioner er særlige tilfælde af den generelle matematiske definition, som definerer en torus som det topologiske produkt af to cirkler. Dette udtryk spiller en rolle på mange områder af matematik ; ud over topologi og differentialgeometri er det vigtigt i Fourier -analyse , teorien om dynamiske systemer ( invariant tori i himmelsk mekanik ), funktionsteori og teorien om elliptiske kurver .

Rotationsporte giver en konkret, rotationssymmetrisk realisering af denne overflade i et tredimensionelt euklidisk rum . Indlejring af andet end en flad torus i det fire-dimensionelle rum er vigtigt for mange anvendelser inden for teoretisk matematik og fysik . Dette har nul krumning og den maksimalt mulige symmetri .

Torus er en todimensionel overflade . I matematik ser man også på det mere generelt -Torus, en generalisering af den todimensionelle torus -dimensionel manifold . I modsætning hertil bruger den tysksprogede litteratur lejlighedsvis også betegnelserne double torus, triple torus osv. For områder med to, tre og flere huller.

bind

Torusens volumen kan beregnes som en volumenintegral ved hjælp af Jacobi -determinanten ( determinanten for den funktionelle matrix). Den jakobiske matrix til parametrering af torus kan gives som følger:

Det følger:

Den funktionelle determinant her er derfor lig med normen for overfladens normale vektor.

Så vi får for volumen af ​​den fulde torus .

Formlen for volumen kan tolkes på en sådan måde, at det cirkulære område med omfanget multipliceres (se Guldins anden regel ). Dette kan forstås analogt med cylindervolumen sætte. Det er det samme med det område af overfladen, her det påbudt og ganget sammen (se Guldins første regel ). Dette er også analogt med cylinderoverfladen .

Hvis man kun ser på den indre del af torus, den af -Axis en afstand mindre end eller lig med har lydstyrken

Den ydre del af torus, der fører fra -Axis en afstand større end eller lig med har, har volumen

overflade

Torusens overflade med ovenstående parametriske repræsentation er

Denne formel kan enten stamme fra Guldins første regel

eller ved hjælp af overfladeintegralet

Beregn. det er torusens overfladeelement i den parametriske repræsentation ovenfor.

Torus grænser op til en 3-dimensionel fuld torus . Volumen på den fulde torus er (se Guldins anden regel ).

Hvis man kun ser på den indre del af torus, den af -Axis en afstand mindre end eller lig med har overfladen

Den ydre del af torus, der fører fra -Axis en afstand større end eller lig med har, har overfladen

Torus som revolutionens overflade

En Rotationstorus er en omdrejningsflade dannet ved at rotere en cirkel omkring et vandret plan i cirklen, og cirklen, der ikke skærer rotationsaksen , genereres. [3] [4] [5] En rotations -torus kan beskrives som et sæt punkter, der er defineret af en cirkulær linje med en radius den faste afstand have, med er. I kartesiske koordinater , med z-aksen som rotationsakse og centre for den roterende cirkel i xy-planet, er den givet ved ligningen

beskrevet. Eliminering af roden giver ligningen af ​​grad 4

En toroidal koordinat findes i den toroidale overflade og en poloid koordinat vinkelret på den indføre. Torus forestilles at være skabt af en cirkel , der roteres omkring en akse, der ligger i cirkelplanet. Vi kalder radius af den oprindelige cirkel , denne cirkel danner også en koordinatlinje af . Vi kalder afstanden mellem midten af cirklen og aksen , koordinatlinjerne af er cirkler omkring rotationsaksen . Begge koordinater er vinkler og løber fra så længe .

Torus 3d.png
En radial ...
... og en diagonalt skåret torus i 3D

Parameterisering

Konverteringen af ​​toruskoordinater til kartesiske koordinater er

Toruskoordinater er vigtige inden for kernefusionsteknologi, se atomfusionsreaktor .

Fly nedskæringer

  1. Sektioner med planer, der indeholder rotationsaksen, er par af cirkler.
  2. Sektioner med planer, der er vinkelret på rotationsaksen, er cirkelpar eller en cirkel eller tomme.
  3. Et plan parallelt med rotationsaksen skærer en spiralkurve fra en torus. I særlige tilfælde kan dette være en Cassini -kurve .
  4. Et skråplan, der rører ved to producentcirkler , skærer Villarceau -cirkler ud .

Tori i deskriptiv geometri

I beskrivende geometri bruges dele af en torus til at konstruere overgangsflader mellem cylindre . Repræsentationen af ​​en torus gennem dens omrids kan findes i omridskonstruktioner .

generel definition

Den 2-dimensionelle torus som produktet af to cirkler.

med cirklen ( 1-kuglen ) kaldes. det -Torus defineres derefter af

,

hvori er et produkt af topologiske rum . Som beskrevet i det foregående afsnit er revolutionens overflade en 2-torus. 2-torus kaldes normalt ganske enkelt torus. [6]

Topologiske egenskaber

Struktur af en manifold

det -Torus er en topologisk manifold . Dette følger af, at -Torus vælger det topologiske produkt 1- sfærer og selve 1-kuglen er en topologisk manifold. 1-kuglen er også en differentierbar manifold, og da produktet af differentierbare manifolds igen resulterer i en differentierbar manifold, er det -Torus er også en differentierbar manifold. [7] Dimensionen af er lig med .

Topologiske egenskaber

Det følger også direkte af definitionen, at -Torus er kompakt . Desuden er det stierelateret . I kontrast til -Sfære er -Torus for ikke bare sammenhængende .

Figuren , defineret af , er det universelle overlay af -Torus. [8.]

Løgn gruppe

1- sfæren , forstået som en cirkelgruppe , er også en Lie-gruppe . Da produktet af flere Lie-grupper med komponentmæssig multiplikation igen er en Lie-gruppe, er det også -Torus a Lie -gruppe. [9]

Indlejret tori

Flad tori

Model af en flad torus: papiret skal kun bøjes, ikke strækkes.

Siden den cirkulære linje åbenbart i kan indlejres , -Torus som en delmængde af det euklidiske rum blive forstået. Man ser på den Riemanniske metrik efter den euklidiske metrik for rummet på den -Torus er fremkaldt. Denne måling er flad , det vil sige -Torus er lokalt isometrisk i nærheden af . [10] Især derfor er dens sektionelle krumning overalt konstant nul. Siden -Torus er kompakt og derfor komplet , det er en flad manifold . Man taler derfor om en flad -Torus.

Der er andre flade metrics på torus udover den ovenfor beskrevne. Flade 2-tori kan beskrives ved et parallelogram , hvis modsatte sider limes sammen. Tilsvarende kan flat tori bruges som topologiske grupper af faktorer for to lineært uafhængige vektorer at blive beskrevet. I et særligt tilfælde og man opnår kvoten .

Elliptiske kurver over de komplekse tal kan udtrykkes som til et gitter og er derfor (med en translation-invariant metrisk ) eksempler på flade tori. Modulrummet for de elliptiske kurver eller tilsvarende for de flade 2-tori er den såkaldte modulkurve .

Flad tori i tredimensionelt rum

En todifferentierbar indlejring af torus i tredimensionelt rum kan ikke være flad, fordi det lokale ekstrema skal være punkter med positiv krumning . Ifølge Nash's indlejringssætning er der imidlertid fraktale (kun en gang differentierede ) indlejringer af den flade torus i tredimensionelt rum . Disse kan også konstrueres numerisk. [11] [12]

Rotationsport i tredimensionelt rum

En roterende torus er en im Indlejret 2-torus, som kan beskrives som et sæt punkter, der danner en cirkulær linje med en radius den faste afstand have, med er.

Clifford Tori

En Clifford torus er en særlig i indlejret torus. Efter identifikation og standard Clifford torus kan beskrives som

.

Endvidere billederne af under isometriske standardmålinger kaldet Clifford Tori.

Ved hjælp af stereografisk projektion kan man også bruge Clifford tori som opfatte indlejret tori.

En Clifford torus er et minimalt område i forhold til standardmetriken . Lawson -formodningen, bevist af Brendle , siger, at alle som et minimalt område i indlejret torus er en Clifford torus.

Konstruktion fra en firkant eller terning

Konstruktion af todimensionale tori fra et kvadrat eller parallelogram

Torusen opnås fra en firkant ved at lime modstående sider.
Egenskaber ved 3-torus

I modsætning til overfladen af ​​en kugle kan torus kortlægges på en flad, rektangulær overflade uden singulariteter .

Den højre kant af rektanglet eller firkanten er syet til dens venstre kant, og dens nederste kant er syet til dens øverste kant. Denne konstruktion fungerer også med ethvert parallelogram . Mange computerspil, for eksempel Asteroids eller Pac-Man , har også denne topologi : Hvis et spilobjekt forlader spillefeltet på den ene side, vises det igen på den modsatte side.

Konstruktion af højere dimensionelle tori fra en terning eller parallelepiped

Den tredimensionelle torus eller 3-torus er en parallelepiped eller terning , hvis seks modsatte flader er fastgjort til hinanden i par.

Den fire-dimensionelle torus eller 4-torus er en tesseract , hvis otte modstående terninger sidder parvis sammen.

Generelt er -dimensionel torus a -dimensionel terning , dens modsætning - Hypercubes identificeres med hinanden i par. Du kan også kalde det repræsentere.

Igen, i stedet for en -dimensionel terning evt - Brug dimensionel parallelepiped til at oprette en - konstruere dimensionelle torus.

WUERFEL6 vedhæftninger af tesseract til 4-torus.png

Syv farvesæt

Overfladen på en torus kan opdeles i 7 områder, så to områder rører hinanden. For at farve dette kort, så ikke to tilstødende områder får samme farve, kræves 7 farver.
Animation af en torus. Overfladen er opdelt i 7 områder med forskellige farver.

Den syvfarvede sætning for torus siger, at 7 farver altid er tilstrækkelige til at farve ethvert kort på overfladen af ​​en torus på en sådan måde, at ingen to nabolande får samme farve.

Det betyder, at hver graf, der kan indlejres i torus, har et kromatisk antal på højst 7 (se knudefarvning ). Fordi den fulde graf kan indlejres i torus, er det kromatiske tal 7. [13] [14]

Færre farver er tilstrækkelige i flyet eller på en sfærisk overflade . Sætningen med fire farver siger, at fire farver altid er tilstrækkelige til at farve ethvert kort i det euklidiske plan på en sådan måde, at ingen to nabolande får samme farve. [15] [16]

Algebraisk torus

I teorien om algebraiske grupper bruges torus i en anden forstand. Der betyder det en gruppe, der er isomorf til et endeligt produkt af kopier af den multiplikative gruppe af et legeme . Med henblik på afgrænsning taler man om en algebraisk torus i modsætning til en topologisk torus.

For eksempel i torisk geometri , studiet af toriske sorter , er en torus normalt en algebraisk torus. [17]

Anvendelseseksempler

En redningskrans har form som en torus.

En redningskrans med en ydre diameter på 76 centimeter og en indvendig diameter på 44 centimeter har form som en torus. Så han har den faste afstand fra en cirkulær linje med radius .

Dette resulterer i volumen og overflade :

  • Lydstyrke :
  • Overflade :

Se også

litteratur

  • Marcel Berger : Geometri I. Oversat fra 1977 fransk original af M. Cole og S. Levy. Universitetstekst. Springer-Verlag, Berlin, 2009. ISBN 978-3-540-11658-5 .
  • Anatole Katok , Vaughn Climenhaga: Foredrag på overflader. (Næsten) alt hvad du ville vide om dem. Student Mathematical Library, 46th American Mathematical Society, Providence, RI; Matematik Advanced Study Semesters, University Park, PA, 2008. ISBN 978-0-8218-4679-7 .

Weblinks

Wiktionary: Torus - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser
Commons : Torus - album med billeder, videoer og lydfiler

Individuelle beviser

  1. ^ Karl Ernst Georges : Omfattende latin-tysk kortfattet ordbog . 8., forbedret og øget udgave. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918 ( zeno.org [åbnet 26. juni 2019]).
  2. Der er en række andre historiske anvendelser af udtrykket torus, der ikke længere er i brug i dag : Herder 1854, Pierer 1857, Meyers 1905, Brockhaus 1911, Britannica 1911.
  3. ^ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch Verlag (1983), ISBN 3871444928 , s. 253.
  4. ^ Ulrich Graf , Martin Barner : Beskrivende geometri. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 , s. 202, 209.
  5. C. Leopold: Geometriske grundlæggende elementer i arkitektonisk repræsentation. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X , s. 123, 129.
  6. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218. ) Springer-Verlag, New York NY ua 2003, ISBN 0-387-95448-1 , S. 8.
  7. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218. ) Springer-Verlag, New York NY ua 2003, ISBN 0-387-95448-1 , S. 21.
  8. Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter, Berlin, 2000, ISBN 3-11-016236-9 , S. 52.
  9. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218. ) Springer-Verlag, New York NY ua 2003, ISBN 0-387-95448-1 , S. 39.
  10. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218. ) Springer-Verlag, New York NY ua 2003, ISBN 0-387-95448-1 , S. 289.
  11. V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, B. Thibert: Flat tori in three-dimensional space and convex integration. ( Memento vom 1. Juli 2012 im Internet Archive ). Proc. Natl. Acad. Sci. USA 109 (2012), no. 19, 7218–7223.
  12. Pressemitteilung des CNRS : Mathématiques: première image d'un tore plat en 3D. 20. April 2012.
  13. Wolfram MathWorld: Torus Coloring
  14. Chelsey Poettker, Southern Illinois University Edwardsville: Topology and the Four Color Theorem
  15. Wolfram MathWorld:Four-Color Theorem
  16. Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas, Georgia Institute of Technology: The Four Color Theorem
  17. Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. 1978, 1.1 Algebraic tori.