Begrænsning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I analytisk mekanik er en begrænsning en begrænsning af bevægelsesfriheden for et enkelt eller fler-kropssystem , med andre ord en begrænsning af bevægelse. Dette reducerer antallet af frihedsgrader i et system. Hvis der placeres for mange begrænsninger, kan det ske, at der ikke findes nogen matematisk løsning. Så er problemet muligvis heller ikke fysisk løseligt, så for eksempel et objekt er defekt, eller den fysiske opløselighed er givet ved oprettelsen af ​​mekaniske spændinger i objektet.

Systemer med begrænsninger kan særligt godt beskrives af

Forskel

Med hensyn til integritet

I det følgende er der altid en -Partikelsystem betragtes i 3 rumlige dimensioner . Uden begrænsninger ville man have brug for 3 rumlige koordinater til positionsvektoren for hver partikel, således i alt Rumkoordinater til at beskrive hele systemet. Disse koordinater er nummereret fortløbende:

Holonomiske begrænsninger

Holonomiske begrænsninger kan bruges som ligninger mellem koordinaterne af systemet skal formuleres ( : Antal holonomiske begrænsninger):

det Koordinater kan bruges med uafhængige holonomiske begrænsninger uafhængige generaliserede koordinater reducere, hvilket automatisk skal opfylde begrænsningerne:

Holonomiske begrænsninger kan repræsenteres med den fulde differential af en funktion:

og dermed integrerbar.

Fordi det er nødvendigt for integriteten, at koefficienten fungerer opfylde følgende integrationsbetingelser :

som automatisk gives til holonomiske forhold ( to gange kontinuerligt differentieret , se Schwarz's sætning ).

Hele differencen koger ned på, at enhver holonomisk begrænsning kan repræsenteres som en ligning af hastighederne:

Anholonomiske begrænsninger

Ikke-holonomiske eller anholonomiske begrænsninger kan ikke formuleres som ligninger mellem koordinaterne. De generaliserede koordinater, der optræder i sådanne anholonomiske begrænsninger, er i. A. ikke uafhængigt variabel.

Det er z. B. til uligheder , såsom begrænsninger på et bestemt rumområde:

eller differentielle, ikke-integrerbare begrænsninger, såsom ligninger mellem hastighederne (f.eks. for anholonomiske begrænsninger):

Ikke -integrerbar betyder, at ligningen - i modsætning til holonomiske begrænsninger - ikke kan repræsenteres som en fuldstændig differential af en funktion. Integrationsbetingelsen er således ikke opfyldt af koefficientfunktionerne:

Angående tidsafhængighed

Desuden begrænsninger med hensyn til deres tid er afhængighed opdelt i:

  • rheonomiske (flydende), når de eksplicit er afhængige af tid.
  • skleronomisk (stiv), hvis de ikke eksplicit afhænger af tid.

Når man anvender Lagrange -formalismen, fører skleronomiske begrænsninger normalt til den konklusion, at potentialet ikke implicit afhænger af tid. Hvis potentialet ikke eksplicit er tidsafhængigt, er kræfterne konservative, og energien bevares . I dette tilfælde er Hamilton -funktionen - Legendre -transformationen af Lagrange -funktionen - lig med den samlede energi.

På den anden side tillader holonomisk-reonomiske begrænsninger ikke direkte konklusionen om, at energi ikke bevares.

Eksempler

Trådens længde forbliver konstant, pendulet tvinges ind på en cirkelbane

Pendulet: holonomisk og skleronomisk

Stangen på et plant pendul (dvs. kun 2 rumlige dimensioner) skal altid have samme længde skal, baseret på Pythagoras sætning, opfylde følgende begrænsning (antal begrænsninger: ):

Nedbøjningsvinklen dannes af pendulet fra lodret er den generaliserede koordinat. (Der er kun en der .) Koordinaterne og af midten af ​​kuglen afhænger af fra (antagelser: Til højre, nedad, oprindelse i ophængningspunktet):

Den generaliserede koordinat opfylder automatisk begrænsningen:

da følgende generelt gælder:

Dette er et eksempel på en holonomisk begrænsning, og da det ikke eksplicit afhænger af tid ( ), for en skleronomisk begrænsning.

Komplet differentiering af begrænsningen:

Pendulets hastighedskomponenter kan udtrykkes i den generaliserede koordinat som følger (på grund af begrænsningen kan bolden kun bevæge sig vinkelret på stangen; antagelse her: bevægelse øverst til højre):

med beløbet hele hastigheden.

Indsættelse af den generaliserede koordinat i begrænsningen i form af den komplette differential:

som dermed også automatisk opfyldes.

Partikler i en kugle: anholonomiske og skleronomiske

En partikel er fængslet i en bold . Matematisk betyder det, at partikelens afstand fra kuglens centrum (koordinaternes oprindelse) altid skal være mindre end kuglens radius R:

Da denne begrænsning består af en ulighed, er den ikke -holonomisk , og eftersom den ikke eksplicit afhænger af tid, er den også skleronomisk.

litteratur

Se også