Wave ligning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Bølgelegningen , også D'Alembert-ligningen ifølge Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , bestemmer udbredelsen af bølger som lyd eller lys . Det er en af ​​de hyperboliske differentialligninger .

Hvis mediet eller vakuumet kun leder bølgen og ikke selv genererer bølger, er det mere præcist en homogen bølgeligning , den lineære partielle differentialligning af anden orden

for en rigtig funktion af rumtiden. Her er rummets dimension. Parameteren er bølgeens udbredelseshastighed, dvs. lydens hastighed for lyd (i et homogent og isotropisk medium) og lysets hastighed for lys.

Bølgeligningens differentialoperator kaldes D'Alembert -operatoren og bruger symbolet skrevet ned.

,

Løsningerne på bølgelegningen kaldes bølger . Fordi ligningen er lineær, overlapper bølger uden at påvirke hinanden. Da bølgeligningens koefficienter ikke afhænger af sted eller tid, opfører bølger sig uanset hvor eller hvornår og i hvilken retning de er spændte. Skiftede, forsinkede eller roterede bølger er også løsninger på bølgelegningen.

Den inhomogene bølge -ligning forstås at være den inhomogene lineære partielle differentialligning

Den beskriver den tidsmæssige udvikling af bølger i et medium, der selv genererer bølger. Uhomogeniteten kaldes også bølgens kilde .

Bølgelegningen i en rumlig dimension

D'Alembert -operatøren i en rumlig dimension

går i opløsning på grund af Blacks sætning som i den binomiske formel i produktet

.

Derfor har bølgelegningen den generelle løsning i en rumlig dimension

med enhver dobbelt differentierbar funktion og . Den første stævning er en til venstre og den anden stævning en bølge, der løber til højre med en uændret form. De lige linjer er karakteristika for bølgelegningen.

Være

den oprindelige værdi og

bølgens indledende tidsderivat. Disse rumfunktioner kaldes samlet for bølgens startværdier.

Integrationen af ​​den sidste ligning giver

Ved at opløse får man

Løsningen af ​​bølge -ligningen udtrykkes derfor i form af deres startværdier

Dette er også kendt som D'Alemberts løsning på bølge -ligningen ( d'Alembert , 1740'erne). [1]

Bølgelegningen i tre rumlige dimensioner

Bølgeligningens generelle løsning kan udtrykkes som en lineær kombination af plane bølger

skrive. Delta -fordelingen sikrer, at dispersionsforholdet er bevaret. Sådan en plan bølge bevæger sig i retning af . Med overlejringen af ​​sådanne løsninger er det imidlertid ikke indlysende, hvordan deres oprindelige værdier er relateret til den senere løsning.

Den generelle løsning af den homogene bølgeligning kan repræsenteres i tre rumlige dimensioner ved hjælp af middelværdierne for de oprindelige værdier. Vær funktionen og deres afledte tid i begyndelsen gennem funktioner og givet,

så er den lineære kombination af midler

den tilsvarende løsning af den homogene bølgeligning. Her udpeget

middelværdien af ​​funktionen gennemsnit over en sfærisk skal omkring punktet med radius Især er

Som denne repræsentation af løsningen ved de oprindelige værdier viser, afhænger løsningen løbende af de oprindelige værdier og afhænger af tiden lokalt kun ud fra de oprindelige værdier på stederne fra hvilken en i udtrykket ved hastighed kan nå. Det opfylder således Huygens -princippet .

Dette princip gælder ikke for endimensionelle systemer og i lige rumlige dimensioner. Løsningerne hænger i øjeblikket der også fra startværdier på tættere punkter fra hvilken en nået med en lavere hastighed.

Løsningen af ​​den inhomogene bølgeligning i tre rumlige dimensioner

afhænger af stedet for nu kun fra inhomogeniteten den bagudvendte lyskegle af fra, på negative tidspunkter kun fra inhomogeniteten på den forreste lyskegle. Inhomogeniteten og de oprindelige værdier påvirker opløsningen ved lysets hastighed.

Forsinket potentiale

Det forsinkede potentiale

er en løsning af den inhomogene bølgeligning, der antager, at inhomogeniteten på alle bagudvendte lyskegler hurtigere end falder af. Det er bølgen, der er fuldstændig skabt af mediet uden en forbigående bølge.

I elektrodynamik begrænser kontinuitetsligningen inhomogeniteten. Således kan ladningstætheden af ​​en ikke-forsvindende total ladning aldrig forsvinde overalt. I forstyrrelsesteori opstår der inhomogeniteter, der ikke falder rumligt hurtigt nok. Derefter divergerer det tilhørende retarderede integral og har en såkaldt infrarød divergens.

Den noget mere komplekse repræsentation af løsningen gennem dens begyndelsesværdier i begrænset tid og gennem integraler over begrænsede dele af lyskeglen er fri for sådanne infrarøde divergenser.

Lorentz invariance af D'Alembert -operatøren

D'Alembert -operatøren er uændret under oversættelser og Lorentz -transformationer i den forstand, at det gjaldt for Lorentz lænkede funktioner giver det samme resultat som den Lorentz-lænkede afledte funktion

Derfor er Laplace -operatøren invariant under oversættelser og rotationer.

Den homogene bølgeligning er invariant selv under konforme transformationer, især under strækning.

Se også

litteratur

Weblinks

Individuelle beviser

  1. ^ Eric Weisstein, d'Alemberts løsning, Mathworld