Wave ligning

Bølgelegningen , også D'Alembert-ligningen ifølge Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , bestemmer udbredelsen af bølger som lyd eller lys . Det er en af de hyperboliske differentialligninger .

Hvis mediet eller vakuumet kun leder bølgen og ikke selv genererer bølger, er det mere præcist en homogen bølgeligning , den lineære partielle differentialligning af anden orden

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2} u} {\ delvis t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ delvis ^ {2} u} {\ delvis x_ {i} ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2} u} {\ delvis t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ delvis ^ {2} u} {\ delvis x_ {i} ^ {2}}} = 0}

for en rigtig funktion $u(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle u (t, x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ $u (t, x_1, \ dots, x_n)$ af rumtiden. Her er $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rummets dimension. Parameteren $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ er bølgeens udbredelseshastighed, dvs. lydens hastighed for lyd (i et homogent og isotropisk medium) og lysets hastighed for lys.

Bølgeligningens differentialoperator kaldes D'Alembert -operatoren og bruger symbolet $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Boks$ skrevet ned.

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis x_ {i} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis x_ {i} ^ {2}}}}

,

Løsningerne på bølgelegningen kaldes bølger . Fordi ligningen er lineær, overlapper bølger uden at påvirke hinanden. Da bølgeligningens koefficienter ikke afhænger af sted eller tid, opfører bølger sig uanset hvor eller hvornår og i hvilken retning de er spændte. Skiftede, forsinkede eller roterede bølger er også løsninger på bølgelegningen.

Den inhomogene bølge -ligning forstås at være den inhomogene lineære partielle differentialligning

\Box u=v\ .

{\ displaystyle \ Box u = v \.}

{\ displaystyle \ Box u = v \.}

Den beskriver den tidsmæssige udvikling af bølger i et medium, der selv genererer bølger. Uhomogeniteten $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ kaldes også bølgens kilde $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ .

Bølgelegningen i en rumlig dimension

D'Alembert -operatøren i en rumlig dimension

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis t ^ {2}}} - {\ frac {\ delvis ^ { 2}} {\ delvis x ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis t ^ {2}}} - {\ frac {\ delvis ^ { 2}} {\ delvis x ^ {2}}}}

går i opløsning på grund af Blacks sætning som i den binomiske formel $(a^{2}-b^{2})=(a-b)(a+b)$ ${\ displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) = (ab) (a + b)}$ ${\ displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) = (a -b) (a + b)}$ i produktet

\Box =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)

{\ displaystyle \ Box = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} - {\ frac {\ partial} {\ delvis x}} \ højre) \ venstre ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} + {\ frac {\ delvis} {\ delvis x}} \ højre)}

{\ displaystyle \ Box = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} - {\ frac {\ partial} {\ delvis x}} \ højre) \ venstre ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} + {\ frac {\ delvis} {\ delvis x}} \ højre)}

.

Derfor har bølgelegningen den generelle løsning i en rumlig dimension

u\left(t,x\right)=f(x+ct)+g(x-ct)

{\ displaystyle u \ venstre (t, x \ højre) = f (x + ct) + g (x-ct)}

u \ venstre (t, x \ højre) = f (x + ct) + g (x - ct)

med enhver dobbelt differentierbar funktion $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ og $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ . Den første stævning $f(x+ct)$ ${\ displaystyle f (x + ct)}$ ${\ displaystyle f (x + ct)}$ er en til venstre og den anden stævning $g(x-ct)$ ${\ displaystyle g (x-ct)}$ ${\ displaystyle g (x-ct)}$ en bølge, der løber til højre med en uændret form. De lige linjer $x\pm ct={\text{konstant}}$ ${\ displaystyle x \ pm ct = {\ tekst {konstant}}}$ ${\ displaystyle x \ pm ct = {\ tekst {konstant}}}$ er karakteristika for bølgelegningen.

Være

\phi (x)=u(0,x)=f(x)+g(x)

{\ displaystyle \ phi (x) = u (0, x) = f (x) + g (x)}

{\ displaystyle \ phi (x) = u (0, x) = f (x) + g (x)}

den oprindelige værdi og

\psi (x)={\frac {1}{c}}{\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f'(x)-g'(x)

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partiel u} {\ delvis t}} (0, x) = f '(x) -g' (x) }

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partiel u} {\ delvis t}} (0, x) = f '(x) -g' (x) }

bølgens indledende tidsderivat. Disse rumfunktioner kaldes samlet for bølgens startværdier.

Integrationen af den sidste ligning giver

f(x)-g(x)=\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \ .

{\ displaystyle f (x) -g (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \.}

{\ displaystyle f (x) -g (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \.}

Ved at opløse får man

f(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)\ ,

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \,}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \,}

g(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)-\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)\ .

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x) - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ højre) \.}

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x) - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ højre) \.}

Løsningen af bølge -ligningen udtrykkes derfor i form af deres startværdier

u(t,x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x+ct)+\phi (x-ct)+\int _{x-ct}^{x+ct}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)\ .

{\ displaystyle u (t, x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x + ct) + \ phi (x-ct) + \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}

{\ displaystyle u (t, x) = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ phi (x + ct) + \ phi (x-ct) + \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}

Dette er også kendt som D'Alemberts løsning på bølge -ligningen ( d'Alembert , 1740'erne). ^[1]

Bølgelegningen i tre rumlige dimensioner

Bølgeligningens generelle løsning kan udtrykkes som en lineær kombination af plane bølger

u({\vec {x}},t)=\int \mathrm {d} \omega \int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,A(\omega ,k)e^{\mathrm {i} ({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)}\delta (\omega -c|{\vec {k}}|)

{\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = \ int \ mathrm {d} \ omega \ int \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {k}} \, A (\ omega, k) e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)} \ delta (\ omega -c | {\ vec {k}} |) }

{\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = \ int \ mathrm {d} \ omega \ int \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {k}} \, A (\ omega, k) e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)} \ delta (\ omega -c | {\ vec {k}} |) }

skrive. Delta -fordelingen sikrer, at dispersionsforholdet $\omega =c|{\vec {k}}|$ ${\ displaystyle \ omega = c | {\ vec {k}} |}$ ${\ displaystyle \ omega = c | {\ vec {k}} |}$ er bevaret. Sådan en plan bølge bevæger sig i retning af ${\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ vec {k}}$ . Med overlejringen af sådanne løsninger er det imidlertid ikke indlysende, hvordan deres oprindelige værdier er relateret til den senere løsning.

Den generelle løsning af den homogene bølgeligning kan repræsenteres i tre rumlige dimensioner ved hjælp af middelværdierne for de oprindelige værdier. Vær funktionen $u(t,{\vec {x}})$ ${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}})}$ ${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}})}$ og deres afledte tid i begyndelsen $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ gennem funktioner $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ og $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ givet,

u(0,{\vec {x}})=\phi ({\vec {x}}),\quad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}u(0,{\vec {x}})=\psi ({\vec {x}})\,,

{\ displaystyle u (0, {\ vec {x}}) = \ phi ({\ vec {x}}), \ quad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} u (0, {\ vec {x}}) = \ psi ({\ vec {x}}) \ ,,}

{\ displaystyle u (0, {\ vec {x}}) = \ phi ({\ vec {x}}), \ quad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} u (0, {\ vec {x}}) = \ psi ({\ vec {x}}) \ ,,}

så er den lineære kombination af midler

u(t,{\vec {x}})=ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\psi ]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\phi ])

{\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ delvis} {\ delvis t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi])}

{\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ delvis} {\ delvis t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi])}

den tilsvarende løsning af den homogene bølgeligning. Her udpeget

M_{t,{\vec {x}}}[\chi ]={\frac {1}{4\,\pi }}\int _{-1}^{1}\mathrm {d} \cos \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,\chi ({\vec {x}}+ct{\vec {n}}(\theta ,\varphi ))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle M_ {t, {\ vec {x}}} [\ chi] = {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mathrm {d} \ cos \ theta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, \ chi ({\ vec {x}} + ct {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi )) \ quad {\ text {mit}} \ quad {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M_ {t, {\ vec {x}}} [\ chi] = {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mathrm {d} \ cos \ theta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, \ chi ({\ vec {x}} + ct {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi )) \ quad {\ text {mit}} \ quad {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

middelværdien af funktionen $\chi \,,$ ${\ displaystyle \ chi \ ,,}$ $\ chi \ ,,$ gennemsnit over en sfærisk skal omkring punktet ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ med radius $c|t|.$ ${\ displaystyle c | t |.}$ ${\ displaystyle c | t |.}$ Især er $M_{0,{\vec {x}}}[\chi ]=\chi ({\vec {x}}).$ ${\ displaystyle M_ {0, {\ vec {x}}} [\ chi] = \ chi ({\ vec {x}}).}$ ${\ displaystyle M_ {0, {\ vec {x}}} [\ chi] = \ chi ({\ vec {x}}).}$

Som denne repræsentation af løsningen ved de oprindelige værdier viser, afhænger løsningen løbende af de oprindelige værdier og afhænger af tiden $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ lokalt ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ kun ud fra de oprindelige værdier på stederne ${\vec {y}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}}}$ ${\ vec {y}}$ fra hvilken en ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ i udtrykket $|t|$ ${\ displaystyle | t |}$ $| t |$ ved hastighed $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ kan nå. Det opfylder således Huygens -princippet .

Dette princip gælder ikke for endimensionelle systemer og i lige rumlige dimensioner. Løsningerne hænger i øjeblikket der $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ også fra startværdier på tættere punkter ${\vec {y}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}}}$ ${\ vec {y}}$ fra hvilken en ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ nået med en lavere hastighed.

Løsningen af den inhomogene bølgeligning i tre rumlige dimensioner

u(t,{\vec {x}})=ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\psi ]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\phi ])+{\frac {1}{4\pi }}\int _{|{\vec {z}}|\leq c|t|}\mathrm {d} ^{3}{\vec {z}}\,{\frac {v(ct-\operatorname {sign} (t)|{\vec {z}}|,{\vec {x}}+{\vec {z}})}{|{\vec {z}}|}}

{\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ delvis} {\ delvis t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi]) + {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {| {\ vec {z}} | \ leq c | t |} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- \ operatorname {sign} (t) | {\ vec {z}} |, {\ vec {x}} + {\ vec {z}})} {| {\ vec {z}} |}}}}

{\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ delvis} {\ delvis t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi]) + {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {| {\ vec {z}} | \ leq c | t |} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- \ operatorname {sign} (t) | {\ vec {z}} |, {\ vec {x}} + {\ vec {z}})} {| {\ vec {z}} |}}}

afhænger af stedet ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ for nu $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ kun fra inhomogeniteten på den bagudvendte lyskegle af ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ fra, på negative tidspunkter kun fra inhomogeniteten på den forreste lyskegle. Inhomogeniteten og de oprindelige værdier påvirker opløsningen ved lysets hastighed.

Forsinket potentiale

Det forsinkede potentiale

u_{\text{retardiert}}(t,{\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {z}}\,{\frac {v(ct-|{\vec {z}}|,\,{\vec {x}}+{\vec {z}})}{|{\vec {z}}|}}

{\ displaystyle u _ {\ text {retarded}} (t, {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- | {\ vec {z}} |, \, {\ vec {x}} + {\ vec { z}})} {| {\ vec {z}} |}}}

{\ displaystyle u _ {\ text {retarded}} (t, {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- | {\ vec {z}} |, \, {\ vec {x}} + {\ vec { z}})} {| {\ vec {z}} |}}}

er en løsning af den inhomogene bølgeligning, der antager, at inhomogeniteten $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ på alle bagudvendte lyskegler hurtigere end $1/r^{2}$ ${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$ $1 / r ^ {2}$ falder af. Det er bølgen, der er fuldstændig skabt af mediet uden en forbigående bølge.

I elektrodynamik begrænser kontinuitetsligningen inhomogeniteten. Således kan ladningstætheden af en ikke-forsvindende total ladning aldrig forsvinde overalt. I forstyrrelsesteori opstår der inhomogeniteter, der ikke falder rumligt hurtigt nok. Derefter divergerer det tilhørende retarderede integral og har en såkaldt infrarød divergens.

Den noget mere komplekse repræsentation af løsningen gennem dens begyndelsesværdier i begrænset tid og gennem integraler over begrænsede dele af lyskeglen er fri for sådanne infrarøde divergenser.

Lorentz invariance af D'Alembert -operatøren

D'Alembert -operatøren $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Boks$ er uændret under oversættelser og Lorentz -transformationer $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ i den forstand, at det gjaldt for Lorentz lænkede funktioner $f\circ \Lambda ^{-1}$ ${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$ giver det samme resultat som den Lorentz-lænkede afledte funktion

(\Box f)\circ \Lambda ^{-1}=\Box \,(f\circ \Lambda ^{-1})\ .

{\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}

{\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}

Derfor er Laplace -operatøren invariant under oversættelser og rotationer.

Den homogene bølgeligning er invariant selv under konforme transformationer, især under strækning.

Se også

litteratur

Richard Courant , David Hilbert : Metoder for matematisk fysik. Bind 2. Anden udgave. Springer Verlag, Berlin 1968 ( Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684 ).
Fritz John : Partial Differential Equations, 4. udgave, Springer 1982

Weblinks

Gernot Pfanner, The Wave Equation (PDF)
Norbert Dragon, relativitetsteoriens geometri (PDF; 2,5 MB) Kapitel 5.5

Individuelle beviser

^ Eric Weisstein, d'Alemberts løsning, Mathworld

[1] Eric Weisstein, d'Alemberts løsning, Mathworld

[1]