Begrænsning

I analytisk mekanik er en begrænsning en begrænsning af bevægelsesfriheden for et enkelt eller fler-kropssystem , med andre ord en begrænsning af bevægelse. Dette reducerer antallet af frihedsgrader i et system. Hvis der placeres for mange begrænsninger, kan det ske, at der ikke findes nogen matematisk løsning. Så er problemet muligvis heller ikke fysisk løseligt, så for eksempel et objekt er defekt, eller den fysiske opløselighed er givet ved oprettelsen af mekaniske spændinger i objektet.

Systemer med begrænsninger kan særligt godt beskrives af

den lagrangiske formulering af klassisk mekanik
den hamiltonske formulering af klassisk mekanik
D'Alembert -princippet
princippet om virtuel ydeevne .

Forskel

Med hensyn til integritet

I det følgende er der altid en $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ -Partikelsystem betragtes i 3 rumlige dimensioner . Uden begrænsninger ville man have brug for 3 rumlige koordinater til positionsvektoren for hver partikel, således i alt $3N$ ${\ displaystyle 3N}$ $3N$ Rumkoordinater til at beskrive hele systemet. Disse koordinater er nummereret fortløbende:

{\begin{array}{l}{\vec {r}}_{1}=(x_{1},x_{2},x_{3})\\{\vec {r}}_{2}=(x_{4},x_{5},x_{6})\\\vdots \\{\vec {r}}_{N}=(x_{3N-2},x_{3N-1},x_{3N})\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ vec {r}} _ {1} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \\ {\ vec {r}} _ {2} = (x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) \\\ vdots \\ {\ vec {r}} _ {N} = (x_ {3N-2}, x_ {3N- 1}, x_ {3N}) \ end {array}}}

{\ begin {array} {l} {\ vec {r}} _ {1} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \\ {\ vec {r}} _ {2} = (x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) \\\ vdots \\ {\ vec {r}} _ {N} = (x_ {3N-2}, x_ {3N-1}, x_ {3N}) \ end {array}}

Holonomiske begrænsninger

Holonomiske begrænsninger kan bruges som ligninger mellem koordinaterne $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ af systemet skal formuleres ( $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ : Antal holonomiske begrænsninger):

f_{l}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{3N},t)=0\quad \mathrm {mit} \;l=1,\ldots ,s

{\ displaystyle f_ {l} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {3N}, t) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; l = 1, \ ldots, s}

{\ displaystyle f_ {l} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {3N}, t) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; l = 1, \ ldots, s}

det $3N$ ${\ displaystyle 3N}$ $3N$ Koordinater kan bruges med $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ uafhængige holonomiske begrænsninger $n=3N-s$ ${\ displaystyle n = 3N-s}$ $n = 3N-s$ uafhængige generaliserede koordinater $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ reducere, hvilket automatisk skal opfylde begrænsningerne:

x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)\quad \mathrm {mit} \;i=1,\ldots ,3N\;\mathrm {und} \;n=3N-s

{\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) \ quad \ mathrm {med} \; i = 1, \ ldots, 3N \; \ mathrm {og} \; n = 3N-s}

{\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) \ quad \ mathrm {med} \; i = 1, \ ldots, 3N \; \ mathrm {og} \; n = 3N-s}

\Rightarrow f_{l}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)=0\quad \mathrm {mit} \;l=1,\ldots ,s\;\mathrm {und} \;n=3N-s

{\ displaystyle \ Højre pil f_ {l} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; l = 1, \ ldots, s \ ; \ mathrm {og} \; n = 3N-s}

{\ displaystyle \ Højre pil f_ {l} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; l = 1, \ ldots, s \ ; \ mathrm {og} \; n = 3N-s}

Holonomiske begrænsninger kan repræsenteres med den fulde differential af en funktion:

{\begin{aligned}{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{3N}}}\mathrm {d} x_{3N}+{\frac {\partial f_{l}}{\partial t}}\mathrm {d} t&=0\\\Leftrightarrow a_{l1}\cdot \mathrm {d} x_{1}+a_{l2}\cdot \mathrm {d} x_{2}+\ldots +a_{l,3N}\cdot \mathrm {d} x_{3N}+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {3N}}} \ mathrm {d} x_ {3N } + {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis t}} \ mathrm {d} t & = 0 \\\ Venstrehøjre pil a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} + a_ { l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + a_ {l, 3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t & = 0 \ end {align}}}

{\ begin {justeret} {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis x_ {3N}}} \ mathrm {d} x_ {3N} + { \ frac {\ delvis f_ {l}} {\ delvis t}} \ mathrm {d} t & = 0 \\\ Venstrehøjre pil a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} + a_ {l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + a_ {l, 3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t & = 0 \ end { justeret}}

og dermed integrerbar.

Fordi det er nødvendigt for integriteten, at koefficienten fungerer $a_{li}$ ${\ displaystyle a_ {li}}$ $en _ {{li}}$ opfylde følgende integrationsbetingelser :

{\begin{aligned}{\frac {\partial a_{li}}{\partial x_{k}}}&={\frac {\partial a_{lk}}{\partial x_{i}}}\\\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}f_{l}}{\partial x_{i}\cdot \partial x_{k}}}&={\frac {\partial ^{2}f_{l}}{\partial x_{k}\cdot \partial x_{i}}}\quad \quad i,k\in \{1,\ldots ,3N\},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partiel a_ {li}} {\ delvis x_ {k}}} & = {\ frac {\ delvis a_ {lk}} {\ delvis x_ {i}} } \\\ Venstrehøjre pil {\ frac {\ delvis ^ {2} f_ {l}} {\ delvis x_ {i} \ cdot \ delvis x_ {k}}} & = {\ frac {\ delvis ^ {2} f_ {l}} {\ delvis x_ {k} \ cdot \ delvis x_ {i}}} \ quad \ quad i, k \ in \ {1, \ ldots, 3N \}, \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ frac {\ partiel a_ {li}} {\ delvis x_ {k}}} & = {\ frac {\ delvis a_ {lk}} {\ delvis x_ {i}}} \\ \ Venstrehøjre pil {\ frac {\ delvis ^ {2} f_ {l}} {\ delvis x_ {i} \ cdot \ delvis x_ {k}}} & = {\ frac {\ delvis ^ {2} f_ {l} } {\ delvis x_ {k} \ cdot \ delvis x_ {i}}} \ quad \ quad i, k \ in \ {1, \ ldots, 3N \}, \ end {align}}

som automatisk gives til holonomiske forhold ( $f_{l}$ ${\ displaystyle f_ {l}}$ $f_ {l}$ to gange kontinuerligt differentieret , se Schwarz's sætning ).

Hele differencen koger ned på, at enhver holonomisk begrænsning kan repræsenteres som en ligning af hastighederne:

{\begin{alignedat}{5}&a_{l1}\cdot \mathrm {d} x_{1}&&+a_{l2}\cdot \mathrm {d} x_{2}+\ldots &&&+a_{l,3N}\cdot \mathrm {d} x_{3N}&&&&+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t&&&&&=0\\\Leftrightarrow &a_{l1}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}&&+a_{l2}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}+\ldots &&&+a_{l,3N}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{3N}}{\mathrm {d} t}}&&&&+a_{lt}&&&&&=0\end{alignedat}}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {5} & a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} && + a_ {l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots &&& + a_ {1,3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} &&&& + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t &&&&&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil og a_ {l1} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1}} {\ mathrm {d} t}} && + a_ {l2} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {2}} {\ mathrm {d} t}} + \ ldots &&& + a_ {l, 3N} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {3N}} {\ mathrm {d} t}} &&&& + a_ {lt} &&&&& = 0 \ end {alignat}} }

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {5} & a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} && + a_ {l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots &&& + a_ {1,3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} &&&& + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t &&&&&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil og a_ {l1} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1}} {\ mathrm {d} t}} && + a_ {l2} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {2}} {\ mathrm {d} t}} + \ ldots &&& + a_ {l, 3N} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {3N}} {\ mathrm {d} t}} &&&& + a_ {lt} &&&&& = 0 \ end {alignat}} }

Anholonomiske begrænsninger

Ikke-holonomiske eller anholonomiske begrænsninger kan ikke formuleres som ligninger mellem koordinaterne. De generaliserede koordinater, der optræder i sådanne anholonomiske begrænsninger, er i. A. ikke uafhængigt variabel.

Det er z. B. til uligheder , såsom begrænsninger på et bestemt rumområde:

\,f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)>0

{\ displaystyle \, f (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t)> 0}

\, f (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t)> 0

eller differentielle, ikke-integrerbare begrænsninger, såsom ligninger mellem hastighederne (f.eks. for $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ anholonomiske begrænsninger):

\sum _{i}a_{li}\cdot \mathrm {d} q_{i}+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t=0\ ,\quad l=1,\ldots ,r

{\ displaystyle \ sum _ {i} a_ {li} \ cdot \ mathrm {d} q_ {i} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t = 0 \, \ quad l = 1, \ ldots, r}

\ sum _ {i} a_ {li} \ cdot \ mathrm {d} q_ {i} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t = 0 \, \ quad l = 1, \ ldots, r

Ikke -integrerbar betyder, at ligningen - i modsætning til holonomiske begrænsninger - ikke kan repræsenteres som en fuldstændig differential af en funktion. Integrationsbetingelsen er således ikke opfyldt af koefficientfunktionerne:

{\frac {\partial a_{li}}{\partial q_{k}}}\neq {\frac {\partial a_{lk}}{\partial q_{i}}}\quad \quad i,k\in \{1,\ldots ,n\}

{\ displaystyle {\ frac {\ partiel a_ {li}} {\ delvis q_ {k}}} \ neq {\ frac {\ delvis a_ {lk}} {\ delvis q_ {i}}} \ quad \ quad i , k \ in \ {1, \ ldots, n \}}

{\ frac {\ delvis a_ {li}} {\ delvis q_ {k}}} \ neq {\ frac {\ delvis a_ {lk}} {\ delvis q_ {i}}} \ quad \ quad i, k \ i \ {1, \ ldots, n \}

Angående tidsafhængighed

Desuden begrænsninger med hensyn til deres tid er afhængighed opdelt i:

rheonomiske (flydende), når de eksplicit er afhængige af tid.
skleronomisk (stiv), hvis de ikke eksplicit afhænger af tid.

Når man anvender Lagrange -formalismen, fører skleronomiske begrænsninger normalt til den konklusion, at potentialet ikke implicit afhænger af tid. Hvis potentialet ikke eksplicit er tidsafhængigt, er kræfterne konservative, og energien bevares . I dette tilfælde er Hamilton -funktionen - Legendre -transformationen af Lagrange -funktionen - lig med den samlede energi.

På den anden side tillader holonomisk-reonomiske begrænsninger ikke direkte konklusionen om, at energi ikke bevares.

Eksempler

Trådens længde forbliver konstant, pendulet tvinges ind på en cirkelbane

Pendulet: holonomisk og skleronomisk

Stangen på et plant pendul (dvs. kun 2 rumlige dimensioner) skal altid have samme længde $l$ ${\ displaystyle l}$ $l$ skal, baseret på Pythagoras sætning, opfylde følgende begrænsning (antal begrænsninger: $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ ):

f_{1}(x_{1},x_{2})=0\quad \mathrm {mit} \;x_{1}=x,x_{2}=y

{\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; x_ {1} = x, x_ {2} = y}

{\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) = 0 \ quad \ mathrm {med} \; x_ {1} = x, x_ {2} = y}

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-l^{2}=0

{\ displaystyle \ Venstrehøjre pil x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2} = 0}

{\ displaystyle \ Venstrehøjre pil x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2} = 0}

Nedbøjningsvinklen dannes $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ af pendulet fra lodret er den generaliserede koordinat. (Der er kun en der $n=2N-s=1$ ${\ displaystyle n = 2N-s = 1}$ ${\ displaystyle n = 2N-s = 1}$ .) Koordinaterne $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ af midten af kuglen afhænger af $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ fra (antagelser: $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Til højre, $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ nedad, oprindelse i ophængningspunktet):

{\begin{aligned}x=l\cdot \sin \varphi \\y=l\cdot \cos \varphi \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x = l \ cdot \ sin \ varphi \\ y = l \ cdot \ cos \ varphi \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x = l \ cdot \ sin \ varphi \\ y = l \ cdot \ cos \ varphi \ end {align}}}

Den generaliserede koordinat opfylder automatisk begrænsningen:

{\begin{aligned}(l\cdot \sin \varphi )^{2}+(l\cdot \cos \varphi )^{2}-l^{2}=0\\\Leftrightarrow l^{2}\cdot (\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi -1)=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (l \ cdot \ sin \ varphi) ^ {2} + (l \ cdot \ cos \ varphi) ^ {2} -l ^ {2} = 0 \\\ venstrehøjre l ^ {2} \ cdot (\ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi -1) = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {justeret} (l \ cdot \ sin \ varphi) ^ {2} + (l \ cdot \ cos \ varphi) ^ {2} -l ^ {2} = 0 \\\ Venstrehøjre l ^ {2} \ cdot (\ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi -1) = 0 \ end {align}}}

da følgende generelt gælder:

\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi = 1}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi = 1}

Dette er et eksempel på en holonomisk begrænsning, og da det ikke eksplicit afhænger af tid ( $f_{1}\neq f_{1}(t)$ ${\ displaystyle f_ {1} \ neq f_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ neq f_ {1} (t)}$ ), for en skleronomisk begrænsning.

Komplet differentiering af begrænsningen:

{\begin{alignedat}{3}&{\frac {\partial (x^{2}+y^{2}-l^{2})}{\partial x}}\mathrm {d} x&&+{\frac {\partial (x^{2}+y^{2}-l^{2})}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial (x^{2}+y^{2}-l^{2})}{\partial t}}\mathrm {d} t&&&=0\\\Leftrightarrow &2x\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&&+2y\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&&&=0\\\Leftrightarrow &x\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&&+y\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&&&=0\end{alignedat}}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} & {\ frac {\ partiel (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis x}} \ mathrm {d} x && + {\ frac {\ delvis (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ delvis (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis t}} \ mathrm {d} t &&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil & 2x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + 2y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil & x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \ end {alignat} }}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} & {\ frac {\ partiel (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis x}} \ mathrm {d} x && + {\ frac {\ delvis (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ delvis (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ delvis t}} \ mathrm {d} t &&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil & 2x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + 2y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \\\ Venstrehøjre pil & x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \ end {alignat} }}

Pendulets hastighedskomponenter kan udtrykkes i den generaliserede koordinat som følger (på grund af begrænsningen kan bolden kun bevæge sig vinkelret på stangen; antagelse her: bevægelse øverst til højre):

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=v\cdot \cos \varphi \\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=-v\cdot \sin \varphi \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = v \ cdot \ cos \ varphi \\ {\ frac {\ mathrm {d} y } {\ mathrm {d} t}} & = - v \ cdot \ sin \ varphi \ end {justeret}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = v \ cdot \ cos \ varphi \\ {\ frac {\ mathrm {d} y } {\ mathrm {d} t}} & = - v \ cdot \ sin \ varphi \ end {justeret}}}

med beløbet $v=l\cdot {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle v = l \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle v = l \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}}}$ hele hastigheden.

Indsættelse af den generaliserede koordinat i begrænsningen i form af den komplette differential:

\Rightarrow (l\cdot \sin \varphi )\cdot (v\cdot \cos \varphi )+(l\cdot \cos \varphi )\cdot (-v\cdot \sin \varphi )=0

{\ displaystyle \ Rightarrow (l \ cdot \ sin \ varphi) \ cdot (v \ cdot \ cos \ varphi) + (l \ cdot \ cos \ varphi) \ cdot (-v \ cdot \ sin \ varphi) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow (l \ cdot \ sin \ varphi) \ cdot (v \ cdot \ cos \ varphi) + (l \ cdot \ cos \ varphi) \ cdot (-v \ cdot \ sin \ varphi) = 0}

som dermed også automatisk opfyldes.

Partikler i en kugle: anholonomiske og skleronomiske

En partikel er fængslet i en bold . Matematisk betyder det, at partikelens afstand fra kuglens centrum (koordinaternes oprindelse) altid skal være mindre end kuglens radius R:

{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}<R

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} <R}

{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} <R

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}

{\ displaystyle \ Venstrehøjre pil x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} <R ^ {2}}

\ Venstrehøjre pil x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} <R ^ {2}

Da denne begrænsning består af en ulighed, er den ikke -holonomisk , og eftersom den ikke eksplicit afhænger af tid, er den også skleronomisk.

litteratur

H. Goldstein : Klassisk mekanik . Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893
T. Fließbach : Mekanik - lærebog om teoretisk fysik I. Spectrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009. ISBN 978-3-8274-2148-7

Se også