Inertiskraft

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I klassisk mekanik betegner træghedskraften ...

  • ... kraften på en krop , der antages ud over mærkbare ydre kræfter for at fortolke dens dynamik, når dens bevægelse beskrives i sammenhæng med et accelereret referencesystem (f.eks. i forhold til bremsebilen, den roterende drejeskive på legepladsen eller jordens overflade ). Den på denne måde definerede inertialkraft forekommer i enhver accelereret referenceramme, selv i fravær af ydre kræfter. Deres styrke og retning på et bestemt sted er ikke faste mængder, men afhænger af valget af den accelererede referenceramme. I et inertialsystem forekommer denne inertialkraft slet ikke. Derfor kaldes det ofte pseudo -force.
  • ... den modstand, som ethvert legeme modsætter sig en egentlig acceleration af sin bevægelse. Den accelererede krop udvikler denne inertimodstand "indefra", simpelthen fordi den har masse . Det kan udtrykkes med en kraft, nemlig af d'Alembert -inertialkraften . D'Alembert inertial kraft har altid en veldefineret størrelse, fordi den er modsat og lig med summen af ​​alle ydre kræfter.

Med hensyn til størrelse og retning er d'Alembert -inertialkraften lig med den tilsyneladende kraft (ifølge definitionen i det første punkt), hvis det accelererede referencesystem blev valgt til beskrivelse af bevægelsen, der bevæger sig med det accelererede legeme.

Selvom inertikraften er defineret som en rent formel størrelse, er den ofte nyttig til at forstå hverdagens oplevelser. Enkle eksempler er, når du føler dig skubbet frem i sikkerhedsselerne i bilen, når du bremser hårdt eller mod sidevæggen, når du svinger stærkt i sving. I alle sådanne tilfælde går effekten, der tilsyneladende er forårsaget af inertialkraften, tilbage til virkningen af ​​ægte ydre kræfter. I de to eksempler udøver eksempelvis selerne en kraft på kroppen forfra, der bremser det, så det ikke glider frem fra sædet, hvilket også bremser, og sidevæggen virker også sideværts på kroppen så dens bevægelsesretning er modsat jorden er konstant tilpasset til sving.

Både inertialkraften i den accelererede referenceramme og d'Alemberts inertialkraft er proportional med kroppens masse. Derfor kaldes inertiekræfterne også massekræfter .

Inertiskraften tilfredsstiller ikke handlings- og reaktionsprincippet , fordi der ikke er noget andet legeme, som det kommer fra. Kendte manifestationer omfatter inertiskraften ved start og bremsning, centrifugalkraften og Coriolis-kraften . I klassisk mekanik er tyngdekraften en af ​​de mærkbare ydre kræfter. Da tyngdekraften også er en massekraft ifølge ækvivalensprincippet og en konstant lineær acceleration ikke kan skelnes fra virkningen af ​​et homogent gravitationsfelt, er det imidlertid også muligt at forstå tyngdekraften som en inertial kraft afhængig af referencesystemet. Dette er udgangspunktet for generel relativitet .

Træghedskræfter er nyttige mængder i teoretisk og teknisk mekanik til opsætning og løsning af bevægelsesligninger for mekaniske systemer.

oversigt

Et af grundlagene for at forklare inertiekræfter er inertiprincippet , der gælder for bevægelser, der beskrives i forhold til et inertialsystem . Ifølge dette foregår bevægelsen af ​​et legeme i en lige linje og ensartet, når ingen ekstern kraft virker på det. Dette omfatter, at et hvilende legeme forbliver i ro uden virkning af en ekstern kraft, fordi hvile skal betragtes som bevægelse med nul hastighed. Men når en ekstern kraft virker, bevæger kroppen sig ikke længere i en lige linje, en sådan ændring i bevægelsestilstanden kaldes acceleration. En accelereret bevægelse er ikke kun deceleration eller acceleration af en lige bevægelse, men også enhver bevægelse på en buet vej, f.eks. B. også når objektet bevæger sig med en konstant hastighed, dvs. konstant hastighedsmængde, på en cirkelbane.

Hvis et legeme accelereres af en ekstern kraft, modsætter det sig denne kraft med inertial modstand. Det negative produkt af masse og acceleration af kroppen kaldes d'Alemberts inertial kraft (efter Jean-Baptiste le Rond d'Alembert ) i teknisk mekanik, selv uden tilføjelse, simpelthen kaldet inertial kraft . Ifølge Newtons anden lov (eller mekanikens grundligning ) er det nøjagtigt negativt for den ydre kraft, så summen af ​​begge er nul. Sammen med de ydre kræfter danner denne d'Alembert inertial kraft en dynamisk ligevægt . D'Alembert inertial kraft er også kendt som inertial modstand eller - fordi den er forårsaget af kroppens masse og er lokalt proportional med densiteten - som inertial kraft .

En anden tilgang til inertial kraft resulterer, hvis bevægelsen af ​​et kraftfrit legeme ikke beskrives i forhold til et inertialt system, men set fra et accelereret referencesystem . Netop fordi denne kraftfrie krop hviler i et inertisystem eller bevæger sig i en lineær uniform, fremstår den i det accelererede referencesystem i en accelereret bevægelse. Hvis man udlede af dette - uden at overveje acceleration af referencesystemet - at en kraft virker, er resultatet inertialkraften i det accelererede referencesystem. Med deres deltagelse kan man forklare den acceleration, der observeres i den accelererede referenceramme ifølge Newtons anden lov, uden at tage højde for den accelererede bevægelse af selve referencerammen. Inertialkraften i det accelererede referencesystem eksisterer så at sige ikke "reel" som de ydre kræfter, som er uafhængige af referencesystemets bevægelse med hensyn til styrke og retning (undtagen i relativitetsteorien , hvor "virkelige" kræfter er forskellige i forskellige referencesystemer), men kun med det formål at beskrive bevægelsen ved hjælp af Newtons anden lov i sammenhæng med den accelererede referenceramme. Det kaldes derfor også " pseudokraft" , "pseudokraft" eller "fiktiv kraft". I beregninger af bevægelser i forhold til et accelereret referencesystem behandles det som en anden ekstern kraft, og dens virkninger i dette referencesystem er lige så reelle som de "rigtige" ydre kræfter.

Man bemærker ofte inertiskraften, når man accelereres mod den faste grund. Jordens faste overflade danner et inertialsystem - ikke ligefrem, men i det mindste cirka. Ofte vælger man imidlertid intuitivt sin egen krop og muligvis dens umiddelbare omgivelser som referencesystem til at observere hvile, bevægelse og acceleration og fortolker dermed bevægelsen fra et accelereret referencesystem. Eksempler er den opfattede inerti i ens egen krop, når man starter eller bremser sporvognen eller elevatoren, centrifugalkraften ved sving i z. B. i bilen, pariserhjul eller kædekarrusel. Coriolis -kraften er mindre intuitivt forståelig. B. danner store luftstrømme på grund af rotation af jordoverfladen til høj- og lavtryksvirvler. Hvis den relevante bevægelse af kroppen imidlertid ses fra et inertisystem, viser de effekter, der tilskrives inertialkraften, uden undtagelse at være en konsekvens af inertiprincippet i forbindelse med ydre kræfter, der kommer fra andre organer.

D'Alembert inertial kraft

definition

Begrebet d'Alembert -træghedskraft er baseret på et inertialsystem . Den absolutte [1] acceleration vist i den er i klassisk mekanik ved Newtons anden lov med helheden af ​​de ydre kræfter forbundet:

eller

Vil i det formel som en kraft forstået, så du får med

en ligning, der beskriver kræfternes balance i statik og er kendt som dynamisk ligevægt . Forskellen er, at ikke kan spores tilbage til et samspil med en anden krop, men er en pseudokraft. kaldes d'Alemberts inertial kraft, [2] i teknisk mekanik i sig selv mest bare inertiskraft.

D'Alembert -inertikraften er den matematiske specifikation af "vis inertiae ", som blev introduceret af Newton og eksisterer, så længe et legems hastighed ændres i retning og / eller mængde af en ekstern kraft. Ved at gøre det overvandt Newton den ældre betydning af vis inertiae , som havde eksisteret siden oldtiden for at tilskrive inertiens egenskab til alt stof (for at skelne det fra ånd). Dette bør komme til udtryk ved, at et organ gennem sin inerti modsætter sig enhver bevægelse generelt og enhver ændring i en eksisterende bevægelse. Derudover definerede Newton i sine aksiomer den bevægelige kraft (" vis motrix ") som årsag til enhver ændring i bevægelsestilstanden, og dette blev gradvist den nøjagtige betydning af "kraft" i mekanikken efter Eulers formulering af newtonsk mekanik. D'Alembert gav Newtons vis inertiae den kvantitative definition i form af inertialkraft opkaldt efter ham. [3]

Forholdet til inertial kraft i accelererede referencerammer

D'Alembert -inertialkraften, der er bestemt i inertialsystemet, er nøjagtig lige så stor som inertialkraften i det accelererede referencesystem, som bestemmes i det tilfælde, hvor det accelererede referencesystem er baseret på resten af ​​det pågældende organ. Generelt fører den konkrete behandling af et mekanisk spørgsmål altid til konsistente resultater, uanset om beregningen udføres med eller uden brug af d'Alemberts inertial kraft.

Med inddragelse af d'Alemberts inertial kraft resulterer kræftbalancen i et legeme altid i nul, som i tilfælde af statisk ligevægt eller kraftfri bevægelse. Det må derfor understreges, at d'Alemberts inertial kraft ikke er en kraft i betydningen af ​​Newtons aksiomer, hvor kraften generelt defineres som årsag til acceleration.

Træghedskræfter i den accelererede referenceramme

Konceptdannelse

Inertialkraften i det accelererede referencesystem (i fysik ofte kun kort omtalt som inertialkraften ) er nødvendig for at beskrive dynamikken i legemer i et accelereret referencesystem. Det kan analytisk opdeles i fire dele. Grundlag for definitionen ifølge Leonhard Euler [4] [note. 1] er inertiprincippet (eller Newtons første lov ). Følgelig er der blandt de forskellige referencesystemer dem, hvor hvert legeme, der er overladt til sine egne anordninger, fortsætter med at bevæge sig på en lige og ensartet måde ved sin nuværende hastighed (herunder det særlige tilfælde med nulhastighed). Enhver afvigelse fra denne kraftfrie, lineære, ensartede bevægelse omtales som acceleration og anses for at være tegn på, at en ekstern kraft virker på kroppen. Disse referencesystemer er blevet kaldt inertialsystemer siden 1886. Et "accelereret referencesystem" er et referencesystem, der er i accelereret bevægelse sammenlignet med et inertialsystem.

I forhold til et sådant accelereret referencesystem synes den retlinede ensartede bevægelse af kroppen i inertialsystemet ikke at være retlinet ensartet, dvs. accelereret. Ifølge Euler betragtes disse i en vis forstand "tilsyneladende" accelerationer også som et resultat af en "tilsyneladende" virkende kraft. Denne kraft kaldes "inertial kraft", fordi den ikke stammer fra virkningen af ​​andre organer som ydre kræfter , men skylder dens eksistens udelukkende for kroppens inerti i forbindelse med valget af et accelereret referencesystem. Størrelsen og retningen af ​​den således udviklede inertialkraft bestemmes ud fra produktet af kroppens masse og dens acceleration, medmindre den er forårsaget af den ydre kraft.

I enkle tilfælde, hvis det accelererede referencesystem er passende valgt, resulterer inertialkraften i en af ​​de fire former, der er beskrevet nedenfor: inertiskraft ved acceleration eller bremsning, centrifugalkraft, Coriolis -kraft, Euler -kraft. I de fleste tilfælde er den samlede inertialkraft imidlertid en sum af alle fire typer af inertialkræfter. Inertialkræfternes afhængighed af valget af referencesystemet er også vist i, at de ikke engang forekommer i et inertialsystem, og at en og samme proces forklares ved forskellige kombinationer af de nævnte former for inertialkræfter, afhængigt om valg af referencesystem. Der er ingen “reel” værdi for inertialkraften, det vil sige uafhængigt af valget af et referencesystem, og heller ikke for de fire individuelle manifestationer, der er nævnt ovenfor.

Hvis der vælges et referencesystem til en bestemt proces, hvor kroppen hviler, er inertialkraften i det accelererede referencesystem og d'Alembert -inertialkraften enige i størrelse og retning. Ikke desto mindre må begge udtryk ikke sidestilles, fordi deres anvendelse er knyttet til modsatte betingelser: d'Alembert-inertialkraften forudsætter et inertialsystem, inertialkraften i det accelererede referencesystem et ikke-inertialt system.

Hvis der i sædvanlige tilfælde også skal tages hensyn til andre kræfter (hvilket kan ses af, at kroppens bevægelse ikke er retlinet og ensartet, også set fra inertialsystemet), tilføjes disse vektorielt til inertiskraft for at opnå den samlede kraft. Med denne samlede kraft gælder Newtons anden lov så også for bevægelserne, da de observeres i forhold til dette accelererede referencesystem.

Den formelle bestemmelse af de enkelte inertialkræfter opnås ved at overveje den givne bevægelse fra inertialsystemet og kombinere koordinaterne fra bevægelsen af ​​det accelererede referencesystem i forhold til inertialsystemet og kroppens bevægelse i forhold til det accelererede referencesystem ("sammensat bevægelse"). Ligningen for den absolutte acceleration i inertialsystemet omarrangeres for at opnå den relative acceleration. Multiplicering med massen giver udtryk for inertialkræfterne.

Inertiskraft ved acceleration eller deceleration

I inertialkraften i det accelererede referencesystem skelnes der mellem fire bidrag, der er illustreret individuelt i de følgende afsnit ved hjælp af eksemplet på en passager i et køretøj. Det bevægelige referencesystem er permanent forbundet til køretøjet, og passageren, som også er observatør her, forbliver (praktisk talt) i ro i forhold til dette referencesystem. (Fra andre referencesystemer ville overvejelse af den samme bevægelse resultere i en anden inertial kraft, hvorved de enkelte typer også kan blande sig.) Inertisystemet er forbundet med jorden.

Et køretøj siges at være parallelt med dets hastighed med acceleration accelereret ( ) eller bremset ( ).

Observation i den bevægelige referenceramme: på et masselegeme , for eksempel. B. en passager, virker inertiskraften

Inertiskraften er modsat accelerationen af ​​referencesystemet. Ved "acceleration" skubber den passageren tilbage mod ryglænet, ved bremsning skubber den passageren frem mod sikkerhedsselerne.

Observation i inertialsystemet: så passageren accelereres synkront, skal kraften påføres ham arbejder. Ved acceleration udøver ryglænet denne kraft (" tryk "). Ved bremsning sænkes den af ​​kraften, som selen udøver på den ("negativ tryk").

Yderligere eksempler: Stød ved fald på jorden eller ved en bagkollision, bliver lettere / tungere ved start / bremsning af elevatoren, opretstående genstande vælter, når overfladen accelererer sidelæns (også i tilfælde af jordskælv), ryster og ryster .

Centrifugal kraft

Et køretøj kører med konstant hastighed ved en kurve med en radius .

Observation i den roterende referenceramme: på et massemasse, der bevæger sig sammen med det virker træghedskraften

Denne inertialkraft er rettet radialt udad fra kurvens centrum og kaldes centrifugalkraft. Det presser passageren mod sidestøtten på ydersiden af ​​kurven.

Observation i inertialsystemet: For at passageren kan forblive rolig i forhold til sit sæde, skal han følge den samme cirkulære vej som køretøjet. For at gøre dette skal styrken være på ham handle mod midten af ​​kurven (centripetalkraft). Ellers ville han fortsætte med at bevæge sig i en lige linje. Denne kraft udøves på ham af den ydre sidestøtte.

Andre eksempler: centrifugeringstørrer, sæder skubbet udad i kædekarrusellen, bryder ud af en kurve, når du kører bil eller cykel, følelsen af ​​at vægten falder i pariserhjulet ovenfor.

Coriolis kraft

Et barn sidder i en karrusel og vil smide en bold i en kurv, der er karussellens centrum. Den sigter præcist i midten, men når karrusellen drejer, flyver bolden stadig forbi kurven. (Barn og kurv er i samme højde; tyngdekraften ignoreres, når man ser på det.)

Observation i referencesystemet i bevægelse: Bolden bevæger sig med hastighed Kastet radialt indad og flyver med konstant hastighed, men foretager ingen lineær bevægelse. I stedet beskriver den en kurve, der er buet til den ene side. Fordi træghedskraften virker i vandret retning vinkelret på dens hastighedsretning

I det er karrusellens vinkelhastighed.

Observation i inertialsystemet: Den flyvende kugle er kraftfri og foretager en lige, ensartet bevægelse med den hastighed, der blev givet den i begyndelsen. I henhold til mængde og retning består dette af hastigheden at barnet giver bolden i den retning, der peger radialt indad på tidspunktet for at kaste den, og hastigheden hvormed barnet (eller observatøren) selv bevæger sig i tangential retning med karrusellen på dette tidspunkt. Disse to hastigheder er vinkelret på hinanden. Retningen for den samlede samlede hastighed peger forbi kurven.

Coriolis -kraften forekommer altid i et roterende referencesystem, når et legeme ikke hviler i det, men snarere bevæger sig i forhold til det, nemlig ikke parallelt med rotationsaksen. Du kan mærke det som enhver inertial kraft på din egen krop, når du skal "modvirke" det for at kompensere, f.eks. B. hvis du vil gå i en lige linje på pladespilleren på legepladsen uden at blive distraheret sidelæns. De enkleste eksempler på Coriolis -kraften vedrører sådanne radiale bevægelser. I det generelle tilfælde den relative hastighed Ud over en radial komponent er der også en tangential komponent og en akse-parallel komponent. Den akse-parallelle komponent har altid ingen konsekvenser. Radialhastighedskomponenten (som i eksemplerne ovenfor) skaber en tangential Coriolis -kraft. Den tangentielle hastighedskomponent, der opstår, når kroppen bevæger sig rundt om aksen anderledes, end den blot ville svare til rotation af referencesystemet, forårsager en radialt styret Coriolis -kraft. Dette er derfor parallelt eller antiparallelt med centrifugalkraften, som fortsat eksisterer uændret udelukkende på grund af rotation af referencesystemet. Disse to radiale kræfter resulterer tilsammen i en radial kraft, der svarer til den centrifugalkraft, der er forbundet med en forøget eller reduceret rotationshastighed. Betragtet i det stationære referencesystem bevæger kroppen sig faktisk med denne ændrede omkredshastighed på grund af dens tangentielle relative hastighed. (For eksempel, hvis du står stille på en drejeskive, føler du kun centrifugalkraften, og du skal kompensere for den med en lige så stor centripetalkraft. Men hvis du løber mod rotationsbevægelsen i en konstant afstand fra aksen, så er centrifugalkraft synes at falde, selvom disken roterer uændret. Årsagen er den ekstra Coriolis -kraft, der virker radialt indad. Hvis du nu kører med diskens rotationshastighed mod dens rotationsretning, så forbliver rotoren altid på samme sted for den stationære observatør uden for drejeskiven på grund af kørslen, det vil sige, den hviler i inertialsystemet og er fri for kræfter der. I det roterende referencesystem er Coriolis -kraften så nøjagtigt dobbelt så stor som centrifugalkraften. I alt er den indadrettede tilsyneladende kraft opstår, som kaldes "centripetalkraften" for den cirkulære bane observeret fra det roterende referencesystem på disken.) I almindelighed er tangential og radial komp. En af komponenterne i Coriolis-kraften er, at Coriolis-kraften altid er vinkelret på hastighedsretningen i det roterende referencesystem (og på rotationsaksen) og derfor afbøjer vejen for et ellers kraftfrit legeme til en cirkel. Dette er z. B. på skybillederne for at se områder med højt og lavt tryk.

Yderligere eksempler: rotation af pendulplanet i Foucaults pendul , subtropiske passatvinde og stratosfærisk jetstrøm , østlig nedbøjning af frit faldende legemer samt legemer på jorden, der bevæger sig vandret væk fra ækvator.

Euler kraft

Hvis vinkelhastigheden for en roterende referenceramme varierer i størrelse og / eller retning, opstår Eulerkraften (selvom dette navn ikke er blevet fast etableret). Et enkelt eksempel med ændring af mængden med en fast retning af rotationsaksen nærmer sig en karrusel. Hvis man beskriver passagerens bevægelse i referencerammen, der begynder at rotere med karrusellen, er det dens vinkelacceleration og på afstand fra aksen er inertiskraften . Det er den tangentielle acceleration , som man observerer i inertialsystemet her, er rettet i den modsatte retning og adskiller sig på ingen måde fra inertialkraften ved acceleration eller deceleration.

Hvis rotationsaksen også kan ændre dens retning, er Euler -kraften givet ved den generelle formel

Inde er vektoren vinkelacceleration, dvs. ændringshastigheden for den vektorielle vinkelhastighed med hensyn til retning og størrelse .

For at forklare dette skal du overveje denne inertialkraft ved hjælp af eksemplet på et massepunkt, der er en del af en vandret, hurtigt roterende, rotationssymmetrisk top, mens den er (langsom) recession omkring en lodret akse (se [5] ).

Observation i inertialsystemet: Hvis toppen ikke er forudgående, er massepunktets vej cirkulær i et fast, lodret plan. Denne cirkulære bevægelse er forårsaget af en tilsvarende centripetalkraft, som ikke skal overvejes nærmere her. Under presession roterer banens plan omkring en lodret akse. Massepunktets vej har en ekstra krumning, som er modsat ved det øvre og nedre punkt og er særlig stor, fordi massepunktet derefter passerer rotationsaksen for banens plan. Denne krumning kan kun skyldes en ekstra ekstern kraft, der er parallel eller parallelt med gyroens akse. Denne ekstra ydre kraft på massepunktet, der kræves til presession, varierer således med hver omdrejning af toppen. Da gyroskopet er rotationssymmetrisk, resulterer det i summen af ​​alle massepunkter, at de ekstra kræfter tilsammen svarer til et drejningsmoment . I et referencesystem, hvor gyroaksen er fast, men som ikke følger med gyroens hurtige rotation, er dette drejningsmoment konstant over tid. For at topens prækessionbevægelse kan fortsætte som observeret, skal dette ydre drejningsmoment konstant virke på topaksen. Vektoren for drejningsmomentet er vinkelret på gyroskopets (vandrette) akse og på den (lodrette) akse i forgange. Når toppen er stationær, ville aksen simpelthen vippe op eller ned.
I demonstrationseksperimenter med en kraftfri top (som i [5] ) opnås det ydre drejningsmoment, der kræves til presession, ved hjælp af en fastgjort vægt, hvor den skrå legetøjstop ved hjælp af tyngdekraften virker på tyngdepunktet.

Observation i det bevægelige referencesystem: Hvis det bevægelige referencesystem er baseret på massepunktets hvilesystem, er det i ro i forhold til det, selvom den eksterne beskrevne eksterne kraft, der netop er beskrevet, virker på det. Årsagen er, at den kompenseres af en inertial kraft af samme størrelse i modsatte retninger, som netop stammer fra den særlige type accelereret bevægelse af dette referencesystem. Denne kraft er Euler -kraften.

(Referencesystemet vælges her på en sådan måde, at dets rotationsakse ændres og dermed frembringer Euler -kraften. Referencesystemet udfører både den hurtige rotation omkring den vandret liggende gyroakse og gyroakseens langsomme præcession omkring den lodrette akse gennem ophængningspunktet For at forklare vælges ofte en lettere tænkelig referenceramme, hvor gyroaksen hviler, men gyroen roterer. Denne referenceramme viser kun præcessionen med sin konstante vinkelhastighed, så den ikke forårsager nogen Euler I forhold til denne referenceramme oplever massepunktet og bevægelserne derfor en Coriolis -kraft.I hvert punkt i dets kredsløb svarer det til den tidligere bestemt Euler -kraft - i massepunktets hvilesystem. F.eks. Coriolis -kraften er størst, når massepunktets relative hastighed er vinkelret på referencesystemets rotationsakse, dvs. prækessionens akse. Dette sker på, om er og nedre punkt på den cirkulære vej, med modsatte tegn på Coriolis -kraften.)

Yderligere eksempler: pandekværn . Der øger møllestenes rotation trykket på overfladen, hvilket, som i tilfælde af presession, kan forklares med en Euler -kraft eller en Coriolis -kraft afhængigt af valget af det accelererede referencesystem.

Formler

notation

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Beobachtungen im Inertialsystem die normale Notation im verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. prime ). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“. Der Subindex steht für den Ursprung des gestrichenen Bezugssystems.

Bedeutung
Masse des betrachteten Körpers.
Position des Objektes in S (Inertialsystem).
Relativposition des Objektes in S' (Nicht-Inertialsystem).
Geschwindigkeit des Objektes in S
Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
Beschleunigung des Objektes in S
Relativbeschleunigung des Objektes in S'
Position des Ursprungs von S' in S
Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Translatorisch bewegtes Bezugssystem

Bewegt sich S' im Inertialsystem S rein translatorisch, also ohne jede Drehung, dann bewegen sich alle Punkte, die in S' ruhen, parallel zueinander mit derselben Geschwindigkeit wie der Ursprung. Eine Relativbewegung im Bezugssystem kommt additiv hinzu. Folglich gilt:

kinematische Größen in S
Position
Geschwindigkeit
Beschleunigung

Bei als bekannt vorausgesetzter äußerer Kraft gilt im Inertialsystem S die Newtonsche Bewegungsgleichung

Wird die Beschleunigung in die Newtonsche Bewegungsgleichung eingesetzt, ergibt sich:

Für die im beschleunigten Bezugssystem unbekannte Beschleunigung ergibt sich dann:

Wird die Trägheitskraft in dieser Form mit berücksichtigt, kann man die ganze Newtonsche Mechanik auch im beschleunigten Bezugssystem anwenden.

Allgemein beschleunigtes Bezugssystem

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

kinematische Größen in S
Position
Geschwindigkeit
Beschleunigung

Setzt man die Absolutbeschleunigung in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, ergibt sich:

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung folgt:

Der Term ist die Trägheitskraft, die zusätzlich zur Kraft im beschleunigten Bezugssystem berücksichtigt werden muss.

Der Ausdruck rührt von der Beschleunigung des Bezugssystems her und hat keinen besonderen Namen. [6] Weiter ist die Zentrifugalkraft . Die Zentrifugalkraft ist auf einer Achse die durch den Ursprung des Bezugssystems geht und in Richtung der Winkelgeschwindigkeit zeigt Null. Der Term wird hier nach [1] :103 als Eulerkraft bezeichnet (in [7] als „lineare Beschleunigungskraft“). Der Term ist die Corioliskraft .

Kräftefreie Bewegung

Entfällt die äußere Kraft , so berechnet sich die unbekannte Relativbewegung im beschleunigten Bezugssystem ausschließlich durch die Trägheitskraft . Um die Trägheitskraft zu berechnen, ist die Kenntnis eines Inertialsystems hier erforderlich:

Anwendungsfall: Wie bewegen sich die Funken, wenn sie sich von der Schleifscheibe ablösen.

Vorgegebene Bewegung

Ist die Relativbewegung bekannt, z. B. durch die Beobachtung von Planetenbahnen in einem erdfesten System, kann daraus auf die Gesamtkraft geschlossen werden.

Kann eine äußere Kraft ausgeschlossen oder vernachlässigt werden, z. B. bei den Funken die sich von der Schleifscheibe lösen, kann die Trägheitskraft berechnet werden, die für die vorgegebene Bewegung erforderlich ist. Dabei muss die Bewegung des Bezugssystems selbst nicht berücksichtigt werden.

Trägheitskraft und Machsches Prinzip

Im Rahmen der Newtonschen Mechanik ist es möglich, theoretisch schon einem einzigen Körper im ansonsten leeren Universum Eigenschaften wie Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Trägheit und damit auch Trägheitskraft zuzuschreiben. Die begriffliche Grundlage hierfür sind die Annahmen eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit, die durch die Spezielle Relativitätstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie aber als unhaltbar erkannt wurden. Schon vorher hatte Ernst Mach in einem nach ihm benannten Prinzip gefordert, die Gesetze der Mechanik so abzufassen, dass nur die Relativbewegungen der im Weltall verteilten Massen eine Rolle spielen. Dann müssen aber auch Trägheit und Trägheitskraft eines Körpers auf einer Wechselwirkung mit anderen Körpern beruhen.

Gravitationskraft als Trägheitskraft

Begriffsbildung

Die erste der oben beschriebenen Trägheitskräfte

hat alle Eigenschaften eines homogenen Schwerefelds

.

Sie ist proportional zur Masse des Körpers und hängt ansonsten von keinen anderen seiner Eigenschaften ab. Sie lässt sich an ihren Wirkungen daher nicht von einer effektiven Schwerkraft gemäß

unterscheiden.

Nur wenn die Schwerebeschleunigung eine im betrachteten Bezugssystem von vornherein feststehende Größe ist, wie sie etwa durch das Newtonsche Gravitationsgesetz oder durch die im Alltag und in der Technik übliche Festsetzung der Erdbeschleunigung bestimmt ist, ist auch eine Trägheitskraft der Form eindeutig zu identifizieren. Anderenfalls könnte man von einem mit beschleunigten Bezugssystem sagen, es handle sich um ein Inertialsystem, in dem eine Schwerebeschleunigung herrscht. In diesem Sinn gilt daher auch ein geradlinig beschleunigtes Bezugssystem als Inertialsystem.

Zu einem gegebenen Gravitationsfeld lässt sich stets ein beschleunigtes Bezugssystem definieren, in dem die effektive Schwerebeschleunigung die Gravitationskräfte gerade kompensiert, und zwar unabhängig von der Bewegung und der Art des Körpers. Dazu muss dieses Bezugssystem nur mit beschleunigt sein, dh, es muss gegenüber dem ruhenden System einen freien Fall ausführen. Innerhalb des fallenden Bezugssystems würden weder Gravitations- noch Trägheitskräfte zu beobachten sein, da sie sich ja exakt aufheben. Allerdings gilt dies wegen der Inhomogenität eines jeden realen Gravitationsfelds immer nur lokal, dh genähert in einem hinreichend kleinen Raumgebiet.

Diese Beobachtung lässt sich umdeuten, indem man das frei fallende Bezugssystem als das hier allein gültige Inertialsystem definiert. Dann ist das vorherige Bezugssystem, in dem Gravitation herrscht, kein Inertialsystem mehr, denn von dem neuen Inertialsystem aus gesehen bewegt es sich entgegengesetzt zum freien Fall, also beschleunigt. In diesem System treten dann Trägheitskräfte auf, die exakt mit den vorher dort festgestellten Gravitationskräften übereinstimmen und sie daher vollständig „erklären“ können. Unter einem Inertialsystem versteht man dann nur ein solches, in dem keine Gravitation herrscht. Gravitationskraft als ein eigenständiges Phänomen existiert in dieser Beschreibung nicht. Sie wird zu einer Trägheitskraft, die nur in Bezugssystemen auftritt, die keine solchen Inertialsysteme sind. Diese Feststellung ist gleichbedeutend mit dem Äquivalenzprinzip , der Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie .

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie muss allerdings das Prinzip fallen gelassen werden, dass ein für das ganze Universum gültiges Inertialsystem mit euklidischer Geometrie definiert werden kann. Für hinreichend kleine Bereiche von Raum und Zeit lassen sich jedoch weiterhin Inertialsysteme definieren. Die gesamte Raumzeit wird durch eine vierdimensionale, gekrümmte Mannigfaltigkeit beschrieben. Die allgemeine Relativitätstheorie geht über das Newtonsche Gravitationsgesetz hinaus und ist die heute anerkannte Theorie der Gravitation.

Beispiel

Als Beispiel sei erklärt, warum ein Fahrgast in einem bremsenden Zug auf horizontaler Strecke das gleiche Erlebnis hat wie bei gleichförmiger Fahrt auf abschüssiger Strecke. In dem bremsenden Wagen ergibt die Summe der nach unten gerichteten Gravitationskraft und der nach vorne gerichteten Trägheitskraft eine Gesamtkraft, die schräg nach vorne gerichtet ist. Um ruhig stehen zu können, muss die Gesamtkraft aber längs der Körperachse vom Kopf zu den Füßen gerichtet sein, weshalb man sich entweder nach hinten neigen oder durch Festhalten eine dritte Kraft ins Spiel bringen muss, mit der die Gesamtkraft wieder senkrecht zum Wagenboden ist. Das gleiche zeigt sich, wenn der Wagen steht oder mit konstanter Geschwindigkeit fährt, aber die Strecke abschüssig ist. Dann wirkt keine der Trägheitskräfte aus der Newtonschen Mechanik, aber die Gravitationskraft zieht nicht mehr im rechten Winkel zum Boden, sondern schräg nach vorne. Fasst man die Gravitationskraft auch als Trägheitskraft auf, ist die Erklärung in beiden Fällen die gleiche.

Siehe auch

Literatur

  • JW Warren: Understanding Force . John Murray, 1979, ISBN 0-7195-3564-6 . Deutsche Übersetzung: Verständnisprobleme beim Kraftbegriff. (PDF; 395 kB), S. 15 ff.
  • Istvan Szabo: Einführung in die Technische Mechanik . 8. Auflage. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-03679-2 .
  • Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics (Band I Teil 1, deu-eng) . Oldenbourg, München 1974, ISBN 3-486-33691-6 .
  • Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik . 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6 .
  • Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre . 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Nach D'Alembert fassen wir den Ausdruck in Bewegungsgesetz (8.1) als Hilfskraft auf und nennen sie Trägheitskraft.“
  • Dieter Meschede: Gerthsen Physik . Hrsg.: Christian Gerthsen, Dieter Meschede. 24. Auflage. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6 , S.   41–42 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Kräfte, die dadurch entstehen, dass man den Vorgang in einem bestimmten Bezugssystem beschreibt, und die in einem anderen Bezugssystem nicht vorhanden wären: Trägheitskräfte […] Diese gebräuchliche aber etwas irreführende Einstufung der Kraft als Scheinkraft ändert allerdings nichts an ihren realen, oft katastrophalen Folgen.“
  • Istvan Szabo: Geschichte der mechanischen Prinzipien . 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 1987, ISBN 3-7643-1735-3 .
  • Istvan Szabo: Höhere Technische Mechanik . 6. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8 .
  • S. Brandt, HD Dahmen: Mechanik . 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21666-9 .
  • Peter Reinecker, Michael Schulz, Beatrix M. Schulz: Theoretische Physik I . Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40635-2 .
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1 – Klassische Mechanik . 7. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21474-7 .
  • Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik . 8. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40721-7 .
  • Agostón Budó: Theoretische Mechanik . 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963, ISBN 3-540-67653-8 .
  • Lev D. Landau, EM Lifschitz, Paul Ziesche: Mechanik . Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1326-9 ( online ).
  • Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen . 3., aktualisierte Auflage. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-41142-5 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Anmerkungen

  1. Euler ging von der Frage aus, ob das aus den Planetenbeobachtungen erschlossene Kraftgesetz der Gravitation dadurch verfälscht sein könnte, dass der Beobachter sich mit der Erde selber beschleunigt bewegt hat.

Einzelnachweise

  1. a b Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics . Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7 , S.   88–110 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Accordingly, the force of inertia I has to be defined as the negative rate of change of momentum: I = −d/dt(mv) … The definition of the force of inertia requires ‚an absolute reference system' in which the acceleration is measured. This is an inherent difficulty of Newtonian mechanics, keenly felt by Newton and his contemporaries. The solution of this difficulty came in recent times through Einstein's great achievement, the Theory of General Relativity.“
  2. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik: Band 3: Kinetik , 10. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, S. 191. ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) S. 191: „Wir schreiben nun F − ma = 0 und fassen das negative Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a formal als eine Kraft auf, die wir […] D'Alembertsche Trägheitskraft F T nennen: F T = −ma. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
  3. Max Jammer: Der Begriff der Masse in der Physik . Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964.
  4. Giulio Maltese: On the Relativity of Motion in Leonhard Euler's Science . In: Archives for History of Exact Sciences Springer-Verlag . Band   54 , 2000, S.   319–348 .
  5. a b Siehe Video (Uni Würzburg)
  6. Vereinzelt wird die Bezeichnung „Einsteinkraft“ verwendet, die in anderem Kontext aber gänzlich anders gebraucht wird: Verwendung des Begriffs Einsteinkraft (S. 5). (PDF; 130 kB).
  7. Eckhard Rebhan: Theoretische Physik I . Spektrum, Heidelberg/Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8 . , S. 66.

Weblinks