Kredsløb

Som kredsløb eller bane ( lånt på engelsk bane fra latinske Orbis til "[cirkel] web") ^[1] refereres til banen i astronomi, hvorpå et objekt på grund af tyngdekraften i et frit fald periodisk flyttede til et andet objekt, central krop .

Hvis begge objekter antages at være punktlignende, og den gensidige tiltrækning kan beskrives uforstyrret af Newtons gravitationslov , har stien form som en ellipse . Dette gælder også centre for udvidede objekter med sfærisk symmetrisk massefordeling. Hvis stien til et af objekterne beskrives i forhold til det andet, så er det andet i ellipsens fokuspunkt. Set fra det fælles massemidtpunkt beskriver hvert af objekterne en ellipse, hvor massens centrum er omdrejningspunktet i begge ellipser. Hvis yderligere ydre kræfter virker på et sådant to -kropssystem , eller kraften ikke ligefrem følger Newtons tyngdelov, kan den - forstyrrede - kredsløbsform ikke være en matematisk nøjagtig ellipse (se f.eks. Merkurius perihel ).

Banen i kredsløb er også kendt som en revolution (se De revolutionibus orbium coelestium ). Den nødvendige tid til dette er den periode revolution (eller omdrejning periode).

Bane som et to-kropsproblem

To kroppe af samme masse bevæger sig rundt om hinanden på stier af samme form gennem gensidig tiltrækning. Korset markerer det hvilende tyngdepunkt, barycenteret .

Med passende startforhold bevæger begge legemer (her: forskellige masser) sig på cirkulære stier.

I to- kropssystemet negligeres alle påvirkninger fra andre organer eller i bedste fald betragtes som en mindre forstyrrelse. Dette er en god tilnærmelse til par kredsløbende objekter som:

jorden omkring solen ; se jordens kredsløb
- jorden omkring jordens måne tyngdepunkt
Jordens kredsløb :
- månen omkring jorden (eller omkring jord-månens tyngdepunkt ); se månens bane
- Satellit , rumfærge eller lignende rumfartøjer ; se satellitbane
Planeter , kometer eller asteroider (planetoider) omkring solen (for en oversigt se solsystemet )
Måner omkring andre planeter eller omkring asteroider
Dobbeltstjerner omkring hinanden (eller omkring deres barycentre ).
Eksoplaneter omkring deres centrale objekt
solen (og med det hele solsystemet) omkring Mælkevejens centrum

Banerne er Kepler baner, dvs. orbitale ellipser med karakteristiske cyklustider , der resulterer fra den gennemsnitlige baneradius og massen af objekterne. Hvis der er en betydelig forskel i masser, betragtes den med den større som et centralt legeme, som det andet objekt kredser om. Cirkulationen finder sted i et plan , hvor barycentret for de to kroppe også er placeret. Vektoren, der peger fra det centrale objekt til det roterende objekt, kaldes radiusvektoren .

Selv i to-kropssystemet er det imidlertid ikke alle baner, der er lukkede eller stabile over tid. Kometbaner kan forlænges som hyperboler , og flere stjerner eller asteroider kan befinde sig på ustabile baner. Den bane af alle stjerner rundt om galaktiske centrum ligner en spiral rotation med en periode på 100 til 300 millioner år. Relativistiske forstyrrelser betyder, at en Kepler -bane er et idealiseret tilfælde. Faktisk er alle kredsløb ustabile, herunder jordens, med de største forstyrrelser normalt forårsaget af tyngdekraften i andre himmellegemer.

Planeter, orbitale elementer, binære stjerner

Fire ud af seks kredsløbselementer , som de er almindelige med planeter.

Banernes baner i solsystemet er bedst kendt . I begyndelsen af 1600 -tallet erkendte Johannes Kepler , da han analyserede Mars -kredsløbet, at disse baner er ellipser (se Keplers love ). Det samme gælder for alle himmellegemer, der bevæger sig rundt om solen og ikke udsættes for andre kræfter (såsom solvinden ).

Fra Newtons tyngdelov kan man udlede, at banerne i hvert to -kropssystem er keglesnit - det vil sige cirkler , ellipser, paraboler eller hyperboler .

Med bevægelige punktmasser i et vakuum kan de beskrives nøjagtigt af seks vejelementer .

De sande baner afviger imidlertid fra disse ideelle Kepler -ellipser , fordi de i princippet også er genstand for gravitation af alle andre legemer i systemet . Så længe kroppene er langt nok fra hinanden, forbliver forskellene i de idealiserede keglesnit minimale. Disse kredsløbsforstyrrelser kan bestemmes ved forstyrrelsesberegningen af den himmelske mekanik , som går tilbage til Carl Friedrich Gauß og nogle af hans samtidige. Den modellerer de enkelte kræfter og beregner, hvordan den aktuelle Kepler -ellipse smelter sammen til den næste ellipse på en oscillerende måde .

Desuden forårsager hver ujævn massefordeling - såsom udfladning af roterende planeter - et noget inhomogent tyngdefelt; dette er især mærkbart i de lidt ændrede baner på deres måner . Andre mindre ændringer i banerne beskrives ved generel relativitet .

For eksempel viser planeten Merkur en lille, men målbar afvigelse fra en elliptisk bane. Efter et kredsløb kommer det ikke nøjagtigt tilbage til udgangspunktet, men følger snarere en rosetsti ved at dreje apsidallinjen i højre retning. Den newtonske tyngdekraftsteori kan forklare denne perihelionrotation , men ikke helt. For at gøre dette skulle solen have en noget flad form. Den generelle relativitetsteori giver en tilstrækkelig forklaring på den samlede størrelse af perihelionrotationen på alle berørte planeter.

Dobbeltstjerner følger også Keplers love mere eller mindre, hvis man forstår deres bevægelse som to ellipser omkring det fælles tyngdepunkt. Særlige metoder til beregning af forstyrrelser er kun nødvendige i tilfælde af flere systemer eller meget tætte stjernepar.

Banerne i to tæt kredsløbende neutronstjerner viser endnu større ustabilitet . Virkningerne af rum-tid- relativitet skaber gravitationsstråling, og neutronstjernerne falder sammen (efter lang tid) i hinanden. Talrige røntgenkilder på himlen kan forklares på denne måde.

Da fysikere begyndte at beregne elektronernes kredsløb i atomer ved århundredeskiftet, tænkte de på et planetsystem i lille skala . De første modeller var elektroner i Kepler -kredsløb omkring atomkernen .

Imidlertid blev det hurtigt erkendt, at elektroner, der kredser rundt om kernen, ifølge Maxwells ligninger udsender elektromagnetiske bølger og på grund af energien, der udsendes på denne måde, skulle styrte ind i atomkernen i brøkdele af et sekund. Dette var et af de problemer, der til sidst førte til udviklingen af kvantemekanik .

Klar forklaring baseret på de kegleformede stier

Projektilets vej ændres afhængigt af lanceringshastigheden. Der skabes en bane mellem den første og den anden kosmiske hastighed .

Keglesnit beskriver de mulige stier (gul). En projektion af disse baner på tyngdekraftspotentialet (blå) i centrallegemet gør det muligt at bestemme orbitalenergien i hvert punkt i rummet.

Mekanikken i en bane demonstreres ofte ved hjælp af et levende tankeeksperiment : Man antager, at man står på et højt tårn eller bjerg og skyder et projektil vandret. Luftmodstanden udelades foreløbig af enkelthedens skyld. Tankeeksperimentet bliver endnu mere levende, hvis det ikke holdes på jorden, men på en lille planet eller måne, på samme måde som det velkendte omslagsbillede af bogen Den lille prins eller på Mars-månen Phobos (se også nedenfor).

Ved lav affyringshastighed flyver projektilet langs en baneparabel og rammer jorden efter en kort flyvning (sti A i den tilstødende skitse).
Ved højere affyringshastigheder bliver parabolen til en elliptisk bue , og projektilet rammer først jordoverfladen igen, efter at den er fløjet over en mærkbar del af jordens omkreds (sti B).
Hvis lanceringshastigheden når den første kosmiske hastighed , bliver den elliptiske bue til en fuld cirkel , en bane. Så projektilet er for hurtigt til at falde ned igen; det siges, at det så "falder rundt om jorden" (bane C).
Hvis lanceringshastigheden øges yderligere, bliver cirklen til en elliptisk bane , hvor startpunktet er og forbliver det nærmeste punkt til jorden (sti D).
Hvis lanceringshastigheden overstiger den anden kosmiske hastighed, åbner ellipsen sig i en hyperbola . Ingen bane skabes, fordi projektilet er hurtigere end jorden kan trække projektilet tilbage mod sig selv. Med andre ord: projektilets kinetiske energi er større end den gravitationsenergi, som jorden virker på projektilet. (Bane E)

Lave baner

Hvis banediameteren kun er lidt større end diameteren af det centrale legeme, taler man om en nær overflade eller lav bane , teknisk set en LEO for Low Earth Orbit . Hvis det antages, at det centrale legeme og kredsløbet er cirkulært med den samme radius, svarer vægtkraften med centrifugalkraften til rotationshastigheden (den første kosmiske hastighed ) og rotationstid.

Newtons tyngdelov :

G=\gamma \cdot {\frac {m_{\mathrm {Sat} }\cdot m_{\mathrm {Z} }}{r^{2}}}

{\ displaystyle G = \ gamma \ cdot {\ frac {m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot m _ {\ mathrm {Z}}} {r ^ {2}}}}

G = \ gamma \ cdot {\ frac {m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot m _ {\ mathrm {Z}}} {r ^ {2}}}

med $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ = Vægtkraft , $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ = Gravitationskonstant , $m_{\mathrm {Sat} }$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {lør}}}$ $m _ {\ mathrm {lør}}$ = Massen af satellitten, $m_{\mathrm {Z} }$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {Z}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {Z}}}$ = Massen af det centrale legeme, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ = Radius af centrallegemet

Satellitens vægt opstår, når densiteten $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ af det centrale legeme antages at være konstant, og ud fra dette beregnes massen som følger:

G=\gamma \cdot {\frac {m_{\mathrm {Sat} }\cdot \rho \cdot r^{3}\cdot {\frac {4\pi }{3}}}{r^{2}}}=\gamma \cdot m_{\mathrm {Sat} }\cdot \rho \cdot r\cdot {\frac {4\pi }{3}}

{\ displaystyle G = \ gamma \ cdot {\ frac {m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ rho \ cdot r ^ {3} \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}} {r ^ {2}}} = \ gamma \ cdot m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}

G = \ gamma \ cdot {\ frac {m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ rho \ cdot r ^ {3} \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}} {r ^ {2 }}} = \ gamma \ cdot m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}

Ved at sidestille med udtrykket $G=m_{\mathrm {Sat} }\cdot g$ ${\ displaystyle G = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot g}$ $G = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot g$ centripetalaccelerationen resulterer i vægtkraften $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ (i tilfældet med jorden, accelerationen på grund af tyngdekraften ):

g=\gamma \cdot \rho \cdot r\cdot {\frac {4\pi }{3}}

{\ displaystyle g = \ gamma \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}

g = \ gamma \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}

Vægten $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ og centrifugalkraften $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ med webhastighed $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ skal ( $\,{\stackrel {!}{=}}\,$ ${\ displaystyle \, {\ stackrel {!} {=}} \,}$ $\, {\ stackrel {!} {=}} \,$ ) være i balance:

Z=m_{\mathrm {Sat} }v^{2}/r\,{\stackrel {!}{=}}\,G=m_{\mathrm {Sat} }\cdot \gamma \cdot \rho \cdot r\cdot {\frac {4\pi }{3}}=m_{\mathrm {Sat} }\cdot g

{\ displaystyle Z = m _ {\ mathrm {Sat}} v ^ {2} / r \, {\ stackrel {!} {=}} \, G = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ gamma \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}} = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot g}

{\ displaystyle Z = m _ {\ mathrm {Sat}} v ^ {2} / r \, {\ stackrel {!} {=}} \, G = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot \ gamma \ cdot \ rho \ cdot r \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}} = m _ {\ mathrm {Sat}} \ cdot g}

Da satellitmassen skiller sig ud fra denne ligning, er dens bane uafhængig af dens masse såvel som dens form.

Løst efter $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ efter afkortning $m_{\mathrm {Sat} }$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {lør}}}$ $m _ {\ mathrm {lør}}$ :

v={\sqrt {r\cdot g}}={\sqrt {\gamma \cdot \rho \cdot r^{2}\cdot {\frac {4\pi }{3}}}}=r\cdot {\sqrt {\gamma \cdot \rho \cdot {\frac {4\pi }{3}}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {r \ cdot g}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot r ^ {2} \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}} = r \ cdot {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}}}}

v = {\ sqrt {r \ cdot g}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot r ^ {2} \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}} = r \ cdot {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}}

Rotationsperioden $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ resultater fra $t={\tfrac {2\pi r}{v}}$ ${\ displaystyle t = {\ tfrac {2 \ pi r} {v}}}$ ${\ displaystyle t = {\ tfrac {2 \ pi r} {v}}}$ dvs. omfang / hastighed:

t={\frac {2\pi r}{r\cdot {\sqrt {\gamma \cdot \rho \cdot {\frac {4\pi }{3}}}}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{\gamma \cdot \rho }}}

{\ displaystyle t = {\ frac {2 \ pi r} {r \ cdot {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {3 \ pi} {\ gamma \ cdot \ rho}}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {2 \ pi r} {r \ cdot {\ sqrt {\ gamma \ cdot \ rho \ cdot {\ frac {4 \ pi} {3}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {3 \ pi} {\ gamma \ cdot \ rho}}}}

Bortset fra naturlige konstanter afhænger satelliternes kredsløbstid kun af det centrale legems tæthed , men ikke af dets radius.

Konkrete værdier for baner rundt om jorden:

\rho _{\text{Erde}}=5515\ \mathrm {kg} /\mathrm {m} ^{3}

{\ displaystyle \ rho _ {\ text {Earth}} = 5515 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m} ^ {3}}

\ rho _ {\ text {Earth}} = 5515 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m} ^ {3}

t_{\text{Erde}}\approx 5060\ \mathrm {s} \approx 84\ \mathrm {min} \approx 1{,}4\ \mathrm {h}

{\ displaystyle t _ {\ text {Earth}} \ approx 5060 \ \ mathrm {s} \ approx 84 \ \ mathrm {min} \ approx 1 {,} 4 \ \ mathrm {h}}

t _ {\ text {Earth}} \ approx 5060 \ \ mathrm {s} \ approx 84 \ \ mathrm {min} \ approx 1 {,} 4 \ \ mathrm {h}

v_{\text{Erde}}\approx 7911\ \mathrm {m} /\mathrm {s} \approx 28.500\ \mathrm {km} /\mathrm {h}

{\ displaystyle v _ {\ text {Earth}} \ ca 7911 \ \ mathrm {m} / \ mathrm {s} \ ca 28.500 \ \ mathrm {km} / \ mathrm {h}}

v _ {\ tekst {Earth}} \ ca. 7911 \ \ mathrm {m} / \ mathrm {s} \ ca 28.500 \ \ mathrm {km} / \ mathrm {h}

Værdien på cirka 90 minutter er kendt som en tommelfingerregel fra lave satellitbaner og fra de fleste bemandede kredsende rumfartøjer.

For at sammenligne Mars -månen Phobos :

\rho _{\text{Phobos}}=1887\ \mathrm {kg} /\mathrm {m} ^{3}

{\ displaystyle \ rho _ {\ text {Phobos}} = 1887 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m} ^ {3}}

{\ displaystyle \ rho _ {\ text {Phobos}} = 1887 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m} ^ {3}}

t_{\text{Phobos}}\approx 8651\ \mathrm {s} \approx 144\ \mathrm {min} \approx 2{,}4\ \mathrm {h}

{\ displaystyle t _ {\ text {Phobos}} \ approx 8651 \ \ mathrm {s} \ approx 144 \ \ mathrm {min} \ approx 2 {,} 4 \ \ mathrm {h}}

{\ displaystyle t _ {\ text {Phobos}} \ approx 8651 \ \ mathrm {s} \ approx 144 \ \ mathrm {min} \ approx 2 {,} 4 \ \ mathrm {h}}

v_{\text{Phobos}}\approx 9{,}1\ \mathrm {m} /\mathrm {s} \approx 33\ \mathrm {km} /\mathrm {h}

{\ displaystyle v _ {\ text {Phobos}} \ approx 9 {,} 1 \ \ mathrm {m} / \ mathrm {s} \ approx 33 \ \ mathrm {km} / \ mathrm {h}}

v _ {\ text {Phobos}} \ approx 9 {,} 1 \ \ mathrm {m} / \ mathrm {s} \ approx 33 \ \ mathrm {km} / \ mathrm {h}

Selvom Phobos kun er omkring 25 kilometer i diameter, ligner kredsløbstiden for en nær overflade meget meget den på Jorden (og endnu større). Banehastigheden på denne bane er dog kun omkring 33 kilometer i timen . Så en astronaut på Phobos -overfladen kunne teoretisk kaste en bold ud af hånden i kredsløb. Da Phobos afviger stærkt fra den sfæriske form, er formlerne for baner tæt på overfladen ikke egnede i praksis her.

Den omstændighed, at kredsløbstiden for en nær overfladebane er uafhængig af radius af centrallegemet, kan generaliseres: Hvis et centralt legeme har en gennemsnitlig gennemsnitlig densitet som jorden, er det groft sagt struktureret som "stenet" , så er kredsløbstiden som jordens i størrelsesordenen 90 minutter, uanset om det er en asteroide eller en exo-planet omkring en helt anden stjerne.

Jordens kredsløb

Nogle satellitbaner i sammenligning

I en bane annullerer jordens tyngdekraft og centrifugalkraften hinanden i det lokale ko-koordinatsystem . Derfor er der vægtløshed om bord på et rumskib, der er i kredsløb (se også mikrogravitation ). De fleste rumflyvninger finder sted i lave baner (et par 100 km) rundt om jorden (f.eks. Rumfærge -missioner). Af fysiske årsager stiger eller falder omdrejningshastigheden i henhold til afstanden til jorden. Den geostationære bane er af særlig betydning - i en højde af omkring 35.800 km og uden hældning mod ækvatorialplanet . Satellitter i en sådan bane står stille i forhold til jordens overflade , hvilket er særlig nødvendigt for kommunikationssatellitter og vejrsatellitter .